THMMY.gr

Ο σκοπός του τόπικ αυτού είναι να καταγράφουμε τις απορίες που έχουμε στις ακήσεις που αφορούν τον Λογισμο ΙΙ ώστε να γίνεται διάλογος που θα βοηθάει όλους.Κάθε απορία για οποιαδήποτε άσκηση θα την γράφουμε εδώ μέσα.

Οποιοδήποτε μήνυμα άσχετο με τον παρόν τόπικ, θα το διαχειριζόμαστε αναλόγως.

Παρακαλείσθε να μην ανοίγετε καθε φορά καινούριο τόπικ όταν έχετε απορία σε κάποια άσκηση.Υπάρχουν επίσης ξεχωριστά τόπικς για την ύλη και την επικαιρότητα του μαθήματος.


p.s. καλου κακου ρίξτε και μια ματια εδω (https://155.207.33.34/smf/index.php?topic=31015.225) μπορεί να βρείτε αυτό που θέλετε

Δίνεται το σύστημα:


Απο το οποίο προκύπτει οτι:

και:


Η άσκηση ζητάει να βρεθεί η λύση της τελευταίας εξίσωσης σαν γραμμικός συνδιασμός των εκθετικών και , με συντελεστές που γράφονται αποκλειστικά μέσω των αρχικών τιμών και .

Καμιά ιδέα;

απο την πρωτη σχεση εχουμε
d²x / dt² =  - dx/dt + dy/dt
κανοντας πραξεις
d²x / dt² = - ( - x + y ) + 2y = x - y + 2y = x + y
λυνεις ως προς y
y = d²x / dt² - x
Αρα εχεις
d²x / dt² - x = y₀ * e^2t
και χρησιμοποιωντας το (http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?%3Cbr%20/%3E\frac{\mathrm{d}%20x}{\mathrm{d}%20t}%20=%20-x%20+%20y_{0}e^{2t}%3Cbr%20/%3E)
εχεις
d²x / dt² + dx/dt = 2*y₀ * e^2t (διαφορικη εξισωση, λυνεται ομως?δε την εψαξα :S )
edit:βασικα το εμπλεξα πολυ νομιζω!
ισχυει και το πιο απλο
dx/dt + x = y₀ * e^2t
2o edit : τα εκανα μπουρδελο, δε μπορω να συγκεντρωθω τωρα, αργοτερα ;D
Δε ξερω αν βοηθησα :D , φευγω οποτε δε μπορω να τη δουλεψω παραπανω :(
Αλλα θα επιστρεψω αργοτερα, διαβασμενος

λυνεται....Ειναι μια μη ομογενης γραμικη ΔΕ 2ας ταξης με σταθερους συντελεστες,με f(x)=2y₀e^2t
οποτε βρισκεις μια μερικη λυση y_μ,την λυση της ομογενους y₀ και y_gen=y_μ+y₀

η y_μ βρισκεται οπως στο παραδειγμα 3,5 σελ 195 στο βιβλιο των Διαφορικων του Σεραφειμιδη

ευχαριστώ παιδιά ;)

μπλε βιβλιο
σελιδα 330-331
τι διαφορα εχει αυτο το πραμα που λεει για συντηρητικο
με το αλλο που λεει για αστροβιλο πεδιο?????
μπορει να μου το εξηγησει καποιος?
ευχαριστω προκαταβολικα :)

Δεν ξέρω αν σε βοηθάει άλλα κάπου λέει μέσα, ότι για απλά συνεκτικούς τόπους οι δύο έννοιες συμπίπτουν.

καλα τωρα αστο :(
δε προλαβαινω να το μελετησω
τωρα ανεβαινω στο αρμα :D :D
παω να τα σαρωσω ολα ( :P )
https://www.youtube.com/watch?v=7Zc3EBrwJwI

malista

Αστρόβιλο σημαίνει απλώς οτι η περιστροφή του Δ.Π. είναι μηδενική σε κάθε σημείο του υποχώρου U. Συντηρητικό σημαίνει οτι το Δ.Π. ισούται με τη συνάρτηση κλίσης κάποιου βαθμωτού πεδίου. Όμως για να υπάρχει συνάρτηση δυναμικού πρέπει να πληρούνται κάποιες τοπολογικές προϋποθέσεις, συγκεκριμένα ο τόπος U πρέπει να είναι απλά συνεκτικός, δηλαδή:
α) Οποιαδήποτε δύο σημεία του να μπορούν να ενωθούν με μια καμπύλη που ανήκει εξολοκλήρου στο U και,
β) Κάθε κλειστή καμπύλη να μπορεί να παραμορφωθεί με συνέχη τρόπο μέχρι να εκφυλιστεί σε σημείο.

Δηλαδή μιλάμε για ύπαρξη ιδιάζοντων σημείων τα οποία οδηγούν σε ολοκληρωτικά υπόλοιπα. Σε μερικές περιπτώσεις η ύπαρξη ιδιαζόντων σημείων τυχαίνει να μη μας χαλάει τη δουλειά κι ετσι θεωρούμε τους χώρους μας κ παλι απλά συνεκτικούς κ βρίσκουμε συνάρτηση δυναμικού. Σε περιπτώσεις όμως που λέιπει απ' το πεδίο ορισμού ενας ολόκληρος άξονας, η δουλειά στραβώνει στα σίγουρα.

malista(2)

Ξέρει κανείς πώς λύνεται η άσκηση 12 σελίδα 226 από το πορτοκαλί;

αν η μια κατευθυνση ειναι αi+βj η αλλη θα ειναι -βi+αj για να εχουν εσωτερικο γινομενο μηδεν, ή αν το θες, οι συντελεστες λ να εχουνε γινομενο -1.
μετα παιρνεις ΠΚΚ και στις 2 :P :P :P
ευκολο? 8))

Θα το κάνεις αναλύοντας τα εσωτερικά γινόμενα της εκάστοτε κλίσης στον κλασσικό τύπο:
μετρο*μετρο*συνημίτονο γωνίας...

Δηλαδή:
[αναδελτα*γιου*συν(αναδελτα^γιου)]^2+[αναδελτα*βε*συν(αναδελτα^βε)]^2=

(γιου και βε ειναι μοναδιαία, φεύγουν).

Οπότε έχεις αναδελτα^2 *(τα δυο συν στο τετράγωνο)

Επειδή όμως είναι κάθετα τα βε και γιου, παει να πει ότι εχουν διαφορα φασης π/2, οπότε μπορείς να μετατρέψεις το ένα από τα δυο συνημίτονα γωνίας (δε μας νοιάζει, ειναι στο τετράγωνο) στο αντιστοιχο ημίτονο! οπότε η παρένθεση κάνει ένα

και μας μένει ...=ανάδελτα^2, το οποίο και θέλαμε να δείξουμε.

α, ο γρίφος το λύνει καλύτερα.  :)

Ευχαριστώ πολύ και τους δύο...

Ξέρει κανείς πως λύνετε το παρακάτω πρόβλημα ακρότατων υπο συνθήκη?



υπο περιορισμό μάλιστα να αποδείξουμε οτι οδηγεί σε κύκλο.

Τα γραψα σε latex, καλό θα ταν να αρχίσετε να γράφετε έτσι τα μαθηματικά γιατί αλλιώς δεν θα βρεθούν και πολλοί να κάτσουν να τα διαβάζουν και να σας απαντάνε..
Burlitsa
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics

utr

Πορτοκαλί βιβλίο (ελπίζω να έχουμε το ίδιο, με ίδιες σελίδες).
Σελίδα 376-377, Παράδειγμα 5.1 στις αλλαγές μεταβλητών.
Μια μικρή εξήγηση θα ήθελα για το πως προκύπτουν τα όρια των ολοκληρωμάτων στην τελική τους μορφή με u και v.

Παιδιά, στην άσκηση 1.3 από τα φυλλάδια του ρόθου για τις ασκήσεις...μπορείτε να μου πείτε γιατί απαλείφεται το sinθcosθ κατά την λύση του ολοκληρώματος?

Γιατί μηδενίζει το ολοκλήρωμα και ξενερώνει. :P

Σοβαρά πάντως δεν μπορώ να καταλάβω πως το εξαφανίζει. Αν το κρατήσεις το ολοκλήρωμα προκύπτει 0.

Εδιτ: Επίσης στην 1.1 η Ιακωβιανή του μετασχηματισμου πως ακριβώς προκύτπει 2uv? Η ορίζουσα ειναι:



Τελικά δηλαδή -2dudv???

Στην 1.1 προφανώς είναι |-2|dudv=2dudv.
Όταν κάνεις αλλαγή στα ολοκληρώματα παίρνεις την απόλυτη τιμή της ιακωβιανής!
Στην 1.3 απλά γουστάρει να στείλει το cosθsinθ και έτσι απλά το στέλνει  :D

έχεις δίκιο για την απόλυτη τιμή. Ο τυπάς όμως το βγάζει

dx dy = 2uv du dv

Το 2uv από που προέκυψε?

Εδιτ: Βασικά κάτω το παίρνει σωστά. Μάλλον είναι copy-paste fail.

Στο πορτοκαλί βιβλίο.

Εκεί στο κεφάλαιο με τα ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ.
Όταν μου προκύπτει πίνακας 5x5 και θέλω να βρω ορίζουσα (και δεν έχω το μαγικό κομπιουτεράκι που τα κανει όλα αυτα), ΠΩΣ ΤΟ ΚΑΝΩ?

γιατι να σου προκυψει τετοιος πινακας? αν λες για σελ 327 κτλπ δεν τα εχει κανει. υπολογιζει τα δεσμευμενα ακροτατα μονο με  τον πολλαπλασιαστη του lagrance

Σελίδα 325 λεω. Εκεί που βρίσκει τον Δ₁= 24>0

ναι,αυτο τον τροπο δεν τον εκανε ο Ροθος. Υπαρχει μια πιο ευκολη μεθοδολογια με τον πολλαπλασιαστη Lagrance που την αναλυει στις σημειωσεις του και εχει και παραδειγματα,ωστε να μην χρειαζεται να υπολογιζεις τοσο μεγαλες οριζουσες.

Πάντως ορίζουσα 4x4 και 5x5 ακούγεται τρομακτική αλλά δεν είναι και τόσο. Η μέθοδος είναι η εξής:

- Επιλέγεις μία γραμμή της ορίζουσας και για ευνόητους λόγους είναι καλύτερο να επιλεγεί αυτή με τα περισσότερα μηδενικά.
- Υπολογίζεις με βάση τον τύπο

a(i,1)*A(i,1) - a(i,2)*A(i,2) + a(i,3)*A(i,3) - a(i,4)*A(i,4) + ... + a(n,n)*A(n,n)

όπου a(i,j) είναι το στοιχείο i,j της ορίζουσας και A(i,j) είναι η υπο-ορίζουσα που προκύπτει εάν σβήσεις την i γραμμή και την j στήλη.

Παράδειγμα 4x4

| 1 0 0 2 |
| 2 5 3 0 |
| 1 0 1 2 |
| 2 3 1 1 |

Επιλέγοντας την πρώτη σειρά και παραλείποντας φυσικά τους όρους που αντιστοιχούν στα μηδενικά στοιχεία της πρώτη σειράς προκύπτει

1*Α(1,1) - 2*Α(1,4)

όπου

Α(1,1) ισούται με

| 5 3 0 |
| 0 1 2 |
| 3 1 1 |

και Α(1,4) με

| 2 5 3 |
| 1 0 1 |
| 2 3 1 |


Οπότε ανάγεται σε δύο απλούστερες! :)
Σόρυ αλλά βαριέμαι να γράφω πίνακες σε λατεχ :P

Ok ty!

Αυτή τη μεθοδολογία είχα κατα νου, απλά πίστευα (λαναθασμένα) ότι πρέπει να αφαιρεσεις διαδοχικά όλες τι γραμμες-στηλες και να προσθεσεις όλα σου τα αποτελέσματα στο τελος... Ε, ναι έτσι είναι πιο απλό (και λογικό εδώ που τα λέμε).

παρε ενα καλο κομπιουτερακι ρε cyb3rb0ss να μην παιδευεσαι  ;D  :P :P :P :P :P :P ::)

ή εναν καλο μαθηματικο... χα χα χα αχ χα χα α χα χα χα χα

Δεν έχω τα φράγκα τώρα :) Δεν έχω μία...

καλά γυναίκα μαθηματικό θέλεις εσυ ???  :( :(
 :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D

για κομπιουτερακι 250 ευρώ ελεγα...  ;)

offtopic
Νομίζω ο Κεχαγιάς μας είχε βάλει να βρούμε 5x5 ορίζουσα στη Γραμμική Άλγεβρα  !

πάντως για hardcore engineers
(http://www.kidestore.co.uk/images/images_big/melissa_and_doug_abacus.jpg)

 :D

ΕΠΕΙΔΗ ΕΧΩ ΜΠΕΡΔΕΥΤΕΙ ΛΙΓΟ ΜΕ ΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΟΜΑΤΩΝ ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΝΑ ΜΕ ΔΙΟΡΘΩΣΕΤΕ ΑΝ ΚΑΝΩ ΛΑΘΟΣ?
∬_Ddxdy=εμβαδό του D
∬_Df(x,y)dxdy=όγκος του κυλινδροειδούς που προκύπτει
Από την ένωση της f με την προβολή της στο (συνηθως ) χ-ψ επιπεδο
∭_Ωdxdydz=όγκος του Ω
∯_ΣdS=εμβαδό της επιφάνειας Σ

Στην 9η ασκηση απ τα pdf του καππου, το πεδίο F δεν πρεπει να εχει επικαμπύλιο ολοκλήρωμα διάφορο του 0 εφοσον περικλείει ιδιαζον σημείο, το (0,0)?

Όντως παίζει λάθος εκεί και κάποια ασάφεια γενικότερα. Μόνο τα επικαμπύλια σε καμπύλες που ΔΕΝ περιέχουν ιδιάζοντα σημεία είναι ίσα με μηδέν. Επίσης στην προκειμένη περίπτωση δεν έχουμε μόνο ένα ιδιάζων σημείο. Όλος ο άξονας των y δεν περιέχεται στο πεδίο ορισμού αφού πρέπει x>0. Κατά συνέπεια το πεδίο ορισμού περιορίζεται στο δεξί ημιεπίπεδο και εγύρεται ερώτημα το γιατί η άσκηση παροτρύνει να ακολουθήσουμε καμπύλη η οποία ξεκινάει από ιδιάζων σημείο για να βρούμε δυναμικό!!! :-\

Για εξηγείστε μου λίγο αυτό με τα ιδιάζοντα σημεία... έστω και με άλλο παραδειγμα...
Υπάρχει περίπτςση να μας ζητηθεί να λύσουμε κάτι με Stokes και απλά να μην είναι εφικτό?

Nαι, οντως εφόσον παίρνει το δεξι ημιεπίπεδο, ισως να μπορούμε να θεωρήσουμε οτι δεν περικλείει ιδιαζον σημείο, οποτε τελικα το επικαμπύλιο είναι 0 και μπορούμε να πάρουμε συνάρτηση δυναμικού.
@cyberboss: εφόσον στο πεδίο ορισμού ενός πεδιου F με μηδενική περιστροφή υπάρχουν ιδιαζοντα σημεία, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι διαφορο του 0 οπότε δεν μπορεί να οριστει συναρτηση δυναμικού f (αναφέρεται σε θ. Green πάντως κ οχι Stokes)

στην 9 ασκηση του καππου δε σου λεει η ασκηση να ξεκινησεισ απ το (0,0)..........αφηνει σε σενα να διαλεξεισ οποιο αρχικο σημειο θεσ(αυτο το σημειο πρεπει να βρισκεται στο ημιεπιπεδο που οριζεται το πεδιο αρα δε γινεται να ειναι το (0,0))και απλα σου λεει οτι πρεπει να ακολουθησεισ συκεκριμενη καμπυλη για να φτασεισ στο τελικο σημειο(σαν το θεμα του 2008 του σεπτεμβρη)

δλδ ππέπει κάθε φορά να ελεγχω την F μου αν έχει ιδιάζοντα σημεία πριν πάω να βρς σηνάρτηση δυναμικού?

Βασικά επί λέξη λέει:
"[...] όπου για κάθε σημείο του επιπέδου (x*, y*) η καμπύλη γ αποτελείται από το οριζόντιο τμήμα xi + 0j, 0<=x<=x* και το κάθετο τμήμα x*i + yj, 0<=y<=y*."

Εν τέλει πρέπει να το σκεφτείς ότι δεν γίνεται να ξεκινήσεις από το (0,0) και να πάρεις άλλο σημείο αλλά για μένα η διατύπωση είναι λάθος. Τέλος πάντων...

ΑΥΤΗ ΤΗ ΑΣΚΗΣΗ ΤΗΝ ΕΛΥΣΕ Ο ΚΑΠΠΟΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΝΟΜΙΖΩ ΒΟΗΘΑ ΑΡΚΕΤΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΠΟΤΕ ΕΠΙΤΡΕΠΕΤΑΙ ΝΑ ΟΡΙΣΤΕΙ............ΓΕΝΙΚΑ ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΓΙΑ ΑΣΤΡΟΒΙΛΑ ΠΕΔΙΑ ΣΕ ΑΠΛΟΥΣ ΣΝΕΚΤΙΚΟΥΣ ΤΟΠΟΥΣ!!!!!ΤΟ ΟΤΙ ΕΝΑ ΠΕΔΙΟ ΕΙΝΑΙ ΑΣΤΡΟΒΙΛΟ ΔΕ ΣΥΝΕΠΑΓΕΤΑΙ ΟΤΙ ΕΧΕΙ ΒΑΘΜΩΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ.........ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΙΣΧΥΟΥΝ ΚΑΙ ΤΑ 2............ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΒΙΛΟ ΚΑΙ ΑΠΛΟΣ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ

Σωστα.

απο το πορτοκαλι μπορει να πει καποιος/α πως λυνονται οι αλυτες απο πισω: σελ 476->10,σελ 478->15,16
Ευχαριστω! :)

μπορεί κάποιος να μου πει πως λύνεται το ολοκλήρωμα στις ασκησεις 9 και 10 σελιδα 416-417 απο το μπλε βιβλιο;ευχαριστω! περιμένω σύντομα απάντηση!