THMMY.gr

Εχω μια απορια. Σε κατι ασκησεις λυμενες που εχω κανει το εξης:

Στην ασκηση ας πουμε το ε εγασταται από το r, δηλαδη είναι ε(r). Χρησιμοποιει τον nomo όμως του Gauss κανονικα σαν να ηταν το ε σταθερο που προκυπτει ε*Ε*4πR^2=Q. Ο μονος τροπος να εξηγησω ότι στο διπλο ολοκληρωμα αγνοει την εξαρτηση του ε από το r(αρα για αυτό το βγαζει εξω από το διπλο ολοκληρωμα και βγαινει το προηγουμενο αποτελεσμα) είναι ότι χρησιμοποιει το r^2*sinθ*dθdφ, οποτε δεν υπαρχει μεσα στο ολοκληρωμα ως μεταβλητη το r. Το ερωτημα μου είναι: μπορουμε να το κανουμε αυτό, δηλαδη να αλλαζουμε τους αξονες του προβληματος;;;
Επισης, για το καρτεσιανο συστημα, ξερουμε ποτε παιρνουμε dxdy, ποτε dxdz, ποτε dydz. Για το κυλινδρικο και το σφαιρικο πως επικεγουμε το εκαστοτε dS;;;;
Ελπιζω να καταλαβατε….

Σε κάθε περίπτωση το dS καθορίζεται από την επιφάνεια στην οποία ολοκληρώνεις. Προσπάθησε να σκεφτείς το στοιχειώδες "ορθογώνιο" που δημιουργείται πάνω στην επιφάνεια. Αν πχ ολοκληρώνεις πάνω σε μια σφαίρα τότε το r=σταθερό και το στοιχειώδες εμβαδό-"ορθογώνιο" έχει πλευρές rsinθdθ και rdφ (θυμήσου μήκος τόξου=r*φ, με φ τη γωνία σε ακτίνια), κι έτσι προκύπτει dS=r^2*sinθ*dθdφ. Οι άλλες δύο περιπτώσεις σε σφαιρικές συντεταγμένες είναι με θ=σταθερό (τότε η επιφάνεια είναι ένας κώνος γύρω από τον zz') και με φ=σταθερό (τότε η επιφάνεια έιναι ένα επίπεδο κάθετο στο χΟy επίπεδο).

Στη συγκεκριμένη περίπτωση το r δεν είναι μεταβλητή ολοκλήρωσης (εξάλλου ολοκληρώνεις σε μια σφαίρα και άρα r=σταθερό για το ολοκλήρωμα) και γι αυτό μπορεί το ε(r) να βγει απ έξω.

Για πιο ολοκληρωμένη απάντηση, όταν έχεις σφαιρική συμμετρία, το Ε εξαρτάται μόνο από το r και έχει μόνο ακτινική συνιστώσα, δηλαδή Ε=Ε_r*r₀.
Η σφαιρική επιφάνεια τυχούσας ακτίνας r που επιλέγεις έχει dS=r^2*sinθdφdθ*r₀. Οπότε τo γινόμενο Ε*dS από εσωτερικό γίνεται κανονικό και το Ε βγαίνει κανονικά, αφήνωντας για ολοκλήρωση ουσιαστικά ||dS το οποίο είναι το εμβαδόν της σφαίρας.
Τα υπόλοιπα που σου είπε ο Netgull νομίζω θα τα αντιγράψω ήδη στην ΤΗΜΜΥpedia!  :D ;)

Σας ευχαριστω για τις απαντησεις σας. Να σας ρωτησω τωρα και κατι ακομα. Με την μεθδο των ειδωλων, τα αποτελεσματα που βρισκουμε για την ενταση του πεδιου είναι τα πραγματικα. Αν θελουμε όμως να βρουμε το δυναμικο;;; Δηλαδη, θελω να πωοτι αν εχουμε ένα φορτιο εξω από αγωγιμη σφαιρα, το δυναμικο πανω στην σφαιρα θα είναι 0 όπως προκυπτει λογω της μεθοδου των ειδωλων;;; Και αν η σφαιρα εχει φοριο θα εχει το δυναμικο που προκυπτει από το αντιστοιχο φορτιο στο κεντρο της σφαιρας;;; Δεν το ξεκαθαριζει, με την μεθοδο των ειδωλων τι βρισκουμε ακριβως;;;
Α και κατι άλλο Alexkasgr. Όταν λες να διαβασουμε τα παρδειγματα από το 3 κεφαλαιο γιατι από εκει μπηλε θεμα, ποια ακριβως εννοεις;;;;