THMMY.gr

έχει κάποι@ σημειώσεις από τις ασκήσεις που έγιναν φετος;

Kαλησπέρα στο φόρουμ, έχω δύο ερωτήσεις να κάνω:
Α)Ποιά η διαφορά Θ.Lassalle και Θ.Luapunov?Δεν καταλαβαίνω πότε να χρησιμοποιώ το ένα κ πότε το άλλο κ επίσης ποιά είναι η διαφορά στη διατύπωσή τους?
Β)Πότε επιλέγω κριτήριο Δίσκου και πότε Popov?

Μπορώ να σου απαντήσω μόνο το Α) μέσα από ένα παράδειγμα. Αν ψάχνεις ειδικότερη απάντηση, μπορείς να αναζητήσεις ένα αγαπημένο θέμα εξετάσεων του Ρόβι από ΣΑΕ ΙΙ, που δίνει 3 διανύσματα από μια συνάρτηση Lyapunov και λέει ποιο ισχύει εάν το σύστημα είναι ασταθές. Υπόψιν ότι έχω παρακολουθήσει έως ΣΑΕ ΙΙ, οπότε η απάντησή μου θα περιέχει μόνο γνώσεις από αυτό το μάθημα.

Έστω ένα σύστημα με 1 σημείο ισορροπίας. Ζητείται να δείξεις ότι το σημείο αυτό είναι ολικά ευσταθές.

Αρχικά, θα εργαστείς με Lyapunov, γιατί είναι συνήθως πιο εύκολο. Έτσι, επιλέγεις μία συνάρτηση Lyapunov και βρίσκεις ότι η παράγωγος είναι αρνητικά ημιορισμένη (δηλαδή V' <= 0). Τότε, το θεώρημα Lyapunov σου λέει ότι το σημείο είναι τοπικά ευσταθές. Αν η παράγωγος της Lyapunov ήταν καθαρά αρνητική, θα είχες αποδείξει ολική ευστάθεια και θα είχες τελειώσει.

Από την άλλη, το Θ. Lasalle σου δείχνει απευθείας την ολική ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας μέσα από απαγωγή σε άτοπο. Θα προσπαθήσω να σου εξηγήσω πώς λειτουργεί αυτή η απαγωγή μέσα από ένα άλλο παράδειγμα αφού το θυμηθώ λίγο.

Ευχαριστώ Manifold για την διόρθωση.

Αν η παράγωγος της υποψηφιας συνάρτησης Lyapunov είναι αρνητικά ορισμένη τότε με τη χρήση θεωρήματος Lyapunov δείχνεις ασυμπτωτική ευστάθεια και δεν χρειάζεται να κάνεις τίποτα άλλο.

Αν η παράγωγος της υποψηφιας συνάρτησης Lyapunov είναι αρνητικά ημιορισμένη τότε με το θεώρημα Lyapunov μπορείς να δείξεις μόνο ευστάθεια, όχι ασυμπτωτική ευστάθεια. Αν θέλεις να δείξεις ασυμπτωτική ευστάθεια πρέπει να κάνεις εφαρμογή της αρχής του LaSalle. Για να την εφαρμόσεις βλέπεις που η παράγωγος της Lyapunov ταυτίζεται με το μηδέν, γράφεις το σύστημά σου μέσα σε αυτό το σύνολο, και δείχνεις ότι εκεί μέσα ισχύει x = x* και dx = 0, με x* το σημείο ισορροπίας. Για τη διατύπωση δες κάποια απο τις ασκήσεις του μαθήματος που έχουν ανέβει από προηγούμενα χρόνια.



Αυτό που γράφεις δεν είναι σωστό, αρνητικά ημιορισμένη παράγωγος της Lyapunov δεν σημαίνει τοπική ασυμπτωτική ευστάθεια, αλλά απλά ευστάθεια. Και η αρχή του LaSalle δεν σου γενικεύει το συμπέρασμα από τοπικό σε ολικό. Το αν κάτι ισχύει τοπικά ή ολικά έχει έχει να κάνει με το σύνολο στο οποίο ισχύει dV < 0 (ή dV <= 0 ), με V την υποψήφια Lyapunov. Αν εφαρμόσεις LaSalle μετά, για το ίδιο σύνολο βγάζεις συμπεράσματα.


Γενικά το κριτήριο δίσκου είναι πιο περιοριστικό από το κριτήριο Popov, οπότε αν μπορείς να χρησιμοποιήσεις κριτήριο Popov να επιλέγεις αυτό. Οι περιπτώσεις που δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις Popov είναι όταν 1) η μη γραμμικότητα ανήκει σε τομέα (κ1, κ2), αντί για (0, κ) και 2) αν η συνάρτηση μεταφοράς στον ευθύ βρόχο έχει πόλο είτε στο 0 είτε με θετικό πραγματικό μέρος.

Eίσαι μεγάλο αλάνι, ευχαριστώ! ::)