THMMY.gr

Γεια

Διαβάζω Πιθανότητες και χρειάζομαι βοήθεια στο πιο κάτω θέμα. Βασικά δεν το καταλαμβαίνω. Αν μπορεί κάποιος να με βοηθήσει τον/την ευχαριστώ πολύ.

Μια μεγάλη αεροπορική εταιρεία έχει παρατηρήσει ότι, κατά μέσον όρο, 3 αεροπλάνα παρουσιάζουν κάποιο είδος βλάβης (και τίθενται εκτός υπηρεσίας) κατά την διάρκεια μιας εβδομάδας. Για να μην διακινδυνεύσει το καλό της όνομα η εν λόγω εταιρεία, έχει πάντα διαθέσιμα αεροπλάνα, τα οποία αντικαθιστούν αυτά που παρουσιάζουν βλάβη. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός διαθέσιμων αεροπλάνων που πρέπει να έχει η εταιρεία, ώστε με πιθανότητα 95%, να υπάρχει διαθέσιμο αεροπλάνο όταν κάποιο αεροπλάνο παρουσιάσει βλάβη;

Ουσιαστικά, πρέπει πρώτα να μοντελοποιήσεις τη διαδικασία βλάβης σε αεροπλάνο. Εικάζω θα είναι κάποια Poisson κατανομή. Και μετα ρωτά για ποιον αριθμό αεροπλάνων η πιθανότητα να χαλάσουν όλα θα είναι κάτω από 5%.

Το παίρνεις σαν Poisson κατανομή . Αυτό το κάνεις γιατι η μία βλάβη δεν επηρεάζει την άλλη , και γιατί δεν σου λέει ότι ακολουθεί κάποια άλλη γνωστή κατανομή ... γενικά σε αυτά τα προβλήματα που λένε 5 σεισμούς / αιώνα, 3 κακοτεχνίες /  χλμ. οδοστρώματος κτλ. παίρνεις Poisson όταν το ένα γεγονός δεν επηρεάζει το επόμενο. Η Poisson εχει τον τύπο e^(-λt) * (λt)^x/x! όπου λ είναι η μέση τιμή . Εδώ η μέση τιμή είναι λ=3 βλάβες/ εβδομάδα. Αν ορίσεις ως μονάδα του χρόνου την μία εβδομάδα(και με ημέρα γίνεται, απλα εκει το λ=3/7)  ο παραπάνω τύπος γίνεται e^(-3*1) * (3*1)^x/x! όπου x είναι ο αριθμός των αεροπλάνων που έπαθαν βλάβη. Λόγου χάρη για χ=0 , έχεις πιθανότητα περίπου 0,05 και για χ=1 πιθανότητα περίπου 0,15. Συνεχίζεις να παίρνεις τον τύπο για 2 βλάβες, για 3 βλάβες... και τα αθροίζεις ολα αυτά μέχρι να φτάσεις πάνω από το 0,95.  Ισως υπάρχει και ευκολότερος τρόπος. Εμένα μου βγήκε το άθροισμα πάνω από 0,95 για χ=7 βλάβες δηλαδή 7 αεροπλάνα διαθέσιμα, πήρα όμως λίγο στρογγυλά τα νούμερα. Αν μπει κάτι τέτοιο στις εξετάσεις, δεν θα έχει τόσες πράξεις. Επισυνάπτω τις δύο παρουσιάσεις του  Ζιούτα για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές , όπου υπάρχουν όλα αυτά μέσα. Δεν έχει δυσκολία, παίρνεις συνέχεια τον ιδιο τύπο, απλά πρέπει να εξασκηθείς λίγο με το κομπιουτεράκι στα παραγοντικά - να μην κάνεις για πρώτη φορά τέτοιες πράξεις στις εξετάσεις ! 

Πάντως θα μου μείνει η απορία αν αυτός ο τρόπος των "διαδοχικών δοκιμών " είναι ο κατάλληλος για τέτοιου είδους προβλήματα... σκέφτομαι μήπως με την εκθετική κατανομή , που λέει η θεωρία ότι είναι το αντίθετο της poisson , μπορεί να γίνει ο παραπάνω υπολογισμός με λιγότερες πράξεις. Αντε εδώ τα αεροπλάνα είναι μοιραία κάπου ανάμεσα στο 3 και σε έναν μεγαλύτερο μονοψήφιο, αν η τιμή κινούνταν σε ένα εύρος 100δων (διακριτών) τιμών , πώς θα γινόταν αυτές οι πράξεις ;
Food for mind !