THMMY.gr

γενικά, ασκήσεις από πού να λύσουμε; για προετοιμασία και έτσι..

Σταυρακάκης

like a boss λαίμαι  8))

 :-* :-*

τιτλος;

λογικά "συνήθεις διαφορικές εξισώσεις" από ότι βλέπω και εγώ

εκδόσεις Παπασωτηρίου

αν είναι κάτι άλλο πείτε :P αλλά βρήκα σχετικό κεφάλαιο

Όταν μιλά η PsofiaPsira ξέρει. Είχε κάποτε φίλο και το Ρόθο.

 ;D Ευχαριστώ !

Υπάρχει αυτό το βιβλίο στην Αλεξανδρεια? και αν ναι ποιος ειναι ο κωδικος?

Ποιά κεφάλαια απο δω?  :(

Απορία/παρατήρηση σε άσκηση που έλυσε και φέτος και πέρυσι ο Robi και υπάρχει στη σελίδα 46 των σημειώσεων του Exomag. Αφορά τον βέλτιστο τετραγωνικό ρυθμιστή.

Στο πρώτο ερώτημα βρίσκουμε από την απαίτηση για το w_n το κ₁ και πάμε στο 2ο όπου ο όρος υ^ΤRu λείπει. Σε πρώτη φάση το θεώρημα που έχουμε απαιτεί αυστηρά θετικά ορισμένο R και το 0 δεν είναι τέτοιος πίνακας. Ας το παραβλέψουμε όμως...

Αυτό που κάναμε ήταν να ξανακάνουμε το 2ο μέρος της ανάλυσης, αυτό που απαιτεί το ελάχιστο ως προς u της παρένθεσης του σχετικού θεωρήματος να είναι 0 και καταλήξαμε σε μια αντίστοιχη Liapunov/Riccati (παίρνοντας R=0). Στην ανάλυση της θεωρίας βρήκαμε πρώτα τη θέση του ελαχίστου u0 και το αντικαταστήσαμε για να βρούμε την ελάχιστη τιμή. Για ποιο u όμως έχουμε ελάχιστο; Αν πάμε να κάνουμε κάτι παρόμοιο εδώ η παράγωγος ως προς u θα μας βγει x^TPB που δε μηδενίζεται για κάποιο u, αφού είναι ανεξάρτητη από αυτό... Θεωρώντας, ας πούμε, ότι αυτός ο όρος είναι θετικός θα έχουμε το ελάχιστο στο u=-οο, κάτι που φαίνεται και από την ενδιάμεση σχέση της ανάλυσης u=-Kx=-R^-1B^TPx που για R=0, θα δώσει άπειρο.

Και τέλος αυτό επαληθεύεται και διαισθητικά από την έννοια του LQR.. Αν λείπει ο όρος που αφορά την ενέργεια του ελέγχου και υπάρχει όλη η βαρύτητα του δείκτη J στην ελαχιστοποίηση της ενέργειας του μεταβατικού x, είναι λογικό ότι με άπειρα κέρδη (για το κ2, αφού το κ1 έχει ήδη καθοριστεί...), θα έχουμε μικρότερα (μηδενικά αν ήταν και τα 2 άπειρα;) J.

Και τα σχετικά αποτελέσματα για το συγκεκριμένο σύστημα (χωρίς κλειδωμένο το k1, αλλά τι να κάνουμε...):
> R=1: K = 1.0000    1.7321
> R=0.001: K = 31.6228   32.6074
> R=10^-20: K=10^10 10^10 και οδεύει προς το άπειρο καθώς το R->0

Οπότε λάθος λύση;

καλημέρα! Έχω μια απορία . Στις σημειώσεις exomag σελίδα 48. Στο τελικό πολυώνυμο pc(s), παίρνει τους όρους του να είναι θετικοί. Αυτό είναι κριτήριο ευστάθειας έτσι? Αν το πολυώνυμο ήταν 3ου ή μεγαλύτερου βαθμού θα έπρεπε να κάνει Routh για να βρει τις τιμές Δα, Δb για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές? Το ρωτάω γτ το συνάντησα σε ένα παλιό θέμα (Ιουνιος 14, θέμα 3ο)...

Ναι, θα έπρεπε να κάνει Routh!

ευχαριστώ!

οταν γραμμικοποιούμε ένα συστημα οπως στις σημειώσεις exomag και φτασουμε στη μορφη z(παραγωγος)=Αz+Bυ και w=Cz μετα τα z1,z2,z3 που γραφει κατω κατω σελ. 32 τι κάνουμε για να τα βρούμε ;;

To σύστημα σου έχει γραμμικοποιηθεί και τα z1,z2,z3 είναι οι μεταβλητές κατάστασης. Αν θες να δεις την απόκριση δεδομένης εισόδου τότε θα πρέπει να πας σελίδα 27 πάνω πάνω. Ε, στον τύπο θα βρεις τα z αν βάλεις τους γραμμικοποιημένους πίνακες και μετά βρίσκεις και τα x.

Αλλά όλα αυτά μόνο αν ζητάει απόκριση, πράγμα σπάνιο (τουλάχιστον στην πρόοδο και στον Ιούνη δε χρειάστηκε)

Ευχαριστώ πολύ !

Και συνεχίζω με τις απορίες μου  :P θέμα 2 Ιουνιος του 2014 μπορεσε κάποιος να βγάλει το σημειο ισορρόπιας γιατί κάνοντας όλα τα άλλα και πηγαίνοντας στη σχεση του χ παραγωγος να μηδενισω μου βγαινει κατι ατοπο .Μπορω να πω οτι εν τέλει δεν μπορεί να γραμμικοποιηθει ;

Κι εγώ αυτό συμπέρανα , ότι δεν μπορεί να βρεθεί ΣΙ, άρα δεν μπορεί να γίνει γραμμικοποίηση γύρω από αυτό ... Και δεν μου φαίνεται απαραίτητα παράλογο να είναι ερώτηση παγίδα, κρίνωντας από το στυλ της εξέτασης  :P

Πως μπορουμε να αιτιολογισουμε οτι ενα σημειο είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθες αφου εχουμε βρει οτι είναι ασυμπτωτικα;

Εμ.Εχεις βρει οτι ειναι ασυμπτωτικα τι;Μηπως εννοιεις αφου εχεις βρει οτι ειναι τοπικα;'Η εχεις βρει οτι ειναι απλα ευσταθες;

τοπικά  και μετα θελω  να αποδειξω οτι είναι ολικα

Αν τα συμπεράσματα σου ισχύουν σε όλο το χώρο καταστάσεων(πχ. R³ για 3 μεταβλητές) είναι ολικά. Δηλ. V'(x) < 0 για όλα τα x.

Αυτό σημαίνει επίσης ότι δε θα χεις κάνει γραμμικοποιηση γιατί μπαίνει αυτόματα η τοπικότητα. Με liapunov μόνο αν δεν είναι γραμμικό.

παιδια μια χαζή ερώτηση! σελίδα 14 απο exomag εκει με την ορίζουσα τι ακριβώς παίζει? πειδη έχουμε και τους όρους (κο+κ1) χ κ2 και δεν υπάρχουν πουθενά

Με βάση αυτή την ορίζουσα μπορείς να βρεις τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. Επειδή ο πίνακας δίνεται γενικά με βάση τα ko,k1,k2 δεν μπορείς να υπολογίσεις τις ιδιοτιμές με βάση το πολυώνυμο που προκύπτει, οπότε βρίσκεις τις προϋποθέσεις για να έχει 2 λύσεις στο αριστερό ημιεπίπεδο . Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να έχουμε  ασυμπτωτική ευστάθεια  :)

σελιδα 19 σημειώσεις exomag γιαί επιλέγει αυτή τη συναρτηση Lyapunov;;

+1

"Εμπειρία του σχεδιαστή."

:o τέλεια

Οτι πιο κοντα στην αληθεια εχω ακουσει

Αν έχω διπλή ιδιοτιμή στο 0 τότε τι συμβαίνει? ( και καμία άλλη)

Θα πόνταρα κάτι σε απλή ευστάθεια αλλά δεν είμαι καθόλου σίγουρος.

Ποιος είναι ο πίνακας Α του συστήματος σου?

Μάλλον ολοκληρωτής είναι το σύστημά σου; Απλά ευσταθές είναι

Όταν ζητάει να κάνουμε γραμμικοποίηση γύρω από το σημείο ισορροπίας, όπωςστο θέμα 3 της περσινής προόδου και δεν μπορουμε να βρούμε άμεσα κάποια τιμή για τα χ* , u* λύνουμε το ένα συναρτήσει του άλλου και επιλέγουμε αυθαίρετα μία τιμή για το u* που είναι είσοδος τέτοια ώστε να μην μας δημιουργεί πρόβλημα στον υπολογισμό των συντελεστών Α,Β,C,D ? Προσπαθώ να καταλάβω την λογική πίσω από όλο αυτό  :D

Δεν επιλεγεις τιμη ποτε για χ* και u*... Βρες τους πινακες συναρτησει αυτών, δε σε χαλανε.

Το σύστημα είναι:

dx1/dt = x2
dx2/dt = -x1^3 -x2 * x1^2

οπότε
Α =
 [ 0 1 ]
 [ 0 0 ]
στο Σ.Ι. (0, 0)
Γενικα τα Σ.Ι. είναι οι άξονες.

Δεν καταλαβαινω αν ειναι ολοκληρωτης (και μαλιστα διπλος) γιατι ειναι να ειναι ευσταθες?

Επίσης έκανα και μια γραφική παράσταση και πράγματι ποτέ δε φτάνει στο (0,0), αλλά πάντα είναι "κοντά"

https://drive.google.com/file/d/0BxzY0txWsh_MRVdha29EV3A2UW8/view?usp=sharing

edit : Έχετε δίκιο απλά δε βρίσκω Lyapunov της προκοπής... για να δείξω ότι είναι ευσταθές

Κι εγώ αυτό θα έκανα , η αλήθεια είναι ότι μπερδεύτηκα από μια παλιότερη συζήτηση για το θέμα ! Thanks  :)

V(x) = 0.25*x1^4 + 0.5x2^2

(επισης, σημεια ισορροπειας βρισκεις στο αρχικο, οχι στο γραμμικοποιημενο συστημα.
αφου το γραμμικοποιημενο εχει ιδιοτιμες στο 0, δε βγαζεις κανενα συμπερασμα και παρατας το indirect lyapunov)

Ναι σωστά!
με dV(x)/dt = -x1^2 * x2^2
dV(x)/dt = 0 στους άξονες
Για (0,α):
dx1/dt = α
dx2/dt = 0
μη αμετάβλητο συνολο! ( εκτός 0 )

Για (α,0):
dx1/dt = 0
dx2/dt = -α^3
Μη αμετάβλητο σύνολο ! ( εκός 0 )

Mε θεώρημα Lassale:
 Το (0,0) τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές
Τα παραπάνω για τη V(x) ισχύουν για το R^2, οπότε
Το (0, 0 ) Ολικά Ασυμπτωτικά Ευσταθές

Μα ο Α =
[ 0 1 ]
[ 0 0 ]
 δε δείχνει την τοπική συμπεριφορά?

τη δειχνει, υπο συνθηκες(https://en.wikipedia.org/wiki/Hartman%E2%80%93Grobman_theorem).

αλλα οταν ολες οι ιδιοτιμες ειναι στο LHS, εκτος απο μερικες που ειναι στο 0, τοτε δε μπορουμε να χρησιμοποιησουμε την εμμεση μεθοδο lyapunov.
δες πχ την αποδειξη στο λινκ, οπου χρησιμοποιει το γεγονος οτι ολες οι ιδιοτιμες ειναι αρνητικες για να δειξει οτι υπαρχει καταλληλο P >0.
http://www.clemson.edu/ces/crb/ece874/Lemmon/Lectures/lecture-9.pdf

Οταν χωρίζω σε ελεγξιμο και μη ελέγξιμο μέρος πως βρίσκω τις ιδιοτιμές του μη-ελέγξιμου μέρους?
π.χ
 Α=
[α β]
[0 γ]   
τα β,γ,0 ειναι το μη ελέγξιμο μέρος. Τι πινακα θα πάρω για να βρώ τις ιδιοτιμές του?? μήπως εναν πινακα στήλη?
Β=
[β]
[γ]

Τις ιδιοτιμές του γ θες

Έχω 2 απορίες:
1)Στη σελ.20 απο τις σημειώσεις του exomag στο 2ο παράδειγμα, Γιατί παίρνει αυτή τη συνάρτηση Lyapunov?? Λογικά έχει κάποια σχέση με την συνάρτηση Lyapunov γραμμικών συστημάτων αλλά γτ??

2) Στην 6η άσκηση(σελ. 8,9 του pdf) απο αυτές που ανέβασε ο/η τσαι-borg πριν λίγες μέρες στα downloads. Στο γ ερώτημα παίρνει μια σχέση για την συνάρτηση Lyapunov με ένα πίνακα. Πως βρίσκει αυτόν τον πίνακα??

1) Δες σελίδα 19, σου λέει ότι μπορείς να πάρεις και τέτοιου είδους υποψήφιες lyapunov. Μια εναλλακτική είναι, δεν υπάρχει μοναδική συνάρτηση.
2) Ουσιαστικά ανάγω την υποψήφια lyapunov σε τετραγωνική μορφή γιατί τότε το μόνο που θες είναι θετικά ορισμένο τον πίνακα. Στην υποσημείωση που έχω με φρικτά μικρά γράμματα λέω πως μπορείς επίσης να κάνεις συμπλήρωμα τετραγώνων, πράξεις έιναι.

Ευχαριστώ.
Για το 2) κατάλαβα τι κάνει και απλά ελπίζω να μην βάλει κάτι τέτοιο αύριο.  :P
Για το 1) συνεχίζω να μην καταλαβαίνω αλλά μάλλον είναι απο αυτά που του έρχονται ουρανοκατέβατα...   :D

Σχετικά με τις πράξεις, αν σε μπερδεύει σκέψου το ως εξής, η τετραγωνική μορφή είναι ουσιαστικά τα τετράγωνα όταν μιλάμε για περισσότερες μεταβλητές. Εσύ έχεις x1² και 2*x2² καθώς κι έναν συντελεστή στο γινόμενό τους. Όταν κάνεις τις πράξεις πολλαπλασιασμού με τα διανύσματα και τους πίνακες, θα εμφανιστούν 2 όροι με x1*x2, για να είναι λοιπόν ισοδύναμη η τετραγωνική μορφή με την έκφραση που βρήκες, ο συντελεστής του γινομένου δε θα πρέπει να είναι /2 ;
(δοκίμασε να το κάνεις μια φορά ανάποδα, δλδ να έχεις x^T*A*x και στον Α βάλε απλώς τιμές α,β,γ,δ. Κάνε τις πράξεις και δες με τι πρέπει να αντιστοιχούν οι συντελεστές που βρήκες.

Μπορεί κάποιος να μου πει  αν μπορώ να βγάλω, και αν ναι τι,συμπεράσματα για την ευστάθεια ή κάτι άλλο από την μορφή της ορίζουσας του πίνακα του συστήματος?

Μπορεί να είμαι χαζός που δεν το καταλαβαίνω αλλά εχω πρόβλημα στο θέμα "να αποδείξεις την ολική ευστάθεια".

Φτάνω στο  σημείο όπου αποδεικνύω ότι V' <= 0  .  Άρα έχω ευστάθεια.
Παίρνω V' = 0  , και βρίσκω ποιά x1 , x2 την μηδενίζουν. 

Απο κεί και πέρα..? Τα βάζω στο σύστημα και τι θέλω να δω? 

Είδα σε άλλα topics την εξήγηση με τα σύνολα και την σύγκλιση  αλλά δεν την καταλαβαίνω σαν θεωρητική ανάλυση.

Πρακτικά; Πως αποδεικνύω Ολική ευστάθεια απο το σημείο που το φτασα?  :)

Αν από εκεί και πέρα θες να δεις και ασυμπτωτική ευστάθεια, θα πρέπει να πας με Lassale. Έχει λυμένα παραδείγματα στις σημειώσεις και πάντα κάνεις το ίδιο πράγμα.

Αντικαθιστάς τις λύσεις στις εξισώσεις κατάστασης. Πρέπει να δεις σε ποια x δεν φεύγουν οι εξισώσεις από το σύνολο των ριζών που έχεις ορίσει. Έστω πχ ότι είχες 2 ρίζες στην παράγωγο Lyapunov, τις x = 1 και x = 0. Αντικαθιστάς στις εξισώσεις και βλέπεις ότι για x=0 έχεις x'=0 και για x=1 έχεις x' = 100. Στη δεύτερη περίπτωση, μετά από μικρό χρονικό διάστημα το χ θα φύγει από το σύνολο των ριζών γιατί η παράγωγος είναι θετική και άρα το χ θα αυξηθεί. Στην πρώτη περίπτωση η παράγωγος θα είναι 0 και άρα το χ θα μείνει ίδιο οπότε δεν φεύγει από το σύνολο των ριζών, άρα το 0 είναι το μέγιστο αμετάβλητο υποσύνολο και είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές/

Στην ουσία το Lasalle δεν μπορώ να καταλάβω,  σε πρακτικό επίπεδο.

"Η λύση θα τείνει στο μεγαλύτερο αμετάβλητο σύνολο που περιέχει το S" δεν το χω πιάσει.

Έχω τα x1,x2 που μηδενίζουν το V'. Έχω το Σύστημα.

Κάνω αντικαταστάσεις ..και..?

utr αναβάθμισα τη λύση πάνω

Eνώ στο ίδιο παράδειγμα  πότε θα ήταν απλ'α "Τοπικά" ?
Να 'σαι καλά πάντως, το πιασα!!  ;D

1) Όταν αυτά που βγάζεις δεν ισχύουν για όλα τα x. Έστω ότι παίρνεις Lyapunov και βγαίνει V' <= 0 μόνο για x < 5. Για όλα τα άλλα έχει αστάθεια. Κάνεις Lassalle και βγαίνει όντως ασυμπτωτικά ευσταθές. Θα 'ναι όμως τοπικά, γιατί δεν ισχύει για όλα τα x.

2) Όταν το βγάζεις για όλα τα x, αλλά το σύστημα σου είναι μια προσέγγιση του κανονικού, ας πούμε από γραμμικοποίηση. Κάνεις γραμμικοποίηση και βγάζεις ασυμπτωτική ευστάθεια για όλα τα x. Ως προς το γραμμικοποιημένο σύστημα έχεις για όλα τα x, αλλά ως προς το κανονικό έχεις τοπική ευστάθεια, γιατί το γραμμικοποιημένο είναι μια προσέγγιση του κανονικού και μακριά από το σημείο γραμμικοποίησης η προσέγγιση δεν είναι καλή.