THMMY.gr

Μπορείτε  να με βοηθήσετε στο ακόλουθο πρόβλημα πιθανοτήτων;

"Αν υπάρχουν 4 παντρεμένα ζευγάρια σε μία σειρά, να βρεθεί η πιθανότητα ότι κανένας άνδρας δεν κάθεται δίπλα στη γυναίκα του."

-->Ο δειγματοχώρος Ω θα είναι ίσος με 2*4=8 άτομα, 8!=40320 συνδυασμοί.

Με ποιο τρόπο όμως θα βρούμε αυτό που μας ζητάει η άσκηση;;

 :( :-\

Δες το πρόβλημα αναδρομικά: Έχοντας διατάξει με τον ζητούμενο τρόπο τα n ζευγάρια πας να τοποθετήσεις το (n+1)οστό ζευγάρι.
Τον άνδρα μπορείς να τον τοποθετήσεις με 2n+1 τρόπους και αφού τοποθετήσεις τον άνδρα την γυναίκα μπορείς με 2n τρόπους.
Άρα αν a(n) είναι το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορείς να τοποθετήσεις n ζευγάρια σύμφωνα με την εκφώνηση:
a(n+1)=a(n)*2n*(2n+1)
Τώρα το a(2) το βρίσκεις, και το a(4) βγαίνει αναδρομικά.   

Σε έχασα. . . . . για n=1 όμως...πώς θα βρω το a(1) ;;;  Μπορείς να γίνεις πιο αναλυτικός...να μου το εξηγήσεις περισσότερο αν γίνεται;; thnx :)

Δε νομίζω να είναι σωστό αυτό που λες. Γιατί δεν είναι αναγκαστικό να πάρεις ένα σωστό σενάριο n και να προσθέσεις τους (n+1).
Μπορείς να πάρεις ένα μούφα σενάριο για n, δηλαδή που υπάρχει άντρας που κάθεται δίπλα στη γυναίκα του, και να βάλεις έτσι τους (n+1) που να διορθώνουν το παλιό λάθος ( δηλαδή ανάμεσα απ`τον άντρα και τη γυναίκα ).
Φαίνεται κι απ`το ότι πήρες για base case το a(2) αντί για το a(1).

Βρήκα ένα παρόμοιο πρόβλημα,με 5 ζευγάρια που κάθονται σε ΣΤΡΟΓΓΥΛΟ τραπέζι και ίδιο ζητούμενο,και χρησιμοποιούσε ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ-ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ......wtf !!!! :-\

Αυτά με τους κύκλους πρέπει να είναι αρκετά πιο δύσκολα απ`τις απλές σειρές.

Πού τα βρίσκεις αυτά που ρωτάς;

Παρεπιπτόντως, η απάντηση για το πρόβλημά σου νομίζω ότι είναι 13824 αλλά βαριέμαι να γράψω πώς το έβγαλα, έχει πολύ γράψιμο. Αύριο μάλλον θα καταφέρω να στο στείλω.

https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:PV13NZI5S1MJ:www.samos.aegean.gr/math/felouzis/ask2.pdf+&hl=en&gl=gr&pid=bl&srcid=ADGEESjH9GOoq9paH1xLnXvBJLjE2P3QG-JAdMf6KS8RxaBs-w_Izh4STXpk9_EHoLCOYETypmf_nxDJH0cCKjMXYZLxjs8tF3TGOThtLkEjqWzrGld8afsbf3UCfGMrZCjksvg2HE6M&sig=AHIEtbSw72pk_eNGsf7vpgiOOZklGUPCkA



Άσκηση 15. . . . . και έχει  πιο κάτω άλυτη για εξάσκηση αυτή που θέλω .. . . -.- Ό,τι να'ναι. . . .

η πιθανότητα να κάθεται ένας άντρας δίπλα στη γυναίκα του είναι
8!/6!=56  4*56=224 224/8!=0,55%
άρα να μην κάθεται 100-0,55=....

Να κάθεται ένας;;...μήπως πρέπει να βρούμε την πιθανότητα να κάθεται ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένας....;; :-\

δεν είμαι σίγουρος βαριέμαι να το ψάξω παραπάνω.Μέτρα με τα δάκτυλα για επαλήθευση

Θα πούμε a(x,y) τους τρόπους να βάλουμε x ζευγάρια και τα y από αυτά να κάθονται δίπλα δίπλα. Προφανώς y <= x και η απάντησή μας θα είναι η a(4,0).

Η base case μας θα είναι το 1 ζευγάρι, αφού μπορούμε να το υπολογίσουμε πολύ εύκολα με το μάτι.
Έχουμε λοιπόν a(1,0) = 0, αφού δε γίνεται να μην κάθονται δίπλα, και a(1,1) = 2 ( πρώτα η γυναίκα μετά ο άντρας ή πρώτα ο άντρας, μετά η γυναίκα ).
Για a(2,0) έχουμε
a(2,0) = a(1,1) * 1 * 2 + a(1,1) * 2 * 1 = 8
Αυτό συμβαίνει γιατί προφανώς κάποιος πρέπει να χωρίσει το πρώτο ζευγάρι ώστε να μην έχουμε κανένα ζευγάρι να κάθεται δίπλα δίπλα. Ή ο άντρας θα το κάνει ( *1 ) κι η γυναίκα θα κάτσει οπουδήποτε εκτός δίπλα του άντρα της (*2) ( για να μην ξαναδημιουργηθεί λάθος ), ή η γυναίκα θα το κάνει, άρα ο άντρας *2 κι αυτή *1.
Για a(2,2) έχουμε ότι είναι ίσο με 8. Γιατί πρέπει και τα δύο ζευγάρια να είναι δίπλα δίπλα. Όμως μπορούμε να τους βάλουμε με όποια σειρά θέλουμε ( πρώτα το πρώτο ζευγάρι και μετά το δεύτερο ή ανάποδα ), άρα *2, και το κάθε ζευγάρι έχει δύο τρόπους, πρώτα η γυναίκα και μετά ο άντρας ή ανάποδα, άρα *2 το κάθε ζευγάρι, άρα *4. Άρα συνολικά έχουμε 3 φορές το *2, άρα 8.
Οι τρόποι να διατάξουμε 4 ζευγάρια είναι 4! = 24. Άρα a(2,1) = 24 - a(2,0) - a(2,2) = 8.

Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό βγάζουμε τα
a(3,0) = a(2,0)*5*4 + a(2,1)*2*4 + a(2,2)*2 = 240
a(3,2) = a(2,1)*4*2 + a(2,2)*3*2 + a(2,2)*2*2 = 144
a(3,1) = (2*3)! - a(3,0) - a(3,2) = 288

Και τέλος
a(4,0) = a(3,0)*7*6 + a(3,1)*2*6 + a(3,2)*2 = 13824
απ`τους συνολικά (2*4)! = 8! = 40320 τρόπους.

Το σκεπτικό είναι ακριβώς αυτό που χρησιμοποίησε ο kartas, απλά πιάνω και τις περιπτώσεις που υπήρχαν λάθη και τα διορθώνουμε.
Όπου ζητάμε δύο φορές μια παλιά τιμή ( πχ στο a(3,2) ζητάμε την a(2,2) δύο φορές ) είναι γιατί μία χαλάμε ένα ζευγάρι και επανορθώνουμε ξαναδημιουργώντας το ( αφού 2 ανθρώπους προσθέτουμε κάθε φορά ) και την άλλη απλά δεν το χαλάμε αλλά δεν καθόμαστε και δίπλα για να μην αλλοιώσουμε το αποτέλεσμα.

Αυτά.
Ελπίζω να βοήθησα.

Σωστή η διόρθωση αν και κάτι μου λέει ότι υπάρχει πιο σύντομος τρόπος από τις αναδρομικές σχέσεις.

Χρησιμοποίησα έναν κάπως ανορθόδοξο τρόπο και βρήκα ότι υπάρχουν 17280 τρόποι για να μην κάθονται δίπλα.  (Α1-Γ1   Α2-Γ2  Α3-Γ3  Α4-Γ4)

Στην 1η θέση μπορεί να καθήσει οποιοσδήποτε (8), στη δεύτερη όλοι εκτός του/της συζύγου του πρώτου και ο πρώτος(αφού φυσικά έκατσε στην πρώτη θέση) (6),στην τρίτη θέση όλοι εκτός των δύο πρώτων και του/συγύγου του τρίτοι (5).Για τις τρεις πρώτες θέσεις είναι πάντα έτσι !!!

Από εκεί και πέρα...για να καταλήξω στον αριθμό 17280 έβαλα στις 4 πρώτες θέσεις έναν ακριβώς 1 άτομο από κάθε ζευγάρι,δηλαδή αν π.χ. έκατσε στην 3η θέση ο Α2,η γυναίκα του Γ2 θα κάτσει στην 5,6,7 ή 8η θέση.

Θα'ναι λοιπόν, Ν=8 x 6 x 5 x 4 x 3 x 3 x 2 x 1=17280 τρόποι.

Δε νομίζω.

Έβαλα πρόγραμμα να τρέξει όλους τους πιθανούς συνδυασμούς και έλεγχα ποιοί δεν είχανε ζευγάρι δίπλα δίπλα. Το αποτέλεσμα ήταν το ίδιο με αυτό που έβγαλα θεωρητικά.

Συμφωνώ πάντως ότι δεν παίζει να ζητούσε κάτι τόσο πολύπλοκο, προφανώς θα υπάρχει κάποιο έτοιμο θεώρημα πιο γενικό.

Αν θες να το ελέγξεις είναι αρκετά απλό, απλά κάνω ονομάζω στον πίνακα Α όλους τους ανθρώπους, και βάζω όσους είναι ζευγάρι να απέχουν κατά 1. Ὸσοι δεν είναι ζευγάρι, απέχουν περισσότερο. Οπότε μετά απλά ελέγχω με την Ok πόσα λάθη υπάρχουν ( δηλαδή πόσοι διαδοχικοί αριθμοί απέχουν περισσότερο από ένα ).

Θα βάλουμε στις 4 πρώτες θέσεις 1 από κάθε ζευγάρι και στις υπόλοιπες 4 τον άλλο.  {Α-Β   Γ-Δ   Ε-Ζ  Η-Θ}

Στην 1η θέση βάζουμε οποιονδήποτε,δεν υπάρχει περιορισμός (8),έστω ότι  βάζουμε το Α.
Στη 2η θέση δεν μπορούμε να βάλουμε το Α (μπήκε πριν) και το Β αφού ειναι ζευγάρι, άρα (6). Έστω ότι μπαίνει ο Γ.
Στην 3η θέση δεν μπορει να μπει ο Α,Γ και ο Δ ως σύζυγος, άρα (5). Έστω ότι βάζω το Ε.
Στην 4η θέση δεν μπορεί να μπει ο Α,Γ,Ε και ο Ζ ως σύζυγος, άρα (4).Έστω ότι βάζω το Η.
Στην 5η θέση δεν μπορεί να μπει ο Α,Γ,Ε,Η και ο Θ ως σύζυγος άρα (3).Έστω ότι βάζω το Β.
Στην 6η θέση δεν μπορεί να μπει ο Α,Γ,Ε,Η,Β άρα πάλι (3).Έστω ότι βάζω το Δ.
Στην 7η θέση δεν μπορεί να μπει ο Α,Γ,Ε,Η,Β,Δ άρα (2).Έστω ότι βάζω το Ζ.
Στην 8η θέση και τελευταία μπορεί να μπει μόνο το Θ, αφού όλα τα υπόλοιπα μπήκαν, άρα (1).Βάζω λοιπόν υο Θ.

Τελικά θα έχω 8*6*5*4*3*3*2*1=17280 . !!!!!  Δοκίμασε το και εσύ αν θέλεις!! :)

Ξες γιατί διαφωνώ; Ακριβώς επειδή δεν μπορώ να πω ότι τα χειρίζομαι στα δάχτυλα αυτά. Απ`την άλλη, αυτό που κάνω με τον υπολογιστή μου φαίνεται απόλυτα κατανοητό και δύσκολο να γίνει λάθος ( απλά δοκιμάζει τα πάντα ).

Επίσης αυτό που λες έχει λάθη τα οποία νομίζω αν διορθώνονταν θα έδιναν το ίδιο αποτέλεσμα με το δικό μου. Τι εννοώ :
Στο πρώτο βήμα όντως δέχομαι ότι βάζουμε όποιον να`ναι, άρα 8, ας πούμε ο Α.
Και στο δεύτερο βήμα δέχομαι το "άρα (6)" και βάζεις τον Γ.
Όμως στο τρίτο βήμα το έστω Ε δεν είναι σωστό γιατί δεν έχουν όλοι οι πιθανοί τις ίδιες ιδιότητες, όπως στα 2 προηγούμενα βήματα. Οι Ε-Ζ-Η-Θ έχουν τις ίδιες, αλλά ο Β που είναι κι αυτός πιθανός έχει διαφορετικές.
Δηλαδή σκέψου τα ως δύο σύνολα, αυτά που το ζευγάρι τους έχει ήδη μπει, κι αυτά που δεν έχει μπει. Μέχρι το 2ο βήμα έχεις να επιλέξεις μόνο απ`το ένα σύνολο, οπότε σωστά τους βάζεις.
Στο 3ο βήμα έχεις την επιλογή να βάλεις απ`το άλλο ( τον Β ), πράγμα που δεν εξετάζεις και τον υπολογίζεις όπως και τους Ε-Ζ-Η-Θ μέσω του *5.

Το εξέτασα ...δηλαδή δοκίμασα να βάλω στις 4 πρώτες θέσεις και το άλλο άτομο από το ίδιο ζευγάρι.Τότε κατεβαίνει ο αριθμός για την επόμενη θέση ή την μεθεπόμενη..βγαίνει άλλες φορές 9600 και άλλες κοντά στις 11250 κάπου εκεί. Οπόε....πού καταλήγουμε;;;;;;  :-\

http://users.auth.gr/~cmoi/e-book%20on%20Probability-I/Docs/Section03/solve_exercise2n5.htm

Και δηλαδή για n=4 ζευγάρια πώς θα βρούμε την πιθανότητα;;;; Δεν πολυκατάλαβα αυτά που λέει. . .  .  :-\

Απ`αυτό που έγραψα πριν, το θεωρητικό, θες να σε βοηθήσω κάπου; Αν καταλαβαίνεις τους τύπους, τότε έχεις την απάντηση.

γμστα δηλαδή κάνουν και άλλοι τέτοιες μαλακίες εκτός απο εμάς  :o

Το λινκ στην πρωτη σελιδα σε οδηγει σε ασκησεις του μαθηματικου τμηματος της σαμου..

Σωστά, κι αφού είμαστε ένα καλά διαμορφωμένο γκέτο που απαντάμε απορίες μόνο μεταξύ μας, γάμα τον.

Απο τη στιγμη που εχουν δικο τους φορουμ (http://www.mathcom.gr/index.php?action=forum) ποιος ο λογος να μπει σε αλλο και μαλιστα φοιτητων ημμυ?Μηπως για να παρει ετοιμη την λυση?

Και μαλιστα δευτερη φορα μεσα σε ενα μηνα. (https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=55214.0)

Και τριτη (https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=55327.msg949041#msg949041) και τεταρτη φορα. (https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=55271.msg948276#msg948276)

Ρε τσακάλια....ΗΜΜΥ είμαι και εγώ αλλά όχι Θεσσ......Πρέπει να λύσω κάποιες ασκήσεις και επειδή ο καθηγητής είναι χύμα στο κύμα....ψάχνω στο ίντερνετ μήπως βρω κάποια άκρη...κυρίως PDF ή παρουσιάσεις από άλλα τμήματα.Έτοιμη λύση δεν ζήτησα από κανέναν.Την λύση μου την έβαλα εδώ το απόγευμα έτσι κι αλλιώς....την προσπάθησα την άσκηση, δεν έκανα εδώ το post και περίμενα τους μαλάκες να την λύσουν...