THMMY.gr

Το λοιπόν έχω μια ομογενή διαφορική δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, οι οποίοι όμως δεν είναι πραγματικοί αλλά ένας εξ αυτών φανταστικός. Πιο συγκεκριμένα έχω την:

y'' + ja y' + b y = 0,   a,b πραγματικοί

Υποψιάζομαι ότι η λύση της είναι της μορφής y = C₁ cosh(Ax) + C₂ sinh(Ax), Αλλά δεν μπορώ να βρω τι σκατά είναι αυτό το Α.. :/

Οποιαδήποτε ιδέα ή βοήθεια δεκτή...

Μια ιδέα (με την υπόθεση ότι η y είναι πραγματικής μεταβλητής x):

• Υποθέτεις πως y(x)=e^λx και, αντικαθιστώντας, προκύπτει λ²+jaλ+b=0.
• Λύνεις την εξίσωση και βρίσκεις τις δύο ρίζες: λ₁ και λ₂ (εν γένει, μιγαδικές)
• Επομένως, έχεις δύο συναρτήσεις y₁(x)=e^λ₁x και y₂(x)=e^λ₂x
• Η γενική λύση της διαφορικής θα είναι y(x)=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)

Σε περίπτωση που η y είναι μιγαδικής μεταβλητής z, ΙΣΩΣ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙΣ να θεωρήσεις πως y(z)=e^λz και να προχωρήσεις ανάλογα...

Ναι βασικα είπα μαλακία πριν,

e^λx όπου χ φανταστικός

Υποθετω οτι το A θα ειναι μιγαδικος, οποτε θα ειναι της μορφης A_r + jA_i, με A_r, A_i πραγματικους. Μπορεις μετα να παρεις τον τυπο του αθροισματος τοξου για το υπερβολικο συνημιτονο και ημιτονο, χωριζοντας ετσι τα πραγματικα απο τα φανταστικα τοξα, και να λαβεις υποψιν οτι cosh(jφ) = cos(φ) και sinh(jφ) = jsin(φ). Το πώς θα βρεις το A βεβαια ειναι μια αλλη κουβεντα...

Η γενικη λυση παντως θα βρεθει ως συνηθως απο τις ριζες του χαρακτηριστικου πολυωνυμου λ² + (ja)λ + b = 0, που ειναι δευτεροβαθμια με μιγαδικους συντελεστες, οποτε θα εχεις δυο μιγαδικες ριζες ρ₁ και ρ₂, που γενικα δεν θα ειναι συζυγεις. Τοτε θα ειναι y = c₁e^ρ₁t+c₂e^ρ₂t, αλλα εδω επειδη δεν ειναι συζυγεις οι ριζες δεν νομιζω να γινεται να βγαλεις εναν πιο συγκεκριμενο τυπο.

Edit: αν διερευνησεις το προσημο της διακρινουσας Δ = -a² - 4b νομιζω οτι μπορεις να βγαλεις καποια συμπερασματα:
Αν Δ > 0, τοτε οι ριζες θα ειναι (-ja ± sqrt(Δ))/2, οποτε η y θα σου βγει ενα περιπλοκο πραμα με κυκλικες και υπερβολικες τριγωνομετρικες.
Αν Δ = 0, θα εχεις διπλη φανταστικη ριζα, αρα y = (c₁+c₂t)e^jωt, που ειναι μια μιγαδικη συναρτηση που κανει αμειωτες ταλαντωσεις λεω μαλακιες, ταλαντωσεις θα κανει αλλα σιγουρα οχι αμειωτες. Πρεπει να δεις τι παιζει με τις σταθερες ολοκληρωσης.
Αν Δ < 0, τοτε οι ριζες θα ειναι φανταστικες, οποτε θα εχεις ενα αθροισμα αμειωτων ταλαντωσεων με δυο διαφορετικες συχνοτητες, και στο πραγματικο και στο φανταστικο μερος.

Αυτα.

Edit #2: Θα ηταν μια καλη ιδεα να χωσεις μερικα παραδειγματα για ολες τις περιπτωσεις του Δ στο Mathematica π.χ. και να πλοτταρεις πραγματικο/φανταστικο μερος και μετρο/φαση, πιστευω θα βοηθησει πολυ στην εποπτεια.

Μωρέ άμα είχα mathematica θα μπορούσα να το λύσω άμεσα :P

Γενικά πάντως προχωράει μ' αυτά που λέτε, απλά χάνομαι λίγο με τις πράξεις, γιατί έχω και κουλές Ο.Σ. και περιπλέκονται οι σταθερές κλπ. Τεσπα θα επανέλθω αργότερα γιατί πρέπει να κάνω και φαί :P

Σας ευχαριστώ πάντως!!

Δοκιμασες μηπως να το ριξεις στο Wolfram Alpha;

Λοιπόν μετά το φαί λύνεις καλύτερα τελικά :P


Όπως λέτε και οι τρεις η γενική λύση θα είναι η y = c₁e^ρ₁t+c₂e^ρ₂t, όπου ρ_1,2 οι ρίζες της Χ.Ε. s² + (ja) s + b =0 οι οποίες και είναι μιγαδικές. Άμα κάνεις πολλές πολλές πολλές πράξεις το αποτέλεσμα (για Δ>0) θα είναι μια μίξη με εκθετικά και υπερβολικές συναρτήσεις (για τις σταθερές ομιλώ γιατί η γενική λύση φαίνεται αρκετά κομψή, αλλά έλα που δεν είναι)...


Σας ευχαριστώ και τους 3 πάντως!!

Εγω που δεν εχω λυσει ποτε διαφορικη με μιγαδικους να αρχισω να φοβαμαι για αυτα που βλεπω...; :Ρ