THMMY.gr

1ο θέμα Σεπτέμβρη 2007:

(https://www.thmmy.gr/smf/index.php?action=dlattach;topic=41760.0;attach=41830;image)

Ξέρει κανείς πώς στο διάολο λύνεται?

Σε μια παλιότερη απάντηση προτάθηκε η χρήση των σχέσεων:
x(t) = a cos(ωt)
y(t) = b sin(ωt)

Βολεύει, και οδηγεί σε μια λύση, αλλά το αποτέλεσμα είναι συναρτήσει του ω. Για να θεωρηθεί πλήρης η λύση θα πρέπει να βρεθεί μια σχέση μεταξύ του ω και των άλλων δεδομένων που δίνονται, και πιο συγκεκριμένα του (σταθερού) μέτρου της ταχύτητας v.

Το κατάφερε κανένας?

r(t)={x(t)=acos(wt),y(t)=bsin(wt)}

dr(t)/dt={dx(t)/dt=-awsin(wt),dy(t)/dt=bwcos(wt)}
 
με μετρο

|v(t)|²= (dx(t)/dt)^2 + (dy(t)/dt)^2

επειδη θες να ειναι σταθερο d|v(t)|/dt=0 =>(πραξεις...) a=b

αρα κινειται σε κυκλο αρα ω=v/a

δεν ειμαι σιγουρος αλλα μπορει και να ειναι σωστο.. :D

Αυτό το έκανα κι εγώ.. καταλάθος, αλλά δεν πρέπει να είναι σωστό. Αφού δηλώνεται σαφώς ότι κινείται σε έλλειψη, ο κύκλος προφανώς είναι ειδική περίπτωση.

Μου 'χει σπάσει τα νεύρα αυτό το θέμα, δοκίμασα διάφορες ταρζανιές αλλά διαρκώς περιπλέκονται οι πράξεις. Κατά πάσα πιθανότητα είναι κάτι απλούστατο και εντελώς χαζό που απλώς δεν έχω σκεφτεί...........

Το ιδιο θεμα πρεπει να ειχε πεσει και το Φλεβαρη του 2009 ( τοτε το ειχα περασει το μαθημα και σαν κατι παρομοιο να θυμαμαι )

Και μαλιστα θυμαμαι πως ειχα καταληξει και γω σε κυκλο ( λανθασμενα )

Κατι πρεπει να παιζει με το μοναδιαιο διανυσμα της ταχυτητας, ξερεις το v₀=v/|v|

( με bold συμβολιζω τα διανυσματα ) Καπου ειχα καταληξει μετα στο σπιτι ( αν θυμαμαι καλα ) αλλα εχω πεταξει/δωσει τις σημειωσεις μου

αλλη μια προσπαθεια..!

ω=2π/Τ  Τ=v/l (σαν εοκ,αφου το μετρο ειναι σταθερο) οπου l η περιφερεια της ελλειψης(τυπολογιο ή λογισμος...)=>βρισκω το ω συναρτησει της ταχυτητας και των μηκων των αξονων της ελλειψης(νομιζω αυτο εψαχνες)

γιατί έχετε στο συν/ημίτονο το "ω" ?

γιατί όχι

x(t) = a cos(t)
y(t) = b sin(t)

το "ω" τι χρειάζεται? συνάρτηση του χρόνου δεν είναι η κίνηση.. και πάνω σε μία έλλειψη τι συμβολίζει το "ω"..


εδιτ : άλλωστε και σε βιβλίο αναλυτικής γεωμετρίας εάν δείτε του λυκείου.. οι

x(t) = a cos(t)
y(t) = b sin(t)

είναι οι παραμετρικές εξισώσεις μίας έλλειψης.

Σωστόστ! (http://el.wikipedia.org/wiki/Έλλειψη)

και η κινηση σε ελλειψη ειναι μια περιοδικη κινηση. εκει χρειαζεται το ω. το να παρεις το ω μοναδα ειναι αυθαιρετο.

Ωστόσο, με τις συγκεκριμένες παραμετρικές εξισώσεις η ταχύτητα δεν έχει σταθερό μέτρο.

Δεν ειναι οι μοναδικές παραμετρικές εξισώσεις που επαληθεύουν την εξίσωση της έλλειψης αυτές.
Αν τις ξέραμε από την αρχή το πρόβλημα θα είχε λυθεί.

Για αυτούς που βαριούνται η λύση (λογικά αν δεν έχω κάπου λάθος :P).

Η ακτίνα καμπυλότητας δε θυμάμαι πώς ορίζεται :P

Αρε engine, σαν τον παλιό καλό καιρό :-[

Λοιπόν Γιάννη έχεις απόλυτο δίκιο.. αυτό κοιτούσα τώρα..

 η ακτίνα καμπυλότητας ορίζεται :

dφ/ds=1/ρ ή βοηθητικά dφ/dt = (dφ/ds).(ds/dt) = (dφ/ds).υ = υ/ρ

όπου dφ η μεταβολή της γωνίας του εφαπτομενικού προς την τροχιά μοναδιαίου διανύσματος της επιτάχυνσης.. εφόσον η ταχύτητα είναι σταθερή τότε η επιτάχυνση θα έχει συνιστώσα μόνο προς την διεύθυνση που είναι συνεχώς κάθετη στην τροχιά.

α = uN . υ^2 . 1/ρ

όπου α διάνυσμα της επιτάχυνσης παράλληλο προς το μοναδιαίο κάθετο πάνω στην τροχιά διάνυσμα uN.

και ναι τελικά τα έκανα θάλασσα.. :P

ποτέ δεν τα πήγαινα τόσο καλά με τα μαθηματικά.. αλλά η απάντησή σου είναι φυσικά 100% σωστή γιατί το λέει η θεωρία πιο πάνω..

η θεωρία βρίσκεται στην σελ. 108 του alonso/finn.



Πράγματι.. σαν τον παλιό καλό καιρό! :)

υ.γ. : @FormeR.. έχεις δίκιο..

@Sonic τελικά μπορεί να ήμουν σε σωστό δρόμο.. με λάθος παραμετρικές.. γενικά εύχομαι καλή επιτυχία! :)

Μπράβο ρε Γιάννη να 'σαι καλά!!!!! :)

Οπότε το θέμα του 2010 θα είναι βρείτε την παραμετρική εξίσωση που περιγράφει την συγκεκριμένη τροχιά :P

Λες?