THMMY.gr

Έδωσε το φυλλάδιο με τις ασκήσεις?

Καμία ιδέα για το που μπορούμε να βρούμε τις λύσεις των ασκήσεων στο βιβλιο του Ξένου?

καλησπερα

πως μπορω να βρω ολους τους πινακες Α που αντιμετατιθονται στον πολλαπλασιασμο με τον πινακα
Β= [2, 3 ; 3 ,4]   δλδ ισχυει ΑΒ=ΒΑ ??

Δες καλά την εκφώνηση για να δεις τι σου ζητάει. Με την λύση που προτέινω εγώ θα καταλήξεις στο σύστημα y=z, 3x+2y=3w, 3x+2z=3w. Δηλαδή έχεισ μια οικογένεια πινάκων με αυτή την ιδιότητα της μορφής

Α(y,w)= [ (2y-3w)/3   y  ;  y   w]

όταν το γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι μηδέν, αυτά είναι συνεπίπεδα.
Αυτό είναι κάτι που μπορείς να το χρησιμοποιείς χωρίς απόδειξη, και αρκετά χρήσιμο στο συγκεκριμένο μάθημα.

(στα μαθήματα δεν πας ε;  :P)

για το ευθύ: πρέπει [αβ, αγ, αδ]=0
για το αντίστροφο: με απαγωγή σε άτοπο (μάλλον)

γιατι τα διανυσματα β,γ,δ ΔΕΝ ειναι στο ιδιο επίπεδο. και δεν σε νοιάζει αν είναι στο ίδιο επίπεδο. εσυ αυτο που θες να αποδειξεις ειναι οτι τα περατα των διανυσματων a + b + c + d βρισκονται πανω στο ιδιο επιπεδο.

κάτσε διάβασε, και κάνε σχήματα. κανείς δε γεννήθηκε με τη γραμμική άλγεβρα στο κεφάλι του, αλλά δε μπορώ να στο εξηγήσω καλύτερα  :P

(βασικά μπορώ, ορίστε σχήμα)

thanxxxx a lot!!
η αληθεια ειναι οτι δεν τα εχω διαβασει ιδιαιτερα σοβαρα! :P
εκτος αν ειμαι τοσο στοκος....!
ο σχημα ειναι αρκετα κατανοητο αν εξαιρεσεις το πρασινο παραλληλογραμμο!

μήπως ξέρει κανείς πως λύνεται η παρακάτω άσκηση????
ΒΡΕΙΤΕ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ Α ΕΤΣΙ ΩΣΤΕ Α^2=[6 2 6
                                                                               3 4 5
                                                                                4 2 10]
έθεσα Α=[Α Β Γ,Δ Ε Ζ,Η Θ Ι] έκανα τις πράξεις αλλά προκύπει ενα σύστημα δύσκολο :D

Για αυτη την ασκηση? :
Αν Β ειναι ΜΧΝ και C ειναι ΝΧΜ, δειξτε οτι tr(BC)=tr(CB).

Θα βγει ΣDmm απο το πρωτο μελος και ΣΕnn απο το δευτερο, μαλλον.  :???:

Για αυτη την ασκηση? :
Αν Β ειναι ΜΧΝ και C ειναι ΝΧΜ, δειξτε οτι tr(BC)=tr(CB).

Θα βγει ΣDmm απο το πρωτο μελος και ΣΕnn απο το δευτερο, μαλλον.  :???:

εγώ έβγααλα ότι tr(BC)=ΣΣ(ΒnkCkn) όπου το πρώτο αθροισμα ξεκινα από n=1 μέχρι Μ και το 2ο από κ=1 μέχρι Ν
και οτι tr(CB)=ΣΣ(CnkBkn) oπου το πρώτο αθροισμα ξεκινα απο n=1 μεχρι Ν και το 2ο απο κ=1 μέχρι M
ανάπτυξα τ αθροισματα αυτα και βγαίνει οτι ειναι ισα......τωρα νομιζω πως ειναι σωστη αλλα δεν ειμαι και σιγουρος.... :-\

Autes einai se ergasia?

αν a,b,c ειναι γραμμικως ανεξαρτητα διανυσματα να οριστει το διανυσμα υ  απο τις σχεσεις

αυ=κ
bυ=λ
cυ=μ    κ,λ,μ πραγματικοι αριθμοι

μπορει κπ να με βοηθησει σε αυτην?
βσκ δν ξερω τι ακριβως περιμενει να απαντησω πως το εννοει το "να οριστει"?

και ποιος είναι ο κανόνας Κράμερ? :???:

φιλε το δοκιμασα κ γω αυτο. αλλα η ματλαμπ βγαζει μονο ενα πινακα σαν λυση. λογικα θα επρεπε να εχει κι αλλους. τελοσπαντων δεν θα σπασουμε κιολας!

παιδια ελυσε κανενας την 3;

Βρειτε ολους τους πινακες Α τετοιους ωστε Α^2=Β=[6 2 6; 3 4 5 ; 4 2 10].

Δοκιμασα με Α=[α β γ; δ ε ζ; η θ ι] αλλα μου βγαινουν 9 εξισωσεις με 9 αγνωστους. Καταφερα με καποιες σχεσεις να παω στις 3 εξισωσεις με 6 αγνωστους η καθε μια αλλα δεν βγαινει. Εχει καποιος να προτεινει καποια λυση; Δοκιμασα και στη MATLAB αλλα δεν ξερω πως να το κανω. (Πιστευω πως η λυση ειναι υπερβολικα απλη απλα δεν την βλεπουμε. Καποια κομπινα παιζει) Οποια βοηθεια θα ηταν ευπροσδεκτη. Ευχαριστω :)

εμ και εγω ετσι θελω να πιστευω. κι ο θεος βοηθος.  :) αν εχει καποιος αλλος να προτεινει καποια λυση ας την πει

αυτο εννοουσα. λαθος διατυπωση τοτε. παραθετω τη λυση μου για να δουμε αν εκανα κατι λαθος και μου ξεφευγει.

Β=[6  2  6
     3  4  5
     4  2  10]

Εστω Α=[α  β  γ
              δ  ε  ζ
              η  θ  ι] τοτε

Α^2=[α^2+δβ+γη   αβ+βε+γθ   αγ+βζ+γι
        δα+δε+ζη     δβ+ε^2+ζθ   δγ+εζ+ζι
        ηα+δθ+ιη      ηβ+εθ+ιθ   ηγ+θζ+ι^2]

Α^2=Β =>1) α^2+δβ+γη=6          => δβ=4-ε^2+ζθ και ζθ=10-ι^2-ηγ και με αντικατασταση εχουμε την σχεση (4) α^2-ε^2-ι^2= -8
               2) αβ+βε+γθ=2           => α+ε=(2-γθ)/β
               3) αγ+βζ+γι=6            => α+ι=(6-βζ)/γ
               4) δα+δε+ζη=3           => α+ε=(3-ζη)/δ
               5) δβ+ε^2+ζθ=4         
               6) δγ+εζ+ζι=5             => ε+ι=(5-δγ)/ζ
               7) ηα+δθ+ιη=4            => α+ι=(4-δθ)/η
               8) ηβ+εθ+ιθ=2             => ε+ι=(2-ηβ)/θ
               9) ηγ+θζ+ι^2=10
οι σχεσεις που βρηκα απο τις εξισωσεις ειναι:


 
1) α+ε=(2-γθ)/β=(3-ζη)/δ
2) ε+ι=(5-δγ)/ζ=(2-ηβ)/θ
3) α+ε=(4-δθ)/η=(6-βζ)/γ

και επισης ακομα μια
4) α^2-ε^2-ι^2=-8
και επισης α^2-ε^2=ι^2-8 => (α-ε)(α+ε)=ι^2-8 =>α+ε=(ι^2-8)/(α-ε) => απο τη σχεση (1) α+ε=(2-γθ)/β=(3-ζη)/δ=(ι^2-8)/(α-ε)
                 α^2-ι^2=ε^2-8 => (α-ι)(α+ι)=ε^2-8 =>α+ι=(ε^2-8)/(α-ι) => απο τη σχεση (3) α+ι=(4-δθ)/η=(6-βζ)/γ=(ε^2-8)/(α-ι)

μεχρι εδω σταματησα. οποιος εχει ορεξη ας ριξει μια ματια. :)

x =
 
  -1.0006686656854758797630355260349
   1.0962455003261515638619658180265
  -2.7071122121545559877667248979221
 -0.61019804614292854414172355386066
   1.0006686656854758797630355260349
  -1.0962455003261515638619658180265
   2.7071122121545559877667248979221
  0.61019804614292854414172355386066
 
 
y =
 
   1.0372460682700288028847973382056
 -0.33505287601767164916441553297872
 -0.50367328063351646000727304817192
  -1.8759722249212169120564859193562
  -1.0372460682700288028847973382056
  0.33505287601767164916441553297872
  0.50367328063351646000727304817192
   1.8759722249212169120564859193562
 
 
z =
 
  -2.1489363741668607440852865453322
  -3.0680367454949201265184841831573
  0.23524460671543322222132912899126
 -0.68385576461262616021186850883384
   2.1489363741668607440852865453322
   3.0680367454949201265184841831573
 -0.23524460671543322222132912899126
  0.68385576461262616021186850883384
 
 
a =
 
  -1.8916590626133156163796320682946
  -1.6376059836223552175707667282543
 -0.97887988473346400069771160560474
 -0.72482680574250360188884626556448
   1.8916590626133156163796320682946
   1.6376059836223552175707667282543
  0.97887988473346400069771160560474
  0.72482680574250360188884626556448
 
 
b =
 
  -1.0101488591950440901162296534067
  -1.1764106822793188360223127278529
 -0.18590881950450769461909561915337
 -0.35217064258878244052517869359958
   1.0101488591950440901162296534067
   1.1764106822793188360223127278529
  0.18590881950450769461909561915337
  0.35217064258878244052517869359958
 
 
c =
 
 -1.6072845419847857759054099064581
  -1.718638780046780793809777534183
  -2.882586476320385378243121007526
 -2.9939407143823803961474886352509
  1.6072845419847857759054099064581
   1.718638780046780793809777534183
   2.882586476320385378243121007526
  2.9939407143823803961474886352509
 
 
e =
 
  0.027097209074984712768567684798909
   -1.5114635582969904851867282608316
  -0.68958210013802415462636866732529
   -2.2281428675099993525816646129558
 -0.027097209074984712768567684798909
    1.5114635582969904851867282608316
   0.68958210013802415462636866732529
    2.2281428675099993525816646129558
 
 
f =
 
 -0.75287154764149896241057517636911
  0.25402007959324607292540472705004
  -1.4000333109534049175381363537494
 -0.39314168371865988220215645033023
  0.75287154764149896241057517636911
 -0.25402007959324607292540472705004
   1.4000333109534049175381363537494
  0.39314168371865988220215645033023
 
 
g =
 
 -2.7731692660315871426430344831825
 -2.0988012849653915991192207286558
 -1.7718509499624203067763275920561
 -1.0974829688962247632525138375294
  2.7731692660315871426430344831825
  2.0988012849653915991192207286558
  1.7718509499624203067763275920561
  1.0974829688962247632525138375294

Πως θα δειξω οτι καθε ταυτοδυναμος ΝxΝ πινακας εχει οριζουσα 0 ή 1 ?

Guys επειδη ειμαι μεγαλυτερος αλλα το ειχα γραψει το μαθημα περσι μπορει καποιος να ενημερωσει για το αν εχει δωσει φυλλαδιο και που μπορω να το βρω?? Thanks

Βαθμολογητές? 8)) Δηλ δεν τους ξέρεις?Εγώ πάλι όταν ακούω γραμμική άλγεβρα στο κεφάλι μου αντηχεί μόνο ένα όνομα... Και να μην σχολιάσω και την άπληστη βαθμοθηρία σου.Έλεος ρε,άραξε, δεν θα σου κλέψουμε τα 0,08 του τελικού βαθμού σου. ^idiot^

Μαλλον δεν το πιανεις φιλαρακο, και μην τρελενεσαι τοσο

Ναι φιλαράκο,μάλλον δεν με κόβει τόσο! ;)

Αλλά εγώ έλεγα κάτι άλλο για την άλλη άσκηση: αν Ν φοιτητές γράψουν ακριβώς αυτά που έγραψες παραπάνω (A2=A => |A2|=|A| <=>|A|2=|A| <=> |Α|2 -|Α|=0 <=>|Α|(|Α|-1)=0 <=> |Α|=0 ή |Α|=1.) τότε μπορεί να πάρετε όλοι μαζί 1 βαθμό, δηλ.  1/Ν κατ' ατομο.

Βαθμολογητές? 8)) Δηλ δεν τους ξέρεις? Εγώ πάλι όταν ακούω γραμμική άλγεβρα στο κεφάλι μου αντηχεί μόνο ένα όνομα... Και να μην σχολιάσω και την άπληστη βαθμοθηρία σου.Έλεος ρε,άραξε, δεν θα σου κλέψουμε τα 0,08 του τελικού βαθμού σου. ^idiot^

Άδικο γιατί την άσκηση την έχω λύσει ακριβώς έτσι αλλά πολύ πριν δω το ποστ... Παραδέχομαι όμως ότι είναι ίσως το μόνο μέτρο για να καταλάβουμε να ΜΗΝ δίνουμε έτοιμες λύσεις στους συμφοιτητές μας... Και συγγνώμη κιόλας αλλά όταν μιλάμε για απάντηση σε άσκηση σε εργασία η ιδέα του spoiler alert είναι αρκετά FAIL! Πολλοί θα την δουν,λίγοι θα παραδεχτούν ότι την είδαν,όλοι θα χάσουμε.

Δεν είναι θέμα βαθμολογίας. Άλλος έφαγε ώρες πάνω στο Help της Matlab και στο Google. Η δουλειά πρέπει να ανταμείβεται.

Μονο εγω το βλεπω χαζο να ζητας ανταμοιβη για κατι τετοιο?η ανταμοιβη σου ειναι οτι ασχοληθηκες με τις ασκησεις και με matlab...ασε που το ωραιο με το thmmy.gr ειναι οτι η γνωση παει και ερχεται αβερτα! :D

Ναι αλλά αν τελικά το βγάλουμε οι βαθμολογητές οφείλουν να μας δώσουν τα 9/9 του βαθμού για την άσκηση. Ενώ οι άλλοι θα πάρουν τα 1/9. (ο βαθμός πρέπει να είναι ανάλογος με τον αριθμό των λύσεων)

Σορρυ για το spoiler στην 5. Βtw, το thmmy δεν έχει spoiler tags, προτείνω να βάλουμε.

+1
Συμφωνώ απόλυτα ότι σκοπός πρέπει να είναι η γνώση! ^super^

παιδια.. καταφερε κανενας την 3 με την εντολη που ειπε ο κεχαγιας στην matlab??

Ναι σε εναν τέλειο κόσμο, ίσως. Με αυτην την λογικη θα μπορούσαμε απλα να λύσουμε τις ασκήσεις και να μην τις δώσουμε.. Κάποιος διαβάζει και μαθαίνει σίγουρα γιατι το γουστάρει και όχι γιατι πρεπει η του το επιβάλουν.. Αλλα τι παει αυτο? Oοτι δεν πρέπει να ανταμοιβόμαστε με βαθμούς ή οτιδήποτε αλλο ? Anyway, νομίζω πως ξεφευγουμε απο το το topic, οποτε ας ληξει εδω.. Ειρηνη, peace, hakuna matata και ολα τα σχετικα..

Ναι πρεπει αφου βρεις τον Β να δειξεις πωσ ειναι μηδενοδυναμος για καποια δυναμη...οποτε υψωσε τον στο τετραγωνο, κυβο κλπ μεχρι να μηδενιστει

Εχει κανεις καμια ιδεα για τις 9,10 ?

9. Αν τα διανυσματα a,b,c,d ειναι γραμμικως ανεξαρτητα και κ,λ,μ γνωστοι πραγματικοι αριθμοι να βρεθουν τα διανυσματα u,v τετοια ωστε
 
a*u = κ , b*u = λ , a*v=μ , u X v=c

10. Να οριστει το διανυσμα u συναρτησει τον a,b,c,d απτις σχεσεις
 
a=b X (u X c), b X u=d, |u|=1[i/][b/]

Έχουμε αυτήν εδώ (ασκηση 9 από το 1ο σετ ασκήσεων):
Aν τα διανύσματα a,b,c  είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και κ,λ,μ γνωστοί πραγματικοί αριθμοί να βρεθούν τα διανύσματα  u,v που ικανοποιούν τις σχέσεις:
a.u=κ
b.u=λ
a.v=μ
uxv=c
Yπάρχει κάποιος τρόπος να τη λύσουμε χωρίς να χρειαστεί να διαιρέσουμε με κ,λ,μ,ή οποιοδήποτε από τα διανύσματα,αφού δεν ξέρουμε αν κάποιο απ'όλα αυτά είναι ίσο με 0 (ή το μηδενικό διάνυσμα αντιστοιχα)?

καλησπερα
ξερει κανεις αν ισχυει κατι τετοιο?

αν τα α.β.γ διανυσματα ειναι γραμμικως ανεξαρτητα δλδ οριζουν χωρο δεν ισχυει οτι α,β,γ διαφορα του 0 ??

αν στέκουν αυτά τότε θα μπορέσουμε να λύσουμε την 9 κ τη 10 άνετα!

Αν Αχ+ΒΨ+Cζ+Δ=0 ένα γνωστό επίπεδο τότε κάθε διάνυσμα u=(n,m,l) για το οποιο nA+Βm+Cl=0 ειναι παραλληλο στο επιπεδο?????ετσι ειναι ή κάνω λαθος?????? :o

edit 1: κεφαλαία
edit 2: σεμνοτης

απορεια:Γινετε δυο ομοιες ιδιοτιμες π.χ.λ₁=1 και λ₂=1να εχουν διαφορετικα ιδιοδιανυσματα;

εξισώνεις τις δύο σχέσεις και προσπαθείς να το φέρεις στην μορφή
(χ-α)^2+(ψ-β)^2+(ζ-γ)^2=κάτι

το κέντρο θα είναι τότε το Κ(α,β,γ) και η ακτίνα του κύκλου το R=ρίζα(κάτι)

Όταν μια ευθεία δίνεται ως τομή 2 επιπέδων όπως στο 6ο Θέμα Σεπτεμβρίου 2010 (2x+z=3, y+2=0) τι περίπου κάνουμε? Υπάρχει πουθενά καμιά παρόμοια λυμένη?

Σύμφωνοι. Αλλά στην παραπάνω η μία εξίσωση έχει x και z και η άλλη μόνο y... οπότε?

Είναι μια άσκηση που λέει : να βρεθούν οι εξισωσεις του κύκλου που είναι περιγεγραμμένος περί το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(1,0,0) Β(0,2,0) και Γ(0,0,3). Θεωρώ ότι οι μεσοκάθετες των πλευρών του τριγώνου τέμνονται στ κέντρο του κύκλου οπότε βγαίνουν 2 εξισώσεις με 3 αγνώστους,που είναι οι συντεταγμένες του κέντρου (βγαίνει και μια 3η εξίσωση αλλά περισσεύει) ..και μετά χρειαζόμαστε αλλη μια εξίσωση για να βρουμε το κέντρο του κύκλου. Κανείς έχει ιδέα τι κάνουμε ?

ναι υπαρχει, κοιτα στις ευθειες στο pdf tou Ατρεα. Εν συντομια θετεις x ή y ή z  =c kai lineis to 2x2 sinartisei tou c. δηλαδη τελικα καταληγεις (χ,y,z)=(k,l,m)+c(,v,b,n) opou k,l,m,v,b,n anikou sto R. i parapanw sou dinei tis parametrikes exisoseis ευθειας.

Υ.Γ σορρυ δεν ειδα οτι ποσταρε ο Γιαννης

Και τι σε πειραζει? βαλε χ=c και λυστο. απλα το y θα ειναι μονο του.

εξισώνεις τις δύο σχέσεις και προσπαθείς να το φέρεις στην μορφή
(χ-α)^2+(ψ-β)^2+(ζ-γ)^2=κάτι

το κέντρο θα είναι τότε το Κ(α,β,γ) και η ακτίνα του κύκλου το R=ρίζα(κάτι)

Σωστά... ευχαριστώ παιδιά.

Edit: Που υπάρχει αυτό?

οταν λεει το επιπεδο διρχεται απο τν ευθεια, τι εννοει? οτι εχουν κοινο σημειο?

Mπορεί κάποιος να μου εξηγήσει ποια είναι η λύση του συστήματος Αx=0, όπου Α=[6, 2, 0; -12, -4, 0; -12, -4, 0]

Η 4 δεν νομιζω να λυνεται  :D
Η 5 ειναι απλη στην λυση της , μονο που εχει πολλες πραξεις

Μπορεί να μου πει κανείς που είναι αυτό το pdf του Ατρέα γιατί δεν το βρίσκω?Ή αν δεν υπάρχει κάπου ανεβασμένο να το ανεβάσει κάποιος?

Οταν μου λεει να διαγονοποιησω τον πινακα Α προφανως δεν θελει να γραψω αμεσως  οτι ειναι ο πινακας Λ με στοιχεια στις διαγωνιους τα λ_i, αλλα θελει να του τον βρω απο τον τυπο Λ = V^-1* A * V
ετσί ?  :???:

Έκανε κανείς τις ασκήσεις 4, 5 του Κεχαγιά;

Στην ασκηση 9 της εργασιας μου προκυπτει μια μονο λυση για ιδιοτιμες. Θα παρω και τις μιγαδικες λυσεις και θα λυσω το συστημα? Ή καπως αλλιως? Μπορει να βοηθησει καποιος??

και εμενα στην ασκηση 9 μου προκυπτει 1 πραγματικη λυση
μαλλον πρεπει να παρουμε και τις αλλες 2 μιγαδικες

πωσ βρισκω το κεντρο και τη ακτινα ενοσ κυκλου που δινεται ωσ τομη μιασ σφαιρασ και ενοσ επιπεδου??????

οταν ο πινακασ δεν ειναι διαγωνιοποιησιμοσ οπωσ εδω εχω την εντυπωση οτι (αφου ο ιnv(x) δεν υπαρχει) δεν ισχυει η σχεση e^a=x*l*inv(x)..............επειδη η συναρτηση exp(x) μπορει ν αναπτυχθει σε σειρα taylor sto p.orismoy ths yparxoyn mia synarthsh X(l) kai ενα πολυωνυμο (2ου βαθμου εδω) τετοια ωστε e^l=fa(l)*π(λ)+u(l).................kai συνεχιζεισ απ εδω............τ εξηγει στο βιβλιο του ξενου σελ 253(η μεθοδοσ αυτη ειναι ιδια με την ευρεση πολυωνυμων πινακα)......ελπιζω ν μη λεω βλακειεσ!!!!!!

Thx, δε γαμ**εται ομως. Τοσα πολλα που ειναι δε ξερω τι να πρωτοδιαβασω  :D

checkare τις ασκησεις απ'το 13.2 απο το pdf του κεχαγια http://users.auth.gr/~kehagiat/KehCourses/LAlgBook.pdf

η 13.2.24 ειναι ακριβως ιδια με διαφορετικο πινακα

οχι εχει δικιο η Ναταλια. Εγω ειχα αντιγραψει λαθος τον πινακα. Ξαναεκανα τις πραξεις και βρηκα τις λυσεις που βρηκε η Ναταλια. Ωραια τωρα εχουμε 2 εξισωσεις 3 αγνωστους. Θα θεωρησω τον εναν παραμετρο και συνεχιζω με τη μεθοδο?

Ευχαριστω :) Μπορεις μηπως να μου πεις πως βρισκω ιδιοδιανυσματα και τιμες σε εναν πινακα οπως ειναι στην ασκηση 7? Ξερω οτι υπαρχει τεχνασμα που χωριζεις το πινακα σε 4 υποπινακες αλλα δε το εχω βρει :/

καμια ιδεα κανεις για τις ασκσησεις 11,12,13 ?  :???:

Να ρωτήσω κάτι γτ έχω κολλήσει.. Στο 9ο κεφάλαιο σελ. 415 στο πχ 7.1 ,όταν βρίσκει τα ορθομαναδιαία διανύσματα..εκείνο το 1/ριζα5 πώς το βρίσκει??????    :-\  :-\

Mπορει κανεις να μου πει που εχει ο Κεχαγιας τη μεθοδο επιλυσης με Gauss-Jordan για γραμμικα μη ομογενη συστηματα? το pdf einai 300+ σελιδες και δε τα βρισκω

Μια καλή αρχή θα ήταν η σελίδα 38 στις σημειώσεις του Ατρέα (http://users.auth.gr/~natreas/Analytic%20G/%CE%97-Analytic.pdf)

δεν εχω καταλαβει μια απο γραμμικες απεικονισεις κτλ.
μπορει να εξηγησει κανεις τιποτα ? :???:

Πώς κάνουμε αναγνώριση επιφανειών; Υπάρχει συγκεκριμένη μεθοδολογία;

υπάρχει κάποιος τρόπος επίλυσης τριτοβάθμιας εξίσωσης? θυμάμαι πέρισυ στις ιδιοτιμές η εξίσωση από Α-Ιλ ήταν τριτοβάθμια, εκτός αν είχα κάνει λάθος εγώ :o

όποιος πρόλαβε πρόλαβε  :D :P

Requesting άσκηση 11 από το 2ο set ασκήσεων Ξένου-Κεχαγιά.


Βάση:

Ευχαριστώ!
EDIT:

Requesting κάποιος να δει αν την έλυσα σωστά.

Άρα ή σε διανυσματική μορφή: με
Επίσης
Έστω Α ο πίνακας της απεικόνισης. Θέλουμε:

είναι λοιπόν προφανές ότι:


Ε?

Το έχει στις σημειώσεις του ο Ατρέας : http://users.auth.gr/~natreas/Analytic%20G/%CE%97-Analytic.pdf
Σελίδες 18,19 ! Και γω που το ήξερα λάθος το έκανα  :-[

Σήμερα, πρώτο θέμα Ξένου. Έχουμε δύο ευθείες και θέλουμε να αποδείξουμε ότι βρίσκονται πάνω στο ιδιο επίπεδο του οποίου ζητάμε την εξίσωση. Ποια είναι η μέθοδος για τη λύση; Γνωρίζουμε μόνο τις εξισώσεις των ευθειών.

ουσιαστικα παιρνεις ένα σημείο της μιας ,ενα σημείο της αλλης , ενα διανυσμα παραλληλο στη μια και ενα στην αλλη και λες πως αν τ δισεξωτερικο γινομενο των διανυσματων με τ διανυσμα της ενωσης των 2 σημειων είναι ισο με μηδεν τοτε βρισκονται στο ιδιο επίπεδο. Σκεψου ότι αν α και β τα παραλληλα διανυσματα αχβ είναι καθετο στ επίπεδο που ορίζουν και αν Ρ1 Ρ2 τα σημεία των 2 ευθείων αντίστοιχα τότε (αχβ)*Ρ1Ρ2 θα είναι 0 ανν Ρ1Ρ2 είναι κάθετα στ αχβ δηλαδη βρισκοεται στο επιπεδο που οριζουν τα παράλληλα διανυσματα