Title: Παράδοξα
Post by: Ex_Mechanus on February 08, 2009, 02:26:21 am
δεν θα το περιορίσω παραπάνω
με υποπροσδιορισμούς σαν, μαθηματικά, λογικά, παρατηρησιακά,
αρκεί να δύναται να επακολουθήσει συζήτηση μετά την παράθεση
food for thought, not thought for food
ας μείνει στο αυτοαναφορικό του θέματος
http://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox
και μια κάπως εκλαικευμένη εκδοχή σαν ώθηση στην κατανόηση
http://en.wikipedia.org/wiki/Barber_paradox
όλη η "ανάδραση" ευπροσδεκτή,
καθώς δεν μετρώ και πολύ χρόνο που μυήθηκα στο παράδοξο
με υποπροσδιορισμούς σαν, μαθηματικά, λογικά, παρατηρησιακά,
αρκεί να δύναται να επακολουθήσει συζήτηση μετά την παράθεση
food for thought, not thought for food
ας μείνει στο αυτοαναφορικό του θέματος
http://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox
και μια κάπως εκλαικευμένη εκδοχή σαν ώθηση στην κατανόηση
http://en.wikipedia.org/wiki/Barber_paradox
όλη η "ανάδραση" ευπροσδεκτή,
καθώς δεν μετρώ και πολύ χρόνο που μυήθηκα στο παράδοξο
Title: Re: Παράδοξα
Post by: Αιμιλία η φτερωτή χελώνα on February 26, 2009, 20:17:37 pm
Αυτο με τα συνολα ειναι πολυ ωραιο :)
Και με τον κουρεα καλο ηταν....
Εγω θα σε ρωτησω κατι πιο απλο, η κοτα εκανε το αυγο ή το αυγο την κοτα;
Και με τον κουρεα καλο ηταν....
Εγω θα σε ρωτησω κατι πιο απλο, η κοτα εκανε το αυγο ή το αυγο την κοτα;
Title: Re: Παράδοξα
Post by: fourier on February 26, 2009, 20:23:35 pm
Το αβγο εκανε την κοτα.
Γιατι το πτηνο που γεννησε το αβγο (απο το οποιο βγηκε η κοτα) ηταν κατα dε λιγοτερο κοτα, οπου dε το "διαφορικο της εξελιξης" ;D
Το παραδοξο του Russell παραμενει ενδιαφερον μονο φιλοσοφικα, γιατι στο μαθηματικο του κομματι εχει λυθει με επαναθεμελιωση της θεωριας συνολων.
Γιατι το πτηνο που γεννησε το αβγο (απο το οποιο βγηκε η κοτα) ηταν κατα dε λιγοτερο κοτα, οπου dε το "διαφορικο της εξελιξης" ;D
Το παραδοξο του Russell παραμενει ενδιαφερον μονο φιλοσοφικα, γιατι στο μαθηματικο του κομματι εχει λυθει με επαναθεμελιωση της θεωριας συνολων.
Title: Re: Παράδοξα
Post by: Junior on February 26, 2009, 23:43:35 pm
Διάβασα το άρθρο της Wikipedia και νομίζω κατάλαβα τι γίνεται. Γράφω τα συμπεράσματα που έβγαλα κυρίως για μένα, αλλά ενδεχομένως να βοηθήσει και άλλους:
Η παλιά θεωρία συνόλων έλεγε ότι μπορώ από μια πρόταση που εξαρτάται από μια μεταβλητή, f(x), να βγάλω ένα σύνολο, το σύνολο των μεταβλητών που ικανοποιούν την πρόταση. Δηλαδή Α=(x: f(x) ισχύει).
Παράδειγμα:
Όλα τα παιδιά που παίζουν μπάλα (f(x) = "ο x παίζει μπάλα"). Ορίζεται έτσι το σύνολο των παιδιών που παίζουν μπάλα, ως τα x για τα οποία f(x) αληθής.
Ακούγεται πολύ λογικό και απλό. Απλά παίρνεις μία-μία τις μεταβλητές και τσεκάρεις αν ισχύει η πρόταση f(x). Αν ισχύει βάζεις τη μεταβλητή στο σύνολο, αλλιώς δεν τη βάζεις. Τόσο απλό!
Αλλά το θέμα είναι ότι μπορεί η ισχύς της πρότασης να αλλάζει ανάλογα με τα μέλη του συνόλου, δηλαδή ανάλογα με την ισχύ της πρότασης! Πχ η πρόταση f(x) = "η f(x) δεν ισχύει για το x".
Φυσικά δεν μπορούμε να συμπεράνουμε αν ισχύει ή δεν ισχύει η πρόταση (για οποιοδήποτε x).
Η πρόταση δεν παύει να είναι μια πρόταση, αλλά δεν μπορεί από αυτήν να οριστεί ένα σύνολο (το σύνολο των μεταβλητών που την ικανοποιούν), αφού τότε δε θα ξέραμε αν ένα στοιχείο (οποιοδήποτε) είναι στο σύνολο ή όχι. Το σύνολο δεν είναι καλώς ορισμένο.
Άρα δεν μπορούμε να ορίζουμε σύνολα μέσω προτάσεων! Γι' αυτό χρειάστηκε καινούριος τρόπος να ορίσουν τα σύνολα, για τον οποίο δεν έχω ιδέα!
Όλο το θέμα μοιάζει τραγικά με τη θεωρία υπολογισμών. Εκεί ορίζεται αυστηρά ένα μοντέλο υπολογιστών, οι οποίοι μπορούν να κάνουν πρακτικά τα πάντα! Δηλαδή ό,τι μπορεί να λυθεί/υπολογιστεί, μπορεί να το κάνει κάποιος υπολογιστής αυτού του είδους. Για την ακρίβεια, δεν έχουμε βρει κάτι που να μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο και να μην υπάρχει υπολογιστής αυτού του είδους που να προσομοιώνει τον τρόπο. Δεχόμαστε λοιπόν ότι μπορούν να λύσουν όλα τα προβλήματα που λύνονται. Και αποδεικνύεται ότι δεν μπορούν να απαντήσουν σε ερωτήματα που αφορούν σε αυτούς τους ίδιους!
Με λίγα λόγια, προβλήματα που αφορούν "υπολογιστές" που προσομοιώνουν τα πάντα, δεν μπορούν να απαντηθούν.
(Και αν δεχτούμε ότι και ο άνθρωπος μπορεί με τη σκέψη του να προσομοιώσει τη λειτουργία οποιασδήποτε μηχανής... οκ, φτάνει η φιλοσοφία!!)
Η παλιά θεωρία συνόλων έλεγε ότι μπορώ από μια πρόταση που εξαρτάται από μια μεταβλητή, f(x), να βγάλω ένα σύνολο, το σύνολο των μεταβλητών που ικανοποιούν την πρόταση. Δηλαδή Α=(x: f(x) ισχύει).
Παράδειγμα:
Όλα τα παιδιά που παίζουν μπάλα (f(x) = "ο x παίζει μπάλα"). Ορίζεται έτσι το σύνολο των παιδιών που παίζουν μπάλα, ως τα x για τα οποία f(x) αληθής.
Ακούγεται πολύ λογικό και απλό. Απλά παίρνεις μία-μία τις μεταβλητές και τσεκάρεις αν ισχύει η πρόταση f(x). Αν ισχύει βάζεις τη μεταβλητή στο σύνολο, αλλιώς δεν τη βάζεις. Τόσο απλό!
Αλλά το θέμα είναι ότι μπορεί η ισχύς της πρότασης να αλλάζει ανάλογα με τα μέλη του συνόλου, δηλαδή ανάλογα με την ισχύ της πρότασης! Πχ η πρόταση f(x) = "η f(x) δεν ισχύει για το x".
Φυσικά δεν μπορούμε να συμπεράνουμε αν ισχύει ή δεν ισχύει η πρόταση (για οποιοδήποτε x).
Η πρόταση δεν παύει να είναι μια πρόταση, αλλά δεν μπορεί από αυτήν να οριστεί ένα σύνολο (το σύνολο των μεταβλητών που την ικανοποιούν), αφού τότε δε θα ξέραμε αν ένα στοιχείο (οποιοδήποτε) είναι στο σύνολο ή όχι. Το σύνολο δεν είναι καλώς ορισμένο.
Άρα δεν μπορούμε να ορίζουμε σύνολα μέσω προτάσεων! Γι' αυτό χρειάστηκε καινούριος τρόπος να ορίσουν τα σύνολα, για τον οποίο δεν έχω ιδέα!
Όλο το θέμα μοιάζει τραγικά με τη θεωρία υπολογισμών. Εκεί ορίζεται αυστηρά ένα μοντέλο υπολογιστών, οι οποίοι μπορούν να κάνουν πρακτικά τα πάντα! Δηλαδή ό,τι μπορεί να λυθεί/υπολογιστεί, μπορεί να το κάνει κάποιος υπολογιστής αυτού του είδους. Για την ακρίβεια, δεν έχουμε βρει κάτι που να μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο και να μην υπάρχει υπολογιστής αυτού του είδους που να προσομοιώνει τον τρόπο. Δεχόμαστε λοιπόν ότι μπορούν να λύσουν όλα τα προβλήματα που λύνονται. Και αποδεικνύεται ότι δεν μπορούν να απαντήσουν σε ερωτήματα που αφορούν σε αυτούς τους ίδιους!
Με λίγα λόγια, προβλήματα που αφορούν "υπολογιστές" που προσομοιώνουν τα πάντα, δεν μπορούν να απαντηθούν.
(Και αν δεχτούμε ότι και ο άνθρωπος μπορεί με τη σκέψη του να προσομοιώσει τη λειτουργία οποιασδήποτε μηχανής... οκ, φτάνει η φιλοσοφία!!)
Title: Re: Παράδοξα
Post by: Nessa NetMonster on February 27, 2009, 01:51:07 am
Όλο το θέμα μοιάζει τραγικά με τη θεωρία υπολογισμών. Εκεί ορίζεται αυστηρά ένα μοντέλο υπολογιστών, οι οποίοι μπορούν να κάνουν πρακτικά τα πάντα! Δηλαδή ό,τι μπορεί να λυθεί/υπολογιστεί, μπορεί να το κάνει κάποιος υπολογιστής αυτού του είδους. Για την ακρίβεια, δεν έχουμε βρει κάτι που να μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο και να μην υπάρχει υπολογιστής αυτού του είδους που να προσομοιώνει τον τρόπο. Δεχόμαστε λοιπόν ότι μπορούν να λύσουν όλα τα προβλήματα που λύνονται. Και αποδεικνύεται ότι δεν μπορούν να απαντήσουν σε ερωτήματα που αφορούν σε αυτούς τους ίδιους!
Αν δεν κάνω λάθος, με αυτό το πρόβλημα είχε ασχοληθεί ο Turing...
Title: Re: Παράδοξα
Post by: Junior on February 27, 2009, 12:29:47 pm
Ακριβώς. Και μάλιστα αυτοί οι "υπολογιστές" που λέω ονομάζονται μηχανές Turing
Title: Re: Παράδοξα
Post by: SolidSNK on February 27, 2009, 12:43:31 pm
Δεν ήξερα το τελευταίο για τις μηχανές turing. Ή μάλλον δεν είχα σκεφτεί να το κοιτάξω! Πολύ ενδιαφέρον ...
Title: Re: Παράδοξα
Post by: thanasiskehagias on February 27, 2009, 18:32:37 pm
Σχετικό είναι και το παράδοξο του ψεύτη (του Επιμενίδη ή καλύτερα του Ευβουλίδη)
Α="Η πρόταση Α είναι ψευδής".
(Ποιά είναι η σχέση με το παράδοξο του Russel?)
Όπως επίσης σχετικό είναι και το halting πρόβλημα για προγράμματα υπολογιστών: "given a description of a program and a finite input, decide whether the program finishes running or will run forever, given that input." (από Wikipedia).
Δεν υπάρχει αλγόριθμοςπου να λύνει αυτό το πρόβλημα. Πάλι από Wikipedia:
"Alan Turing proved in 1936 that a general algorithm to solve the halting problem for all possible program-input pairs cannot exist. We say that the halting problem is undecidable over Turing machines. "
Επίσης σχετικό το θεώρημα μη πληρότητας του Godel (από Wikipedia):
"Any effectively generated theory capable of expressing elementary arithmetic cannot be both consistent and complete. In particular, for any consistent, effectively generated formal theory that proves certain basic arithmetic truths, there is an arithmetical statement that is true,[1] but not provable in the theory."
Για όσους θέλουν να το ψάξουν, καλή αρχή είναι το
http://en.wikipedia.org/wiki/Godel_theorem
Ένας χοντρικός τρόπος να καταλάβουμε το Θεώρημα του Goedel: σκεφτείτε την πρόταση
Β= "Ο Κεχαγιάς δεν μπορεί να αποδείξει την πρόταση B".
Είναι αληθής ή ψευδής η Β? Μπορείτε να την αποδείξετε? Εγώ μπορώ να την αποδείξω? Μπορείτε να σκεφτείτε μια αληθή πρόταση που εγώ να μπορώ να αποδείξω αλλά ο Junior όχι?
Θ
Α="Η πρόταση Α είναι ψευδής".
(Ποιά είναι η σχέση με το παράδοξο του Russel?)
Όπως επίσης σχετικό είναι και το halting πρόβλημα για προγράμματα υπολογιστών: "given a description of a program and a finite input, decide whether the program finishes running or will run forever, given that input." (από Wikipedia).
Δεν υπάρχει αλγόριθμοςπου να λύνει αυτό το πρόβλημα. Πάλι από Wikipedia:
"Alan Turing proved in 1936 that a general algorithm to solve the halting problem for all possible program-input pairs cannot exist. We say that the halting problem is undecidable over Turing machines. "
Επίσης σχετικό το θεώρημα μη πληρότητας του Godel (από Wikipedia):
"Any effectively generated theory capable of expressing elementary arithmetic cannot be both consistent and complete. In particular, for any consistent, effectively generated formal theory that proves certain basic arithmetic truths, there is an arithmetical statement that is true,[1] but not provable in the theory."
Για όσους θέλουν να το ψάξουν, καλή αρχή είναι το
http://en.wikipedia.org/wiki/Godel_theorem
Ένας χοντρικός τρόπος να καταλάβουμε το Θεώρημα του Goedel: σκεφτείτε την πρόταση
Β= "Ο Κεχαγιάς δεν μπορεί να αποδείξει την πρόταση B".
Είναι αληθής ή ψευδής η Β? Μπορείτε να την αποδείξετε? Εγώ μπορώ να την αποδείξω? Μπορείτε να σκεφτείτε μια αληθή πρόταση που εγώ να μπορώ να αποδείξω αλλά ο Junior όχι?
Θ
Title: Re: Παράδοξα
Post by: Juventina on February 27, 2009, 19:49:05 pm
http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno_of_Elea
Title: Re: Παράδοξα
Post by: Iceberg on February 27, 2009, 20:39:53 pm
Quote
Η άποψη του Β. Russell για το παράδοξο του Ζήνων είναι η ένα προς ένα αντιστοίχηση των θέσεων του Αχιλλέα και της χελώνας στην ίδια στιγμή της κίνησης τους. Σέ κάθε στιγμή της κίνησης τους, ο Αχιλλέας είναι κάπου και ή χελώνα είναι επίσης κάπου· δεν είναι, δε, δυνατόν για κανένα τους να βρίσκεται ποτέ δύο φορές στο ίδιο μέρος κατά την διάρκεια της κούρσας. Έτσι, ο αριθμός των σημείων οπού πηγαίνει ο Αχιλλέας, είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων οπού πηγαίνει ή χελώνα, διότι: ο καθένας είναι σ’ ένα μέρος την μια στιγμή, και σε άλλο μέρος σε μίαν άλλη). Αν ο Αχιλλέας πρόκειται να φτάση την χελώνα, τότε ο αριθμός των σημείων απ' οπού πέρασε ο Αχιλλέας θα ήταν μεγαλύτερος από τον αριθμό των μερών απ’ οπού πέρασε ή χελώνα. Αυτό δε, πρέπει πράγματι να συμβαίνει αφού ο Αχιλλέας έχει να διανύση μεγαλύτερη απόσταση από την χελώνα. Έτσι -κατά τον Russell-, ο Ζήνωνας μας φέρνει αντιμέτωπους με το έξης παράδοξο: ό αριθμός των μερών από τα όποια έχει περάσει ο Αχιλλέας είναι ίσος με τον αριθμό των μερών απ' οπού έχει πέραση ή χελώνα, και την ίδια στιγμή (στην περίπτωση που ο Αχιλλέας φτάνει την χελώνα) ο αριθμός των μερών πού πέρασε ο Αχιλλέας είναι μεγαλύτερος από αυτόν των μερών πού πέρασε ή Χελώνα. Αυτό όμως είναι μία αντίφαση. Εν τούτοις, τα δύο σύνολα των σημείων έχουν άπειρα μέλη, και όπως ο Cantor έχει δείξει, αυτό είναι ή χαρακτηριστική ιδιότητα των απειροσυνόλων, ότι δηλ. τα μέρη τους —αν όχι ίσα— είναι ισοδύναμα με το «όλον». Έτσι, η εκδοχή αυτού του παραδόξου μπορεί να θεωρηθή ότι έχει διαφωτισθή.
Title: Re: Παράδοξα
Post by: thanasiskehagias on February 28, 2009, 00:34:08 am
Quote
Η άποψη του Β. Russell για το παράδοξο του Ζήνων είναι η ένα προς ένα αντιστοίχηση των θέσεων του Αχιλλέα και της χελώνας στην ίδια στιγμή της κίνησης τους. Σέ κάθε στιγμή της κίνησης τους, ο Αχιλλέας είναι κάπου και ή χελώνα είναι επίσης κάπου· δεν είναι, δε, δυνατόν για κανένα τους να βρίσκεται ποτέ δύο φορές στο ίδιο μέρος κατά την διάρκεια της κούρσας. Έτσι, ο αριθμός των σημείων οπού πηγαίνει ο Αχιλλέας, είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων οπού πηγαίνει ή χελώνα, διότι: ο καθένας είναι σ’ ένα μέρος την μια στιγμή, και σε άλλο μέρος σε μίαν άλλη). Αν ο Αχιλλέας πρόκειται να φτάση την χελώνα, τότε ο αριθμός των σημείων απ' οπού πέρασε ο Αχιλλέας θα ήταν μεγαλύτερος από τον αριθμό των μερών απ’ οπού πέρασε ή χελώνα. Αυτό δε, πρέπει πράγματι να συμβαίνει αφού ο Αχιλλέας έχει να διανύση μεγαλύτερη απόσταση από την χελώνα. Έτσι -κατά τον Russell-, ο Ζήνωνας μας φέρνει αντιμέτωπους με το έξης παράδοξο: ό αριθμός των μερών από τα όποια έχει περάσει ο Αχιλλέας είναι ίσος με τον αριθμό των μερών απ' οπού έχει πέραση ή χελώνα, και την ίδια στιγμή (στην περίπτωση που ο Αχιλλέας φτάνει την χελώνα) ο αριθμός των μερών πού πέρασε ο Αχιλλέας είναι μεγαλύτερος από αυτόν των μερών πού πέρασε ή Χελώνα. Αυτό όμως είναι μία αντίφαση. Εν τούτοις, τα δύο σύνολα των σημείων έχουν άπειρα μέλη, και όπως ο Cantor έχει δείξει, αυτό είναι ή χαρακτηριστική ιδιότητα των απειροσυνόλων, ότι δηλ. τα μέρη τους —αν όχι ίσα— είναι ισοδύναμα με το «όλον». Έτσι, η εκδοχή αυτού του παραδόξου μπορεί να θεωρηθή ότι έχει διαφωτισθή.
Θ
Title: Re: Παράδοξα
Post by: mostel on February 28, 2009, 05:27:15 am
Ένα λίγο "κουφό" ...
Λέμε ότι ένας αριθμός στο
είναι σατανικός , όταν η δεκαδική του αναπαράσταση 
περιέχει την ακολουθία 
.
Ν.δ.ό. σχεδόν κάθε αριθμός στο είναι σατανικός . ^monster^ ;D
Δηλαδή , αν επιλέξουμε τυχαία έναν αριθμό στο, τότε αυτός θα 'ναι σατανικός με πιθανότητα 
. ^monster^
- Στέλιος
Λέμε ότι ένας αριθμός στο
Ν.δ.ό. σχεδόν κάθε αριθμός στο
Δηλαδή , αν επιλέξουμε τυχαία έναν αριθμό στο
- Στέλιος
Title: Re: Παράδοξα
Post by: mostel on March 07, 2009, 18:30:44 pm
http://en.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski_paradox
Το παράδοξο εν ολίγοις λέει το εξής:
Αν έχουμε μια σφαίρα και τη διαλύσουμε σε πεπερασμένα κομμάτια, μπορούμε απ' αυτά τα κομμάτια να φτιάξουμε δύο άλλες σφαίρες, όμοιες με την αρχική... Cool, ε? ;)
- Στέλιος
Το παράδοξο εν ολίγοις λέει το εξής:
Αν έχουμε μια σφαίρα και τη διαλύσουμε σε πεπερασμένα κομμάτια, μπορούμε απ' αυτά τα κομμάτια να φτιάξουμε δύο άλλες σφαίρες, όμοιες με την αρχική... Cool, ε? ;)
- Στέλιος
Title: Re: Παράδοξα
Post by: Emfanever on March 07, 2009, 18:45:04 pm
μου θύμισε αυτό!
https://www.youtube.com/watch?v=YQtbcgBWobA
https://www.youtube.com/watch?v=YQtbcgBWobA
Title: Re: Παράδοξα
Post by: nasia!! on March 07, 2009, 18:50:46 pm
ΩΩΩΩ..πολύ εντυπωσιακό ομολογουμένως....δεν το είχα ξαναδεί...!
Title: Re: Παράδοξα
Post by: abdel razek mahmut favala on October 17, 2010, 19:47:02 pm
http://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox
και μια κάπως εκλαικευμένη εκδοχή σαν ώθηση στην κατανόηση
logicomix?και μια κάπως εκλαικευμένη εκδοχή σαν ώθηση στην κατανόηση