THMMY.gr

Μαθήματα Βασικού Κύκλου => Διάδοση Η/Μ κύματος Ι => Topic started by: tahstav on December 29, 2008, 20:59:43 pm



Title: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: tahstav on December 29, 2008, 20:59:43 pm
Βασικά μπορεί να κάνω και λάθος, είμαι λίγο μπερδεμένος...
Πιστεύω ότι μια εκ των ασκήσεων 12.6 και 12.7 έχει λάθος

Στην 12.6 μας δίνει ένα σήμα το οποίο χωρίζεται σε παράλληλη και σε κάθετη συνιστώσα.
Η παράλληλη συνιστώσα όμως έχει μηδενική ανάκλαση γιατί η γωνία πρόσπτωσης είναι η γωνία Brewster.
Για να βρει λοιπόν το πλάτος του διαθλώμενου παράλληλου σήματος βρίσκει το συντελεστή (Τ-παράλληλο)
και τον πολλαπλασιάζει με το πλάτος του προσπίπτωντος-παράλληλου σήματος.

Στην 12.7 έχουμε επίσης μηδενική ανάκλαση και γωνία Brewster. Παρόλα αυτά το πλάτος παραμένει Eo
και στο προσπίπτων και στο διαθλώμενο σήμα και δεν υπολογίζεται το Τ...

Ποιος είναι ο σωστός τρόπος???


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: papagiannakis on February 26, 2009, 23:24:58 pm

Η 12.6 είναι σωστή.

Στην 12.7 τα πλάτη των πεδίων στις εξ. 22, 23, 24 (και αντίστοιχα στις 31, 32, 33) θέλουν διόρθωση:

Et1 = T12 E0
Er2 = Rαγωγού Et1
Et3 = T21 Er2

Παρ' όλ' αυτά, το τελικό αποτέλεσμα για το Ε1 στην 34 είναι σωστό. (γιατίιι; )
Το Ε2 στην 35, όμως, πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το Τ12.

Αντώνης Γ. Παπαγιαννάκης


Απορία δικιά μου #1:
Αφου σωστά παρατήρησες την αντίφαση, γιατί δεν το προχώρησες ένα βήμα παραπέρα, ώστε να βρεις και την απάντηση;

Απορία δικιά μου #2:
Στην ιστοσελίδα σάς λέει, ελάτε, τηλεφωνήστε, στείλτε mail. Στο e-THMMY υπάρχει forum του μαθήματος.
Γιατί, άραγε, δεν εκεμεταλλεύεστε κάτι από όλα αυτά για απορίες;



...Καλή επιτυχία.



Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: schelo on February 27, 2009, 02:42:08 am
Έχω και εγώ μιά απορία...πιό πολύ επιβεβαίωση....

Μέχρι τώρα γνωρίζαμε για την στροφή, απόκλιση, κλίση των κανονικών διανυσμάτων.
Αλλά παρατήρησα από της ασκήσεις πως οι ίδιες σχέσεις ισχύουν και στην περίπτωση του "μιγαδικού" διανύσματος. Σωστά ?.

Επίσης

    Στην λυμένη άσκηση 11.10 του βιβλίου ( Σ.615 - τύπος 1 για στιγμιαία τιμή ) μέσα στα ορίσματα των cos(...) για την περίπτωση του Εox έχει την γωνία φ, και για την περίπτωση του Eoy έχει το (φ+π/2). Τι ακριβώς τώρα είναι οι γωνίες αυτές ??, και γιατί δεν έχει μόνο το π/2 που είναι και το λογικό.
Στην παράγραφο με την πόλωση (11o Κεφ.) έχει το φx=0 και το φy=φ όπου φαντάζομε πως το φxy=φ. Δηλαδή η γωνία μεταξύ των δύο. Τι μου διαφεύγει  :???:?.




Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: Tom on February 27, 2009, 11:35:42 am
 Στην άσκηση 11.10 του βιβλίου, η σχέση 1 είναι η γενική μορφή που θα μπορούσε να έχει το κύμα που περιγράφεται στην εκφώνηση. Έτσι, αρχικά θεωρούμε ότι οι δύο συνιστώσες του κύματος έχουν αρχική φάση, οπότε προκύπτει η γωνία φ στο όρισμα. Επίσης, επειδή το κύμα είναι κυκλικά πολωμένο με αρνητική φορά, στο όρισμα της ψ συνιστώσας υπάρχει επιπλέον η γωνία + π/2. Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες που μας δίνονται υπολογίζουμε τελικά ότι φ=0 και Ε=1V/m.


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: difotiad on February 27, 2009, 20:03:32 pm
Στην ασκηση 11 και 6 του φυλλαδιου ποιους τυπους πρεπει να παρουμε για συντελεστη ανακλασης-διαθλασης;;Στο Α4 οι λυμενες που εχει παιρνει τους τυπους  για Ε καθετο αλλα εγω οπως το καταλαβαινω κ συμφωνα με το σχημα θα επαιρνα για Ε παραλληλο.καμια εξηγηση;; :( :(


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: cecs on February 27, 2009, 21:57:54 pm
Στην άσκηση 4 που εξετάζει αν κάποια πεδία παριστάνουν κύματα και αν είναι ΕΟΚ,έχω μια απορία στο 3ο. (iii)
Αυτό στο οποίο το (pt+qz) είναι υψωμένο στο τετράγωνο!
Αυτό το κύμα είναι επίπεδο;
Πώς το υπολογίζουμε αυτό στην προκειμένη περίπτωση που έχω τετράγωνο;


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: Wade on February 27, 2009, 22:12:40 pm
Στην άσκηση 4 που εξετάζει αν κάποια πεδία παριστάνουν κύματα και αν είναι ΕΟΚ,έχω μια απορία στο 3ο. (iii)
Αυτό στο οποίο το (pt+qz) είναι υψωμένο στο τετράγωνο!
Αυτό το κύμα είναι επίπεδο;
Πώς το υπολογίζουμε αυτό στην προκειμένη περίπτωση που έχω τετράγωνο;

Αυτό το κύμα είναι επίπεδο, επειδή οι ισοφασικές του επιφάνειες είναι επίπεδες.  Σε ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα των z (δηλαδή όταν έχουμε σταθερό z), η φάση όλων των σημείων αυτού του επιπέδου είναι σταθερή.  Σ' αυτό δεν μας επηρεάζει το τετράγωνο.  Αντίθετα, για παράδειγμα, στο ii της άσκησης 3, οι ισοφασικές επιφάνειες είναι σφαιρικές, αφού για σταθερό r η φάση των σημείων της σφαίρας με ακτίνα r είναι σταθερή.

Γενικά, αυτό μπορείς να το βρεις εξισώνοντας τη φάση με μια σταθερά, και από αυτό προκύπτουν οι ισοφασικές επιφάνειες :)


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: cecs on February 28, 2009, 14:18:50 pm
Στην άσκηση 4 που εξετάζει αν κάποια πεδία παριστάνουν κύματα και αν είναι ΕΟΚ,έχω μια απορία στο 3ο. (iii)
Αυτό στο οποίο το (pt+qz) είναι υψωμένο στο τετράγωνο!
Αυτό το κύμα είναι επίπεδο;
Πώς το υπολογίζουμε αυτό στην προκειμένη περίπτωση που έχω τετράγωνο;

Αυτό το κύμα είναι επίπεδο, επειδή οι ισοφασικές του επιφάνειες είναι επίπεδες.  Σε ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα των z (δηλαδή όταν έχουμε σταθερό z), η φάση όλων των σημείων αυτού του επιπέδου είναι σταθερή.  Σ' αυτό δεν μας επηρεάζει το τετράγωνο.  Αντίθετα, για παράδειγμα, στο ii της άσκησης 3, οι ισοφασικές επιφάνειες είναι σφαιρικές, αφού για σταθερό r η φάση των σημείων της σφαίρας με ακτίνα r είναι σταθερή.

Γενικά, αυτό μπορείς να το βρεις εξισώνοντας τη φάση με μια σταθερά, και από αυτό προκύπτουν οι ισοφασικές επιφάνειες :)

Ναι,απλά η συνθήκη για το επίπεδο θα είναι στην περίπτωσή μας:
p^2t^2+q^2z^2+2ptqz=const
Σωστά;
Και από δω προκύπτει z=const?


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: cecs on February 28, 2009, 14:21:21 pm
Η λύση στο Α4 λέει ότι είναι επίπεδο,εγκάρσιο και ομοιόμορφο αλλά όχι ΕΟΚ γιατί είναι υψωμένο στο τετράγωνο το (pt+qz)
Γιατί ισχύει αυτό;
Από την άλλη,στις σημειώσεις του ikoufi στα Downloads λέει ότι το κύμα δεν είναι καν επίπεδο.  :-\


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: ikoufis on February 28, 2009, 17:02:00 pm
Γράψε λάθος, είναι επίπεδο, αφού οι ισοφασικές επιφάνειες είναι όντως επίπεδα. :P


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: chr_ded on March 01, 2009, 15:20:29 pm

Η 12.6 είναι σωστή.

Στην 12.7 τα πλάτη των πεδίων στις εξ. 22, 23, 24 (και αντίστοιχα στις 31, 32, 33) θέλουν διόρθωση:

Et1 = T12 E0
Er2 = Rαγωγού Et1
Et3 = T21 Er2

Παρ' όλ' αυτά, το τελικό αποτέλεσμα για το Ε1 στην 34 είναι σωστό. (γιατίιι; )
Το Ε2 στην 35, όμως, πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το Τ12.

Αντώνης Γ. Παπαγιαννάκης




Νομίζω ότι στην σχεση 34 το αποτέλεσμα είναι σωστο,διότι το πλάτος του Εt3 πολλαπλασιάζεται μια φορα με το Τ12 και αλλη μια με το Τ21(το γινομενο των οποιων ισουται με 1) και επομένως μένει σταθερο και(τυχαία) δεν επηρεάζεται από την αμέλεια να πολλαπλασιαστεί με τους συντελεστες διάθλασης.


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: Kylries on March 01, 2009, 20:41:40 pm
Τους τύπους 12.99 και 12.103 (που δίνουν τον συντελεστή ανάκλασης για Ε παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης) ,όταν η φορά του Ε είναι αντίθετη από αυτή του σχήματος12-9,τους χρησιμοποιώ με αντίθετο πρόσημο????Ισχύει το ίδιο και για τον συντελεστή διάθλασης???Ξέρει κάποιος???


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: ampoulog on March 01, 2009, 20:43:15 pm
Στην ασκηση 11/3 στο βιβλίο Ασκήσεων είχαμε πει ότι η πόλωση ήταν γραμμική .
Από που βγαίνει το συμπέρασμα αυτό ???????


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: Vicariously,I on March 02, 2009, 04:46:19 am
Τους τύπους 12.99 και 12.103 (που δίνουν τον συντελεστή ανάκλασης για Ε παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης) ,όταν η φορά του Ε είναι αντίθετη από αυτή του σχήματος12-9,τους χρησιμοποιώ με αντίθετο πρόσημο????Ισχύει το ίδιο και για τον συντελεστή διάθλασης???Ξέρει κάποιος???
ελα ρε ηλια..
Νίκος απο Λιβαδεια..
τι λεει,πως γραφεις??  :P

προφανως οπως ειναι το χρησιμοποιεις..
μη σε μπερδευει η βλακεια που λεει με <<τη φαση που δεν αλλαζει στην περιπτωση του Ε οπως ειναι το σχημα>>..
παντα ετσι θα ναι το προσπιπτον με το διαθλωμενο(απο τον κανονα των 3 δαχτυλων..Ε αντιχειρας,Η δεικτης και μεσος διευθυνση διαδοσης)
και προφανως το R εξαρταται απτα n1,n2 οχι απτη φορα του Ε :o  :o


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: glika on March 02, 2009, 12:18:14 pm
βασικά εχω μπερδευτεί στην 3 άσκηση του πρώτου φυλλαδίου!αν πρέπει να δείξουμε ότι μια εξίσωση παριστά κύμα που ακριβως αντικαθιστούμε??Ας πούμε στη δεύτερη η στη τρίτη εξίσωση που αντικαθιστούμε?


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: glika on March 02, 2009, 12:19:16 pm
οχι εμπειρικά


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: ampoulog on March 02, 2009, 13:10:35 pm
βασικά εχω μπερδευτεί στην 3 άσκηση του πρώτου φυλλαδίου!αν πρέπει να δείξουμε ότι μια εξίσωση παριστά κύμα που ακριβως αντικαθιστούμε??Ας πούμε στη δεύτερη η στη τρίτη εξίσωση που αντικαθιστούμε?

Δεν έχω αυτή τη στιγμή μπροστά μου το φυλλάδιο αλλά γενικά όταν θέλεις να δείξεις ότι μία σχέση περιγράφει σχήμα δουλεύεις με εξισώσεις Maxwell και στην χειρότερη περίπτωση (αν σε αναγκάζει) με εξίσωση διαχυσης- εξίσωση κύματος.


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: Anyparktos on March 02, 2009, 13:17:39 pm
Η λύση στο Α4 λέει ότι είναι επίπεδο,εγκάρσιο και ομοιόμορφο αλλά όχι ΕΟΚ γιατί είναι υψωμένο στο τετράγωνο το (pt+qz)
Γιατί ισχύει αυτό;
Από την άλλη,στις σημειώσεις του ikoufi στα Downloads λέει ότι το κύμα δεν είναι καν επίπεδο.  :-\
Εξίσωση ισοφασικών επιφανειών στην ουσία είναι να πάρεις τον εκθέτη του e (χωρις να λαβεις ομως υπόψη το j,φανταστική μονάδα και το χρονικά μεταβαλλόμενο όρο) και να την εξισώσεις με μία σταθερά.Οπότε με λίγα λόγια πρεπει (qz)^2=const
Παίρνοντας τη ρίζα στα δύο μέλη και θεωρώντας const=0(ενα επίπεδο από την οικογένεια των επιπέδων) έχεις |qz|=0.Άρα τα ισοφασικά σου επίπεδα είναι τα παράλληλα προς το z=0 στα οποία το κύμα έχει σταθερό πλάτος.Άρα,απο αυτά καταλαβαίνουμε ότι το κύμα είναι α)επίπεδο και β) ομοιόμορφο.Για να βρούμε τη διεύθυνση διάδοσης εξετάζουμε απο ποιές συντεταγμένες εξαρτάται η φάση του κύματος,και στην προκειμένη περίπτωση,αφού εξαρτάται μονο απο το z εχουμε διαδοση κατα τον z αξονα.Αφού η διεύθυνση της εντασης Ε ειναι παράλληλη στο y μοναδιαιο,συμπεραίνουμε ότι η ενταση είναι κάθετη προς τη διευθυνση διάδοσης.Άρα το κύμα ειναι όντως εγκάρσιο.Παρολ αυτά δε μπορεί να χαρακτηριστεί ως ΕΟΚ γιατί η φασική μεταβολή του είναι ανάλογη εκείνου του τετραγώνου που βλέπεις.Άρα,απ'όλα είναι αυτό το κύμα αλλά όχι ΕΟΚ.  ;D

Quote from: glika
βασικά εχω μπερδευτεί στην 3 άσκηση του πρώτου φυλλαδίου!αν πρέπει να δείξουμε ότι μια εξίσωση παριστά κύμα που ακριβως αντικαθιστούμε??Ας πούμε στη δεύτερη η στη τρίτη εξίσωση που αντικαθιστούμε?

To αντικαθιστάς στον τύπο του 10ου κεφαλαίου που λέει "κυματική εξίσωση" ,τύπος Χ.12 του τυπολογίου.Αλλά αυτά δεν κάνουν ούτε για τη φυλακή οπότε προχώρα και κοίτα τις άλλες ασκήσεις ;)

ΕDIT: Bλακεία μου,είναι όπως τα λέει ο Ampoulog.Παρολ αυτά εξακολουθώ να πιστεύω ότι δεν είναι ούτε για τη φυλακή αυτά.



Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: cecs on March 02, 2009, 14:58:53 pm
Στην άσκηση 8 του φυλλαδίου για το ΕΟΚ,στο ερώτημα δ που υπολογίζει τις πυκνότητες των ενεργειών και των απωλειών Joule,στο Α4 ο τύπος για την πυκνότητα απωλειών <wj> είναι με 1/2 ενώ στο τυπολόγιο με 1/4.
Ποιο είναι το σωστό;;;;;;;;


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: Θάνος on March 02, 2009, 15:21:49 pm
παίδες έχει δοκιμάσει κανείς να λύσει την 9 από ανάκλαση/διάθλαση? τα αποτελέσματα σας βγαίνουν όπως τα κάναμε; Έχω ενα "μικρό" πρόβλημα με τα μεγέθη και τις πράξεις και τίποτα δε μου βγαίνει σωστό :D
Και καταρχήν.. ω=2πf, σωστά;; άρα ω=6,28 * 1.000.000 ??
Γενικά κάνουμε κάποια μετατροπή στις μονάδες πριν τις χρησιμοποιήσουμε? σ'αυτές που δίνει για f, μ, ε, κλπ


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: Kylries on March 02, 2009, 15:39:30 pm
Τους τύπους 12.99 και 12.103 (που δίνουν τον συντελεστή ανάκλασης για Ε παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης) ,όταν η φορά του Ε είναι αντίθετη από αυτή του σχήματος12-9,τους χρησιμοποιώ με αντίθετο πρόσημο????Ισχύει το ίδιο και για τον συντελεστή διάθλασης???Ξέρει κάποιος???
ελα ρε ηλια..
Νίκος απο Λιβαδεια..
τι λεει,πως γραφεις??  :P

προφανως οπως ειναι το χρησιμοποιεις..
μη σε μπερδευει η βλακεια που λεει με <<τη φαση που δεν αλλαζει στην περιπτωση του Ε οπως ειναι το σχημα>>..
παντα ετσι θα ναι το προσπιπτον με το διαθλωμενο(απο τον κανονα των 3 δαχτυλων..Ε αντιχειρας,Η δεικτης και μεσος διευθυνση διαδοσης)
και προφανως το R εξαρταται απτα n1,n2 οχι απτη φορα του Ε :o  :o
Καλά πάει ρε Νίκο
Εσύ ?θα το δώσεις το μάθημα ε?
Βασικα νομίζω ότι το πρόσημο του R(συντελεστής ανάκλασης)σε περίπτωση που η φορά του Ε είναι αντίθετη από την φορά του σχήματος είναι αντίθετο.Είναι πχ R=(η2-η1)/(η1+η2) αντί για R=(η1-η2)/(η1+η2 ),τουλάχιστον έτσι κάνει σε κάποιες ασκήσεις...Αν κάποιος γνωρίζει σίγουρα για το πρόσημο του R ας μας δώσει τα φώτα του..


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: Kylries on March 02, 2009, 16:37:16 pm
Επίσης γνωρίζει κανείς ποιές ασκήσεις έκανε ο Παπαγιαννάκης φέτος από το φυλλάδιο της ανακλοδιάθλασης!?.


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: Θάνος on March 02, 2009, 16:41:23 pm
1,2,3,4,5,7,9,11,12. Kανείς κανένα tip για μετατροπές στις μονάδες των μ, ε, α, β, ω, f, τίποτα?? ο,τιδήποτε χρησιμοποιείτε στη λύση ασκήσεων!


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: Kylries on March 02, 2009, 16:46:19 pm
1,2,3,4,5,7,9,11,12. Kανείς κανένα tip για μετατροπές στις μονάδες των μ, ε, α, β, ω, f, τίποτα?? ο,τιδήποτε χρησιμοποιείτε στη λύση ασκήσεων!
Γενικά προσέχεις να είσαι σε ονομαστική κλίμακα(!).Δηλαδή όπου έχεις πχ MHz-->10^6Hz.. Αυτή ήταν νομίζω και η μόνη μετατροπή που πέτυχα ως τώρα σε ασκήσεις που είδα...Έτσι πχ όταν έχεις f=1MHz k c=3x10^8 m/s το λ=c/f να σου βγει σε φυσιολογικές τιμές (όχι τεράστιο) και σε μέτρα...


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: difotiad on March 02, 2009, 20:33:46 pm
γνωριζει μηπως καποιος ποιες ασκησεις απο τις αλυτες του βιβλιου του κεφαλαιου 12 εγιναν φετος?


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: Kylries on March 03, 2009, 15:49:12 pm
Βασικα νομίζω ότι το πρόσημο του R(συντελεστής ανάκλασης)σε περίπτωση που η φορά του Ε είναι αντίθετη από την φορά του σχήματος είναι αντίθετο.Είναι πχ R=(η2-η1)/(η1+η2) αντί για R=(η1-η2)/(η1+η2 ),τουλάχιστον έτσι κάνει σε κάποιες ασκήσεις...Αν κάποιος γνωρίζει σίγουρα για το πρόσημο του R ας μας δώσει τα φώτα του..
Τι γίνεται τελικά με το πρόσημο του συντελεστή ανάκλασης?Εξαρτάται από τη φορά του Ε έτσι?Στο σχήμα 12-6 του βιβλίου ποιές είναι άραγε οι φορές αναφοράς του Ε...


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: glika on March 03, 2009, 17:04:54 pm
και εμένα με μπερδεύουν αυτές οι φορές!αλλα καταλήγω ότι αλλάζουν μόνο για κάθετη πρόσπτωση!
 


Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: OtiNaNAi on March 03, 2009, 20:01:40 pm
Στην πολωση οταν εχουμε διαδοση στο z tote Δφ = φy - φx

οταν όμως εχουμε διαδοση στο χ πως είναι? φy - φz ή φz - φy  ?

και αντιστοιχα για διαδοση στο y



Title: Re: Απορία στις ασκήσεις του βιβλίου
Post by: ikoufis on March 03, 2009, 20:07:33 pm
Κάνετε στροφή του χψζ συστήματος κατά δεξιά και δεν αλλάζει τπτ απολύτως.
Δηλαδή όπου χ->ψ
ψ->ζ
ζ->χ

αν σε βολεύει το κάνεις άλλη μια στροφή μετά ώστε πάντα να έχεις διάδοση κατά ζ και το Ε στο επίπεδο χψ ώστε να εφαρμόσεις του τύπους που λες.

**προσέξτε αν σας βάλει διάδοση όχι κατά χ ψ ή ζ αλλά κατά ένα διάνυσμα που είναι γραμμικός συνδυασμός των χο ψο και ζο οπότε πρέπει να πάρετε στροφή του συστήματος συντεταγμένων με τον πίνακα στροφής που μάθατε στη γραμμική άλγεβρα, ή έστω να το βγάλετε μόνοι σας πώς πρέπει να μετασχηματίσετε τους άξονες και τα μοναδιαία διανύσματά τους.