|
Title: Το θεώρημα της μή-πληρότητας των Μαθηματικών Post by: Alexkasgr on October 17, 2005, 19:51:27 pm Όταν διάβασα το βιβλίο "Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ", ένα από τα πιο "τραγικά" σημεία του βιβλίου ήταν όταν ο μαθηματικός-πρωταγωνιστής έμαθε ότι ένας αυστριακός μαθηματικός ονόματι Κουρτ Γκαιντέλ είχε αποδείξει το θεώρημα της μη-πληρότητας των μαθηματικών. Για όσους δεν έχουν ακούσει για αυτό, το θεώρημα αυτό λέει ότι:
"Τα μαθηματικά ως επιστήμη δεν είναι πλήρης, δηλαδή δεν υπάρχει απαραίτητα για όλες τις αληθείς τους προτάσεις και ένας τουλάχιστον τρόπος απόδειξεις. Κοινώς, αν δεν μπορείς να αποδείξεις κάτι στα μαθηματικά (συνήθως εικασίες) μπορεί είτε να είναι αναληθής ο ισχυρισμός, είτε να είναι αληθής και να μην έχει απόδειξη!!! Κάτι τέτοιο είναι συγκλονιστικό και αφήνει ένα μεγάλο κενό, αφού ποτέ δε θα μάθουμε πώς να διακρίνουμε τις δύο τελευταίες κατηγορίες προτάσεων!" Εκτός του ότι συστήνω ανεπιφύλακτα το συγκεκριμένο βιβλίο σε όλους (είναι ελαφρύ, σε ένα απόγευμα διαβάζεται άνετα), το όλο θέμα έχει πολλές επιστημονικές προεκτάσεις. Πώς σας φαίνεται? Πού λέτε να οφείλεται? Σημειωτέον, το θεώρημα αυτό έχει αποδειχθει! Title: Απ: Το θεώρημα της μή-πληρότητας των Μαθηματικών Post by: Nessa NetMonster on October 17, 2005, 21:15:57 pm "Πού λέτε να οφείλεται;" :???:
...τι θέλεις να πεις; Title: Απ: Το θεώρημα της μη-πληρότητας των Μαθηματικών Post by: Alexkasgr on October 17, 2005, 21:30:40 pm Που οφείλεται η μη-πληρότητα της μαθηματικής επιστήμης: στο σχολείο δε μαθαίναμε ότι πχ. στη Γεωμετρία, αποδεχόμαστε τα αξιώματα και στη συνέχεια όλες οι προτάσεις μπορούν να αποδειχθούν??
Θα μου πείτε ατυχές παράδειγμα η Ευκλείδια Γεωμετρία. Και πάλι, δε σας κάνει εντύπωση το να μην μπορεί η μαθηματική επιστήμη να αποδείξει κάτι (την πληρότητά της) που γενιές ολόκληρες μαθηματικών θεωρούσαν δεδομένο? Επειδή αντιλαμβάνομαι ότι δεν είμαι σαφής, εξηγώ κι άλλο: Λέτε πχ. ότι η μη πληρότητα των μαθηματικών είναι α) απόρροια κακής αξιωματικής τους θεμελίωσης, β) σύμφυτη της ύπαρξης των μαθηματικών, γ) απλώς ένας τρελός βγήκε και απέδειξε κάτι που δεν το πιστεύετε, πχ. έκανε λογικά άλματα στην απόδειξη (αυτό δεν μπορούμε να το ξέρουμε προφανώς) δ) οτιδήποτε άλλο... :) Title: Απ: Το θεώρημα της μη-πληρότητας των Μαθηματικών Post by: Nessa NetMonster on October 17, 2005, 21:56:24 pm Λέτε πχ. ότι η μη πληρότητα των μαθηματικών είναι α) απόρροια κακής αξιωματικής τους θεμελίωσης, β) σύμφυτη της ύπαρξης των μαθηματικών, γ) απλώς ένας τρελός βγήκε και απέδειξε κάτι που δεν το πιστεύετε, πχ. έκανε λογικά άλματα στην απόδειξη (αυτό δεν μπορούμε να το ξέρουμε προφανώς) δ) οτιδήποτε άλλο... :) Το α αποκλείεται από την απόδειξη του Γκέντελ. Ο Γκέντελ απέδειξε ότι ό,τι αξιώματα και να βάλεις πάντα θα υπάρχουν προτάσεις που δε θα μπορούν να αποδειχθούν σωστές ή λάθος. Άρα η πιο σωστή ερμηνεία του θεωρήματος είναι το β.Το γ δεν το συζητάμε, αποκλείεται (καλά, όλοι οι μαθηματικοί του κόσμου κάνουν λάθος; ). Title: Απ: Το θεώρημα της μή-πληρότητας των Μαθηματικών Post by: Wiwol on October 17, 2005, 22:32:46 pm Πλήρες λέγεται ένα τυπικό σύστημα μέσα στο οποίο όλες οι αληθείς προτάσεις μπορούν να παραχθούν.
Τα μαθηματικά νομίζω δεν ειναι τέτοιο σύστημα γιατι στιρίζονται στη παραγωγική λογική. Ο Godel το 1931 έδειξε οτι μπορεί να υπάρχουν αληθείς προτάσεις σε ένα συνεπές τυπικό σύστημα για τις οποίες δεν υπάρχει αλγόριθμος που να αποδεικνύει οτι είναι αληθείς. Ένα τέτοιο τυπικό σύστημα είναι συνεπές αλλά δεν είναι πλήρες. Αυτό είναι γνωστό ως το θεώρημα της μη πληρότητας του Godel (Godel’s incompleteness theorem). Τέτοιο σύστημα ειναι και τα μαθηματικά νομίζω. παράδειγμα: Δεν υπάρχει αλγόριθμος που να αποφασίζει το αν ένα σύστημα Διοφαντικών εξισώσεων έχει λύση. Αυτό είναι το γνωστό δέκατo πρόβλημα του Hilbert Σύστημα Διοφαντικών εξισώσεων έιναι ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων για το οποίο όλοι οι συντελεστές και όλες οι λύσεις είναι ακέραιοι αριθμοί. Παράδειγμα: 2*x*x - y*y*y + 6 = 0 5*x*y - 2*z + 6 = 0 2*x - y + z - 4 = 0 Λύσεις: x=1, y=2, z=4. Αν τα μαθηματικά ήταν πλήρης θεωρία θα έπρεπε να υπάρχει αυτός ο αλγόριθμος. Έτσι? Άρα τα μαθηματικά είναι μια όχι πλήρη θεωρία λόγω τις παργωγιής βάσης τους. Title: Απ: Το θεώρημα της μή-πληρότητας των Μαθηματικών Post by: ~Michelle~ on October 18, 2005, 01:29:18 am Kι όμως, αν ένα θεώρημα ΑΠΟΔΕΙΧΘΕΙ οτι ειναι μη-αποδείξιμο, ουσιαστικά είναι σαν να έχουμε εμμέσως αποδείξει την ισχύ του καθώς εαν δεν ίσχυε τότε θα μπορούσαμε να αποδείξουμε οτι δεν ισχύει με ένα αντιπαράδειγμα.
(το παραπάνω δεν είναι δική μου επινόηση, το έχω διαβάσει στο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά) Title: Απ: Το θεώρημα της μή-πληρότητας των Μαθηματικών Post by: Wiwol on October 18, 2005, 11:38:23 am Ακριβώς. σε αυτή την περίπτωση είναι πάλι πλήρης αφού η αληθής πρόταση "δεν ισχύει το θεώρημα" μπορεί να παραχθεί (αποδειχθεί) από τις προηγούμενες αληθής προτάσεις.
Στα μαθηματικά όμως υπάρχουν περιπτώσεις που ενώ μια πρόταση είναι αληθής δεν υπάρχει απόδειξη (δεν μπορεί να παραχθεί) από τις υπόλοιπες αληθείς. Το παράδειγμα παραπάνω δίνει μια τέτοια περίπτωση. Άρα δε είναι πλήρη σύστημα. Είναι απλά συνεπές. Title: Απ: Το θεώρημα της μή-πληρότητας των Μαθηματικών Post by: Nessa NetMonster on October 18, 2005, 19:43:48 pm Kι όμως, αν ένα θεώρημα ΑΠΟΔΕΙΧΘΕΙ οτι ειναι μη-αποδείξιμο, ουσιαστικά είναι σαν να έχουμε εμμέσως αποδείξει την ισχύ του καθώς εαν δεν ίσχυε τότε θα μπορούσαμε να αποδείξουμε οτι δεν ισχύει με ένα αντιπαράδειγμα. Και που ξέρεις ότι δεν υπάρχει ένα τέτοιο αντιπαράδειγμα; Αν παίρνεις τις περιπτώσεις από ένα άπειρο σύνολο, ποτέ δε θα μπορέσεις να τα εξετάσεις όλα ;)(το παραπάνω δεν είναι δική μου επινόηση, το έχω διαβάσει στο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά) Title: Απ: Το θεώρημα της μή-πληρότητας των Μαθηματικών Post by: ~Michelle~ on October 18, 2005, 19:52:51 pm Αχ δεν καταλαβες τι εννοώ :(
Μάλλον δεν το εξήγησα καλα :( Title: Απ: Το θεώρημα της μή-πληρότητας των Μαθηματικών Post by: Nessa NetMonster on October 18, 2005, 20:09:12 pm :???:
...explain? Title: Απ: Το θεώρημα της μή-πληρότητας των Μαθηματικών Post by: ~Michelle~ on October 18, 2005, 21:09:14 pm Βαριέμαι να εξηγώ τώρα...
Θα το γράψω πιο μετά ή θα στα πω απο κοντά αμα σε δώ :P |