THMMY.gr

Έχω την εξής απορία:
Αν θεωρήσουμε την τομή μιας σφαίρας και ενός επιπέδου το αποτέλεσμα θα είναι κύκλος,
αλλά  αλγεβρικά με τη λύση του συστήματος προκύπτουν δυο λύσεις ,δηλαδή δυο κύκλοι.Ποια είναι η γεωμετρική σημασία αυτού του αποτελέσματος;
π.χ
C:χ²+(ψ-2)²+(ζ-8)²=4
F:5χ+3ψ-2ζ=9
Λύση του συστήματος είναι:
[ζ=(6/(29))ψ+(5/(29))√(-38ψ²+266ψ-625)+((182)/(29)),χ=(2/(29))√(-38ψ²+266ψ-625)-((15)/(29))ψ+((125)/(29))]  και

[ζ=(6/(29))ψ-(5/(29))√(-38ψ²+266ψ-625)+((182)/(29)),χ=((125)/(29))-(2/(29))√(-38ψ²+266ψ-625)-((15)/(29))ψ]
Θα παρακαλούσα αν κάποιος μπορεί να δώσε μια εξήγηση ας απαντήσει,
Ευχαριστώ προκαταβολικά!

Όταν λύνεις ένα σύστημα επίπεδο κύκλος, λύνεις το επίπεδο ως προς μία μεταβλητή, αντικαθιστάς στη σφαίρα, λύνεις το επίπεδο ως προς άλλη μεταβλητή, ξαναντικαθιστάς στη σφαίρα.
Έτσι παίρνεις δύο εξισώσεις π.χ. η μία με μεταβλητές x-z και η άλλη με x-ψ
Δεν υπάρχει κάτι πιο απλό σε εξίσωση κύκλου στο χώρο 3D

Σίγουρα  η λύση του συστήματος θα περιλαμβάνει δυο εξισώσεις εφόσον πρόκειται για κύκλο στο R^3,η έρώτηση μου όμως είναι γιατί να έχουμε δυο τέτοιες λύσεις ,δηλαδή δυο κύκλους ;.Πιστεύω να έγινε κατανοητό ποιο σημείο του  προβλήματος δε μπορώ να κατανοήσω "γεωμετρικά" ,γιατί αλγεβρικά είναι κατανοητό

Η λύση του συστήματός σου είναι:

29x²+30xy-250x+13y²-166y+625=0
34x²-20xz-30x+13z²-132z+549=0

που είναι το περίεργο?  :)

AgentCain, αυτά που γράφεις είναι δυο επιφάνειες, η τομή των οποίων είναι ο κύκλος που ζητάμε.
Ναι, αλλά και οι δύο αρχικές επιφάνειες που έδινε η άσκηση ήταν το ίδιο πράγμα (και μάλιστα πιο απλή μορφή!). Δηλαδή με αυτή την αντικατάσταση κάνουμε μια τρύπα στο νερό!

Ο evageliav προχώρησε στο να υπολογίσει τα x και z συναρτήσει του y, που έχει νόημα.


Η γεωμετρική ερμηνεία των δύο συστημάτων εξισώσεων είναι τα δύο ημικύκλια του κύκλου. Όπως όταν λύσεις την x^2+y^2=1 ως προς y θα πάρεις δύο λύσεις, που αντιπροσωπεύουν τα δύο ημικύκλια, έτσι και στον κύκλο της άσκησης τα δύο συστήματα εξισώσεων είναι τα δύο ημικύκλια.

***

Ας το προχωρήσουμε λίγο παραπέρα: Τα δύο ημικύκλια θα συναντιώνται σε δύο σημεία. Δηλαδή, θα υπάρχουν δύο τιμές του y για τις οποίες παίρνεις ίδιες λύσεις (x,y,z) και από τα δύο συστήματα.
Ποιες θα είναι αυτές οι τιμές του y; Θα είναι αυτές για τις οποίες (από εκεί και πέρα) παύεις να παίρνεις πραγματικές λύσεις (τερματίζεται η καμπύλη). Πότε παύεις να παίρνεις πραγματικές λύσεις; Όταν η τιμή του y γίνει τέτοια που η υπόρριζη ποσότητα να δίνει αρνητικές τιμές. Άρα, τα σημεία στα οποία θα δίνουν ίδια λύση τα δύο συστήματα (συναντιούνται τα ημικύκλια) είναι αυτά για τα οποία η υπόρριζη ποσότητα μηδενίζεται.
Μπορείς να το επαληθεύσεις αν θες και να βεβαιώσεις και εμένα ότι δεν είπα κάποια βλακεία ;D

Για να ξέρουμε και τι λέμε, ποια είναι η άσκηση αυτή?
Έχει άλλα δεδομένα, τίποτα πιο μπροστά? Είναι από το βιβλίο?

Κάτι πολύ σημαντικό.
Αν ζητάει "τις εξισώσεις του κύκλου" το αφήνεις στη μορφή που περιέργαψα.
Αν ζητάει "τις συναρτήσεις" τότε το αναπτύσεις.

Δηλαδή στο επίπεδο έχουμε 1 εξίσωση κύκλου αλλά 2 συναρτήσεις ημικυκλίων (που αν εννοθούν σχηματίζουν τον κύκλο)!
Και για να είμαστε πιο σωστοί πρέπει να διευκρινήσουμε που (σε ποια εξίσωση) ανήκουν τα 2 σημεία επαφής των ημικυκλίων


junior
αυτά τα δύο δεν είναι επιφάνειες με την έννοια Αχ+Βψ+Γζ+Δ=0, είναι ένα είδος καμπυλόγραμης επιφάνειας.
Η 2η π.χ. επιφάνεια μοιάζει με αυτή που επισυνάπτω

Ω θεε μου............

Έχεις ένσταση αλ.? που?

αν εννοείς το "καμπυλόγραμη επιφάνεια" δεν ξέρω πως το λένε, σίγουρα πάντως δεν είναι επίπεδο!
ίσως βέβαια να εννοείς τις "συναρτήσεις". Τώρα που το σκέφτομαι ο κύκλος δεν εκφράζεται από συνάρτηση.

Γεγονός είναι ότι αν έχεις δυο εξισώσεις, μία χ-ψ και μία ψ-ζ (ή άλλο συνδιασμό αυτών) αρκούν για να ορίσεις το επίπεδο σχήμα που θες στο χώρο.
Σαν ένας αλγόριθμος βάζεις χ σου βγάζει ψ. Βάζεις αυτό το ψ στην άλλη σου βγάζει ζ. Νάτο το σημείο.

Για πε μας...

Δεν μπορεί να σου ζητάει τις εξισώσεις του κύκλου, διότι σου τις δίνει (ένα πιθανό ζευγάρι).
Και είναι αυτές.

Τώρα από αυτές μπορείς να βγάλεις άλλα ζευγάρια, άπειρα. Όλα αυτά προκύπτουν λύνοντας τη μία εξίσωση ως προς μια μεταβλητή και αντικαθιστώντας στην άλλη εξίσωση, όπως έκανες. Δεν κερδίζουμε όμως τίποτα αλλάζοντας τις εξισώσεις με... ισοδύναμες!

Το ιδιαίτερο των δικών σου λύσεων είναι ότι η καθεμία περιέχει μόνο δύο μεταβλητές, που γεωμετρικά σημαίνει ότι είναι δύο καμπύλες επιφάνειες (μάλλον αυτός είναι ο σωστός όρος) παράλληλες προς έναν άξονα. Πχ, αν σε μια εξίσωση έχεις μόνο τις μεταβλητές x,y, τότε η επιφάνεια που περιγράφεται είναι παράλληλη στον άξονα z, δηλαδή είναι κυλινδρική επιφάνεια (όχι όμως με κυκλική τομή).

Αυτό όμως δεν είναι αρκετά χρήσιμο, ιδιαίτερα σε σύγκριση με τις δύο αρχικές επιφάνειες που ήταν δύο γνωστές καμπύλες (επίπεδο και σφαιρική επιφάνεια). Οι επιφάνειες που βρίσκουμε με το μετασχηματισμό που λες είναι δύο "περίεργες" κυλινδρικές επιφάνειες.

Το να λύσεις ως προς μια μεταβλητή από την άλλη (δηλαδή να βρεις τις δύο μεταβλητές συναρτήσει της τρίτης) μου φαίνεται πιο χρήσιμο. Γιατί; Επειδή τότε θα έχεις συναρτήσεις! Αν τα μεγέθη x,y,z είχαν φυσικό νόημα ίσως το y να ήταν το πρωτογενές και τα x, z δευτερογενή άρα να θέλαμε να λύσουμε ως προς y!


Ναι και στο χώρο έχεις δύο συστήματα από δύο εξισώσεις το καθένα. Και κάθε σύστημα είναι ένα ζεύγος συναρτήσεων που αντιπροσωπεύουν ένα ημικύκλιο.


Σημεία επαφής σημαίνει ότι στα δύο συστήματα για ίδιο y παίρνουμε ίδια και x και z. Τα σημεία επαφής δεν ανήκουν σε κάποια εξίσωση. Είναι οι τιμές που δίνουν ίδιο αποτέλεσμα στις δύο εξισώσεις!


Το Αχ+Βψ+Γζ+Δ=0 είναι επίπεδο. Τα υπόλοιπα είναι καμπύλες επιφάνειες. Όλα μαζί λέγονται απλά επιφάνειες ;)

Άρα όταν χρειαστεί να ορίσουμε ένα επίπεδο σχήμα στο χώρο, θα εκφράσουμε τις εξισώσεις του ως συνάρτηση π.χ. Φ(χ,ψ) σαν να έχουμε δύο ανεξάρτητες μεταβλητές?
Και αν σου ζητάει τις "εξισώσεις του κύκλου με τάδε χαρακτηριστικά" θα προτιμήσεις το σύστημα σφαίρα-επίπεδο ή το επιφάνεια-επιφάνεια σαν απάντηση?

Εγώ απλά το σκέφτηκα σαν να μιλούσαμε για το επίπεδο. Δίνεις μια τιμή σε μία ανεξάρτητη μεταβλητή και προκύπτουν τα υπόλοιπα.

Τουλάχιστον συμφωνούμε ότι το επίπεδο είναι επιφάνεια :P

Ένα σχήμα, αν εννοείς μια γραμμή (όχι αναγκαστικά ευθεία), για να οριστεί στον τρισδιάστατο χώρο χρειάζεται αναγκαστικά δύο εξισώσεις. Έστω και αν βρίσκεται ολόκληρη πάνω σε ένα επίπεδο (πχ ο κύκλος είναι πάντα επίπεδος)
Με μία εξίσωση παίρνεις μια επιφάνεια (στη γενική περίπτωση)

Οι εξισώσεις αυτές μπορεί είτε να είναι σε πεπλεγμένη μορφή πχ F(x,y,z) = 0 και G(x,y,z) = 0 είτε λυμένες ως προς κάποια μεταβλητή η καθεμιά, πχ y=f(x) και z=g(x) ή z=g(x,y).


Θα εξαρτηθεί από τα χαρακτηριστικά. Αν δε λέει τίποτα μπορείς να δώσεις οποιοδήποτε ζεύγος εξισώσεων. Αν σου λέει βρες δύο κυλινδρικές επιφάνειες των οποίων η τομή είναι η λύση του προβλήματος πρέπει να γίνει στη μορφή που έγραψες παραπάνω (δύο μεταβλητές κάθε εξίσωση)

Υ.Γ. Χρησιμοποιώ τους όρους που χρησιμοποιεί το βιβλίο του Ξένου (και προφανώς είναι οι καθιερωμένοι)

Για όσους ενδιαφέρονται για την πλήρη διατύπωση του προβλήματος είναι:
Να βρεθούν οι εξισώσεις του κύκλου ο οποίος είναι τομή της σφαιρικής επιφάνειας S και του επιπέδου Π.
Βέβαια αυτές τις λύσεις τις βρήκα με το "scientific workplace" ,(γι'αυτό το ζ και χ εκφράζονται συναρτήσει του ψ ).

Μυρίζω καμμένο σ'αυτό το topic.. ^boil^