THMMY.gr

Γεία σας. Διαβάζω Λογισμό για τις εξετάσεις και θέλω λίγο βοήθεια μήπως και το περάσω γιατί από ότι ακούω είναι από τα εύκολα :-\ μαθήματα τοθ εξαμήνου. Έχω χάσει τις αρκετές παραδώσεις και έτσι πολλά πράγματα δεν τα άκουσα.
Λοιπόν στην πεπλεγμένη μορφή βρίσκω ωραία και καλά την πρώτη παράγωγο, αλλά δεν καταλαβαίνω με ποιό τρόπο βγαίνει η 2η. Στο βιβλίο έχει 1 μόνο παράδειγμα και σε κάτι σημειώσeiς που βλέπω ο Ξένος κάνει κάθε φορά κάτι διαφορετικό. Νά ένα απλό παράδειγμα:

x²+xy+y²=0

Παραγωγίζοντας όπως στο βιβλίο έχουμε: 2x+y+x*dy/dx+2y*dy/dx=0 (1) ή dy/dx=(-2x-y)/(x+2y) Σωστά;

Τώρα λέει ότι πρέπει να ξαναπαραγωγίσω την (1).

2+dy/dx+...?

To x*dy/dx  και το  2y*dy/dx τί θα γίνουν?

Παραπάνω εφαρμόζω σε κάθε όρο αυτό που έλεγε σε κάτι σημειώσεις να παραγωγίζοyμε έτσι: dF/dx +dF/dy*dy/dx όπου F(x,y) πεπλεγμένη εξίσωση. Καλό είναι αυτό? Ή υπάρχει άλλος καλύτερος τρόπος?
Ένας φίλος είπε να πάρω την dy/dx=... και να παραγωγίσω ως προς x. το δοκίμασα αλλά και αυτό δε βγάζει τα σωστά.

...(x*dy/dx)'=dy/dx +x*(dy/dx)'  και
(2y*dy/dx)'=2dy/dx*dy/dx +2y*(dy/dx)'
αντικαθιστάς την dy/dx με την τιμή που βρήκες.
Έπειτα, την εξίσωση που προκύπτει την λύνεις ως προς (dy/dx)'....

Καταρχήν ευχαριστώ πολύ! :) ;) :)

Δηλαδή:
1) όταν παραγωγίζουμε ως προς x το dy/dx ή y' το παίρνουμε ως σταθερό.
2) το y*dy/dx ή yy' παραγωγίζεται ως προς y σαν γινόμενο.
3) όταν παραγωγίσουμε οπουδήποτε ως προς y ένα y και το κάνουμε 1, ένα y² και το κάνουμε 2y κτλ. τότε μόνο βάζουμε και ένα dy/dx από πίσω ένω το d(dy/dx)/dx  γίνεται βέβαια d²y/dx².

Ωράια νομίζω πως κατάλαβα κάτι. Θα κάνω άλλο 1 παράδειγμα να μου πείτε αν είναι σωστό.

π.χ. e^xy=2

ye^xy + xe^xy*y' = 0   -->    y'=...

τώρα θα πάρω έναν-έναν τους όρους

(ye^xy)' = y²e^xy + e^xy*y' + xye^xy*y'

(xe^xy*y')' = e^xyy' + xye^xyy' + x²e^xy*(y')² + xe^xy*y''

Έπειτα προσθέτω αυτά τα 2 που βρήκα, αντικαθιστώ τα y' με αυτό που βρήκα παραπάνω και έτοιμο!

Αν είναι σωστό τότε μάλλον το έμαθα!   8)

Είναι σωστό ;)

Στο 1ο εξάμηνο είχα και εγώ παρόμοια προβλήματα,αλλά όταν διάβασα λογισμο ΙΙ ξεκαθάρισαν όλα.Λοιπόν τα επόμενα θα τα μάθετε στο 2ο εξάμηνο,αλλά μπορείτε να τα χρησιμοποιήσετε στις εξετάσεις σας(τα χρησιμοποίησα κ εγώ και τα πήρε σωστά ο ξένος).

Η παράγωγος μιας πεπλεγμένης συνάρτησης F(x,y) είναι dy/dx=-Fx/Fy  όπου Fx,Fy->Η μερική παράγωγος ως προς χ ή y(βρίσκεται παραγωγίζοντας την F θεωρώντας σταθερά το y και x αντίστοιχα)

Αν εφαρμόσεις τον παραπάνω τύπο άλλη μια φορά έχεις την 2η παράγωγο...

Απλό ε? :D

Godhatesusall τον τύπο που λες μας τον έδωσε και εμάς. Τον έχω στις σημειώσεις που πήρα.
Τελικά δεν ήταν δύσκολο απλά στην αρχή τα μπέρδεψα με τα d. Αν βάζεις y', y'' είναι όλα πιο κατανοητά.

Thanks again συνάδελφοι! ;)
Σε λίγο ξεκινάω ολοκληρώματα. Μόλις ξανακολλήσω τα λέμε...

Βασικα θελω να ρωτησω κατι για την δευτερη παραγωγος της πεπλεγμενης συναρτησης...Ειδα σε ενα βιβλιο τον παρακατω τυπο:

d²y/dx²=-1/f_y³[f_xx f_y² -2f_xy f_x f_y +f_yy f_x²]

Στο παραδειγμα που ειχε απο οτι καταλαβα f_xx ηταν η δευτερης ταξης μερικη παραγωγος ως προς χ ενω f_yy η δευτερης ταξης μερικη παραγωγος ως προς y...Αλλα δεν καταλαβα τι ειναι f_xy...Μπορει κανεις να βοηθησεί;

Μήπως η παράγωγος του χ ως προς ψ?  :???:

Είναι η δεύτερη παράγωγος ως προς χ, ψ. Δηλαδή παραγωγίζεις μία φορά ως προς x και αυτό που θα βρεις μία φορά ως προς y.

Πχ, αν έχεις την πεπλεγμένη μορφή f(x,y) = x^2+xy+y^3 +x*cosy= 0 τότε fx = 2x+y+cosy και fxy = 1-siny

Στο σύνολο (ή σχεδόν) των περιπτώσεων που θα αντιμετωπίσεις το αποτέλεσμα θα είναι ίδιο με το να παραγωγίσεις ως προς y και μετά ως προς x. Μπορείς να το επαληθεύσεις στην παραπάνω περίπτωση. Για περισσότερα, στα βιβλία λογισμού 2 που μοιράζονται στο 2ο εξάμηνο.

Οκ καταλαβα...Ευχαριστω πολυ...Δυστυχως πρεπει να περιμενω το αλλο εξαμηνο για να παρω το βιβλιο του λογισμου ΙΙ... :'(

Υπάρχει στη βιβλιοθήκη του τμήματος. Δεν ξέρω αν μπορείς να το δανειστείς, αλλά μπορείς να διαβάσεις εκεί πέρα. Αλλιώς παρ' το από κανένα φίλο μεγαλύτερο!