THMMY.gr

Καθώς διάβαζα Αξιοπιστία έλυσα το παρακάτω πρόβλημα:


ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Η πιθανότητα βλάβης ενός κινητήρα, κατά την πτήση ενός αεροσκάφους, είναι q. Υποθέσατε ότι το αεροσκάφος μπορεί να συνεχίσει την πτήση του ακόμη και αν υποστεί βλάβη το πολύ το ήμισυ των κινητήρων του. Να εξεταστεί αν ένα τετρακινητήριο αεροσκάφος υπερέχει, ως προς την πιθανότητα επιτυχίας του, από ένα δικινητήριο αεροσκάφος.


ΛΥΣΗ

Λέω εγώ τώρα. Για το δικινητήριο αεροπλάνο:

P{να βγάλει την πτήση} = 1 - P{να μη βγάλει την πτήση}

P{να μη βγάλει την πτήση} = P{και οι δύο κινητήρες να πάθουν βλάβη} = q²

Άρα R₂ = P{να βγάλει την πτήση} = 1 - q²


Για το τετρακινητήριο αεροπλάνο:

P{να βγάλει την πτήση} = 1 - P{να μη βγάλει την πτήση}

P{να μη βγάλει την πτήση} =

= P{μόνο τρεις κινητήρες να πάθουν βλάβη} + P{και οι τέσσερις κινητήρες να πάθουν βλάβη} =

= P{μόνο ο πρώτος να λειτουργεί} + P{μόνο ο δεύτερος να λειτουργεί} +

   P{μόνο ο τρίτος να λειτουργεί} + P{μόνο ο τέταρτος να λειτουργεί} +

   P{και οι τέσσερις κινητήρες να πάθουν βλάβη} =

= 4q³(1-q) + q⁴ = 4q³ - 3q⁴

Άρα R₄ = P{να βγάλει την πτήση} = 1 - 4q³ + 3q⁴


Τώρα πάμε να δούμε πιο είναι πιο πιθανό:

R₄ > R₂  =>  1 - 4q³ + 3q⁴ > 1 - q²  =>

=>  q² - 4q³ + 3q⁴ > 0  =>  q²( 1 - 4q + 3q² )  =>

=>  q²( q - 1 )( q - 1/3 ) > 0

Εδώ βλέπουμε ότι για q<1/3 => R₄>R₂. Όμως για q>1/3 => R₄<R₂.
Δηλαδή για q>1/3 είναι καλύτερο να χρησιμοποιηθεί ένα δικινητήριο αεροσκάφος!!!...

Ποιά είναι η φυσική σημασία του;... Εγώ δε μπόρεσα ακόμα να το καταλάβω... Θεωρούσα πολύ λογικό σε οποιαδήποτε περίπτωση να είναι το τετρακινητήριο καλύτερο πιθανοτικά από το δικινητήριο.


Υ.Γ. Έβαλα το topic εδώ για να μην περιοριστεί σε όσους ασχολούνται με την Αξιοπιστία. Εξάλλου πιθανότητες είναι...

Αυτό το πρόβλημα μας το είχε δώσει και ο κ. Ζιούτας σε ένα φυλλάδιο ασκήσεων στις πιθανότητες :D  Κι εμένα μου είχε φανεί παράξενο αυτό το φαινόμενο, αλλά δεν το είχα ψάξει περισσότερο...  Μ' αυτή την αφορμή μπορεί να το σκεφτώ λίγο παραπάνω...

Οι μηχανολογοι μηχανικοι ΟΦΕΙΛΟΥΝ να μας απαντησουν ::)

Είναι αρκετά λογικό αν το σκεφτείς ως εξής: Στην ουσία για κάθε κινητήρα πραγματοποιείς ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli. Αν η πιθανότητα βλάβης είναι μικρή (εν προκειμένω μικρότερη του 1/3 που βρήκες), τότε προφανώς το τετρακίνητο είναι καλύτερο, διότι πρέπει να χαλάσουν και οι δύο κινητήρες για να πάθει ζημιά, όμως η πιθανότητα συγκριτικά είναι πολύ μικρότερη σε σχέση με την πιθανότητα να χαλάσει ο ένας κινητήρας σε ένα διθέσιο αεροπλάνο.

Στην περίπτωση που η πιθανότητα είναι μεγάλη (>1/3εδώ), τότε προφανώς η πιθανότητα να χαλάσει ένας κινητήρας είναι επίσης μεγάλη. Οπότε μιας και έχεις να "ελέγξεις" λιγότερους κινητήρες στο διθέσιο, τότε σαφώς και είναι προτιμητέο σε σχέση με το τετρακίνητο.

Εδώ δηλαδή "παίζουν" δύο παράμετροι. 1.Η πιθανότητα να χαλάσει ο κάθε κινητήρας μεμονωμένα 2.ο αριθμός των κινητήρων των αεροπλάνων. Το ποιό από τα παραπάνω ενδεχόμενα έχει τελικά περισσότερη βαρύτητα ως προς την αξιπιστία του αεροπλάνου, καθορίζεται από τη μεταξύ τους σχέση. Όπως βλέπεις η κινητήρες είναι στάνταρ (δηλαδή η δεύτερη παράμετρος είναι δεδομένη). Επομένως αυτή που "παίζει" είναι η αριθμητική τιμή της παραμέτρου 1 ;)

Οπως τα λέει ο Wanderer.Για να πέσει το 2κινητήριο χρειάζεται 2/2 βλάβη κινητήρων,ενώ στο τετρακινητήριο 3/4 ή 4/4.Δηλαδή στο 2κινητήριο 100% βλάβη ενώ στο 4κινητήριο 75% βλάβη.Οπότε εκτός από το πλήθος των κινητήρων που αυξάνοντας το πλήθος αυξάνεις την αξιοπιστία υπάρχει ο παράγοντας αυτός.
Οσο αυξάνει ο αριθμός των κινητήρων τόσο μικραίνει η διαφορά του ποσοστού "50% των κινητήρων +1",οπότε ο παράγοντας αυτός διακριτού πλήθους εξαλείφεται.Δε θα έπαιζε κανένα ρόλο αν το πρόβλημα τεθόταν ως διαβαθμισμένες βλάβες του κινητήρα,πχ ότι δε χάνουμε όλο τον κινητήρα αλλά ένα ποσοστό της ισχύος του οπότε το διακριτό του πλήθους των κινητήρων γίνεται συνεχές ποσοστό απαιτούμενης συνολικής ισχύος του αεροπλάνου.
Καλά τα είπα ή το έχασα κάπου? ::)

Χμ...σχετικά καλά τα είπες... αν και έκανες δυο-τρία λογικά άλματα, σε γενικές γραμμές έχεις κατανοήσει τους βασικούς παράγοντες που οριοθετούν τη λύση του εξεταζόμενου πρόβληματος :D ;D ^crazy^ ^poke^

Μια ερώτηση: Αν το πρόβλημα είχε τη μορφή που αναφέρεις, η πιθανότητα δεν θα παρέμενε 1/3; :???:

Από ό,τι βλέπω πιο πάνω εκ παραδρομής αναφέρω ότι το δικινητήριο θα πέσει αν χαλάσει ο ένας του κινητήρας, προφανώς και οι δύο πρέπει να χαλάσουν (αλλά anyway αυτό δεν επηρεάζει τη γενικότερη λογική)

Σε αυτή τηνπερίπτωση όμως δεν έχουμε και περισσότερες διαφορετικές περιπτώσεις?
Ενώ τώρα έχουμε δουλεύει-δεν δουλεύει. Έτσι όπως το λες εσύ οι κινητήρες, παρά τη ενδεχόμενη χαμηλή τους απόδοση, θα αλληλοκαλύπτονται.
 :???: :-\

Ναι αλλά μας ενδιαφέρει η συνολική ισχύς.

Βασικά στο πρόβλημα φαίνεται περίεργο να βγαίνει το δικινητήριο πιο αξιόπιστο του τετρακίνητου, αλλά υπάρχει η μη ρεαλιστική προυπόθεση ότι το αεροπλάνο μπορεί να κινηθεί με τους μισούς κινητήρες σε λειτουργία. Στην πραγματικότητα δεν πρέπει να συμβαίνει αυτό.

(Βασικά η σκέψη εδώ θα συνέχιζε πιστεύοντας ότι κινητήρας = τουρμπίνα του αεροπλάνου αλλά μάλλον σκεφτόμουν πατάτα γιατί λογικά δεν σταματάει η κίνηση απαραίτητα στην τουρμπίνα εάν ο κινητήρας σταματήσει να λειτουργεί. Παρόλ' αυτά, δεδομένου ότι το παραπάνω είναι παραδοχή, και το αποτέλεσμα του προβλήματος παραμένει παραδοχή.)

Τότε το πρόβλημα μας γίνεται η συνολική ισχύς των κινητήρων να είναι μέχρι το 50% της συνολικής ονομαστικής τους.Με αυτή τη σκέψη όμως δεν παίζει καθόλου ρόλο πόσους κινητήρες έχει το αεροπλάνο,η πιθανότητα θα είναι η ίδια.
Εγώ αυτό που σκεφτόμουν είναι ότι αν συνέκρινες ένα αεροπλάνο με 20 και ένα με 22 κινητήρες,επειδή στο 1ο θες 10 κινητήρες χαλασμένους και στο άλλο 11 τότε το ποσοστό βλάβης για το οποίο θα σε συμφέρει το αεροπλάνο με τους λιγότερους κινητήρες θα είναι πολύ υψηλότερο από το 1/3 που βγαίνει με 2,4κινητήρια.Οπότε τείνοντας να κάνεις συνεχή μεταβλητή το πλήθος των κινητήρων(με τη λογική της ισχύος του καθενός) βγάζεις από έξω τον παράγοντα αυτό.

Το πρόβλημα είναι στην εκφώνηση καθώς (όπως νομίζω) και  4 μηχανές να έχει το αεροπλάνο, μπορεί να πάει και με μία.

Επίσης είναι δυνατόν το q να είναι πάνω από 1/3 ! ! ! ! ! !

Δε θεωρώ ότι είναι και πολύ παράδοξο, καθώς μιλάμε για θεωρία. (πιθανότητα βλάβης). Η θεωρία από την πράξη απέχει.


έχω βρει την άσκηση λυμενη από άλλο πανεπιστήμιο. (δείτε σελίδα 7 του συννημένου)

Δεν κατάλαβα την ερώτηση... Όσο για την εξήγηση που δίνεις. Εννοείς ότι υπάρχει μία τιμή της πιθανότητας βλάβης πάνω από την οποία η πιθανότητα να χαλάσουν 3/4 ή 4/4 κινητήρες είναι μεγαλύτερη από το να χαλάσουν 2/2 κινητήρες;

Καλό ακούγεται... Αυτό σκεφτόμουν και εγώ... Εξάλλου στην πρώτη περίπτωση έχουμε 5/16 ενδεχόμενα και στη δεύτερη 1/4 ενδεχόμενα. Αυτό που σκέφτηκα μετά ήταν:

Γιατί να μην ισχύει αυτό για κάθε τιμή της πιθανότητας q; Δηλαδή σε κάθε περίπτωση είναι πιο δύσκολο να καταστραφεί το 100% των κινητήρων από το να καταστραφεί το 75%!...

Δεν είναι δα και τόσο μεγάλη η παραδοχή... Σκέψου αν θες ένα σκοτεινό δωμάτιο που για να το φωτήσεις θα χρησιμοποιήσεις βάσεις λαμπών με 2 ή με 4 λάμπες. Αν η πιθανότητα να χαλάσει μία λάμπα είναι q και χρειαζόμαστε το ήμισυ των λαμπών για να φωτιστεί το δωμάτιο, τί είναι καλύτερο να πάρεις μέσα στο δωμάτιο; Μία βάση με 4 ή μία βάση με 2 λάμπες;

(Πραφανώς οι λάμπες στη βάση με τις 2 θα έχουν διπλάσια ισχύ από αυτή με τις 4)



Αν σκεφτείς όπως γράφω πιο πάνω ότι κάθε ένας κινητήρας από τους 2 θα έχει διπλάσια ισχύ από τον καθένα από τους 4. Τότε με 1/4 κινητήρες το αεροπλάνο δε θα μπορεί να πετάξει.

Σαφώς και απέχει. Αλλά σε τιμές. π.χ. έστω q=0.7 στη θεωρία. Στην πράξη 0.5<q<0.9 αφού δε γνωρίζουμε ακριβώς την τιμή του. Παρόλαυτα όποια τιμή και να έχει από αυτές η απάντηση είναι ότι είναι πιο αξιόπιστο το δικινητήριο από το τετρακινητήριο!

Και έστω ότι υπάρχει στο πρόβλημα κάποια ακόμη διαφορά μεταξύ θεωρίας και πράξης. Ποιά είναι αυτή;

Προφανώς. Αυτό ουσιαστικά δείχνεις άμεσα με τα μαθηματικά.

Γιατί τα 16 ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα (ούτε και τα 4 στην περίπτωση του δικινητήριου) και δεν μπορείς να συγκρίνεις απευθείας το 5/16 με το 1/4. Το καθένα από αυτά τα ενδεχόμενα έχει μια πιθανότητα που μεταβάλλεται ως κάποιο πολυώνυμο του q. Ε, όταν q>1/3 η πιθανότητα των 5/16 στο τετρακινητήριο γίνεται μεγαλύτερη από αυτή του 1/4 στο δικηνητήριο.

Προσπαθώντας να το ξαναεξηγήσω... Όσο περισσότερους κινητήρες έχεις τόσο περισσότερο "διακριτοποιείς" την πιθανότητα να πετάξει το αεροπλάνο (η αν το θες τη συνολική "ισχύ" των κινητήρων). Το θέμα είναι ότι αυτά τα "κομματάκια" ισχύος που μπορούν να σταματήσουν να αποδίδονται τα θεωρείς ανεξάρτητα μεταξύ τους με πιθανότητα q, ενώ όταν έχεις μικρότερο αριθμό κινητήρων ομαδοποιούνται σε μεγαλύτερες ομάδες και αυτή η ομάδα έχει πλέον πιθανότητα q, ενω δεν μπορεί να χαλάσει ένα κομμάτι της ομάδας. Πιο συγκεκριμένα στο δικινητήριο δεν γίνεται να χαλάσει ο μισός κινητήρας (το 1/4 της ισχύος) αν δεν χαλάσει ταυτόχρονα και ο άλλος μισός (το άλλο 1/4). Στο τετρακινητήριο γίνεται. Και το ενδεχόμενο να χαλάσει το μισό από τον ένα κινητήρα και το μισό από τον άλλο (με όρους δικηνητήριου) είναι πλέον δυνατό ενδεχόμενο και συμβάλλει στην τελική πιθανότητα βλάβης, ενώ στο δικηνητήριο δεν είναι. Για μικρές πιθανότητες βλάβης το να χωρίσεις την συνολική ισχύ σε μικρά κομματάκια ανεξάρτητα μεταξύ τους συμφέρει, για μεγαλύτερες όχι...

Έστω ότι έχεις 1000 νομίσματα και ρίχνεις κορώνα-γράμματα. Αν φέρεις κορώνα παίρνεις 0.001 πόντους και όλους αυτούς τους προσθέτεις για να βγάλεις το τελικό σκορ. Και έστω ότι έχεις 2 νομίσματα από τα οποία το καθένα αν φέρει κορώνα σου δίνει 500 πόντους. Σε ποια περίπτωση περιμένεις να φέρεις μεγαλύτερο άθροισμα; Στην διαισθητική περίπτωση που τα νομίσματα είναι "δίκαια" θα απαντήσεις σίγουρα στην πρώτη. Εάν όμως σκεφτείς ότι μπορεί η πιθανότητα να φέρεις κορώνα να είναι διαφορετική από q=1/2 τότε για πολύ μικρές τιμές του q το πείραμα των 2 νομισμάτων θα συμφέρει...

Ωραίες εξηγήσεις δόθηκαν. Αλλά αυτό με τα νομίσματα Netgull είναι λίγο ατυχές :P

Το αναμενόμενο/μέσο κέρδος είναι πάντα το ίδιο.

Για να είναι ανάλογο του προηγούμενου προβλήματος, θα έπρεπε να θέσεις την ερώτηση ως εξής:
Πότε θα είναι πιο πιθανό να μαζέψεις τουλάχιστον 750 πόντους, με τα 2 ή με τα 1000 νομίσματα;
Απάντηση:
Αν η πιθανότητα να κερδίσει ένα νόμισμα είναι αρκετά μεγάλη, πχ 9/10, τότε συμφέρει να ρίξεις τα 1000 νομίσματα. Αν η πιθανότητα να κερδίσεις είναι μικρή, πχ 1/500, τότε συμφέρει να ρίξεις τα 2 νομίσματα

Είναι ένα ερώτημα το τι γίνεται με δίκαια νομίσματα (p=1/2). Αν θέλεις 500 πόντους φυσικά δεν έχει σημασία, η πιθανότητά σου έτσι κι αλλιώς θα είναι 50%, είτε με 2 είτε με 1000 νομίσματα.
Για 501 πόντους σίγουρα θα προτιμούσα τα 1000 νομίσματα. Για 1000 πόντους σίγουρα θα προτιμούσα τα 2 νομίσματα. Αλλά για 750 πόντους δεν ξέρω... ποιος θέλει να το υπολογίσει;
Επίσης, για πόσους πόντους είναι ίση η πιθανότητα (πέραν της περίπτωσης των 500 πόντων); (κάτι μου λέει ότι θα βγει κάτι με e, πχ 1-1/e = 63,2% = 632 πόντοι)
Και αν θέλει κάποιος ας το λύσει για τη γενική περίπτωση (τυχαίο p, τυχαίος αριθμός νομισμάτων).

Όντως αυτή η πρόταση είναι η απάντηση εκφρασμένη με λόγια. Πηγάζει όμως από τα μαθηματικά. Είναι σαν οι αριθμοί να σε κάνουν να βγάλεις ένα συμπέρασμα που δε θα έβγαζες από μόνος σου (ερευνώντας το πρόβλημα διαισθητικά).

Συμφωνώ. Όταν έλεγα περισσότερους πόντους για κάποιο λόγο μέσα στο κεφάλι μου εννοούσα περισσότερους από 500, προφανώς όχι και έξω από το κεφάλι μου όμως :P

Επίσης, ναι, το αναμενόμενο κέρδος θα είναι πάντα 1000*q. Σε άπειρο αριθμό πειραμάτων (που προϋποθέτει η μέση τιμή) είτε ρίξεις 1000 νομίσματα άπειρες φορές είτε 2 δεν έχει διαφορά. Απλά τα 1000 θα συγκλίνουν γρηγορότερα.

Αυτό συμβαίνει πολύ συχνά σε όλες τις επιστήμες που εμπλέκουν μαθηματικά.