THMMY.gr

Εδώ μπορείτε να σχολιάζετε τα θέματα και
να συζητάτε τις όποιες απορίες σας πάνω σε παλιά θέματα της
Γραφικής με υπολογιστές.
(Τα παλιά θέματα υπάρχουν εδώ (http://www.thmmy.gr/index.php?option=com_docman&task=cat_view&gid=203&Itemid=45)).

Ξέρει κανείς πώς λύνεται το 2ο Θέμα από την τελική εξέταση του Ιουνίου 2002; Είναι αυτό που θέλει να δείξουμε ότι τα δύο τρίγωνα p1p2p3  και q1q2q3 είναι ίσα...  :???:

Λογικά θα μετασχηματίσεις τα αρχικά σημεία. Θα αποδείξεις ότι οι αποστάσεις μεταξύ των καινούργιων σημείων παραμένουν ίδιες και θα δείξεις και ότι οι γωνίες που σχηματίζουν τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν παραμένουν και αυτά ίσα.

Ότι λέει η υπόδειξη.... Τί σε μπερδεύει;

Οι συντεταγμένες των νέων σημείων ποιές είναι; Βρίσκεις εύκολα τους πίνακες μετασχηματισμού, αλλά αυτοί είναι γενικοί. Πώς θα βρω συγκεκριμένα τα νέα x,y,z όταν για παράδειγμα L=|Rt|t|. Ξέρω ότι q=Lp, άλλα δεν
                                                                                                       |0|1|
μπορώ να βρω τα qx,qy και qz. Επίσης ποια σχέση παίρνεις για να δείξεις ότι οι γωνίες είναι ίσες;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

εγώ σε αυτή την άσκηση έφθασα ως αυτό το σημείο:
Αν θεωρήσουμε α,β,γ τις πλευρές του τελικώς μετασχηματισμένου τριγώνου, τότε:
α=|R(p2-p1)|
β=|R(p3-p2)|
γ=|R(p1-p3)|
Από δω και περα πώς γίνεται να αποδείξεις ότι πλευρές και γωνίες είναι ίσες... δεν ξέρω... όποιος ξέρει... ΑΣ ΒΟΗΘΗΣΕΙΙΙΙΙ

Για τις γωνίες μου φάνηκε εύκολο.

Lh = [R|t]
        [0|1]

vq1 = Lh vp1
vq2 = Lh vp2
vq3 = Lh vp3

Αν πάρουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων των πλευρών ανά δύο

vp12*vp13 = (vp2-vp1) (vp3-vp1) = |vp2-vp1| |vp3-vp1| cosα                       ,όπου α η μεταξύ τους γωνία

και μετά τα μετασχηματισμένα
vq12*vq13 = (vq2-vq1) (vq3-vq1) = (Lh vp2-Lh vp1) (L vp3-Lh vp1) = (Lh^2) |vp2-vp1| |vp3-vp1| cosα

Το παραπάνω σημαίνει ότι η μεταξύ τους γωνία δεν άλλαξε. Αυτό που άλλαξε είναι μόνο τα μέτρα των διανυσμάτων των κορυφών ως προς την αρχή των αξόνων.
Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλες τα ζεύγη κορυφών ανά δύο. Δεν ξέρω αν είναι σωστό!! Μια σκέψη έκανα!

Για τις πλευρές δεν ξέρω...

Μη μπερδευεστε με ομογενεις συντεταγμενες και L πινακες, ειναι πιο απλο.

Οι νεες συντεταγμενες θα ειναι:
q₁=Rp₁+t
q₂=Rp₂+t
q₃=Rp₃+t

Για να αποδειξετε την ισοτητα των γωνιων και των μετρων χρησιμοποιείτε τις ιδιότητες:
|x|²=x^Tx
R²=R^TR=1 γιατι ο R ειναι ορθογωνιος πινακας.
cos(a,b)=<a,b>/|a||b|

Μου λες λίγο που αναφέρει ότι ο R είναι ορθογώνιος;

σχεση 5.46. Δεν το λεει αλλα πινακες με αυτη την ιδιοτητα ονομαζονται ορθογωνιοι (ορθογωνιος ειναι ο πινακας του οποιου το αθροισμα των τετραγωνων των στοιχειων καθε γραμμης ειναι 1) Το ειχε πει ο Ντελοπουλος στο μαθημα, αν θυμαμαι καλα.

Ναι όντως. Το βρήκα και στη wikipedia. Όμως δε βρήκα πουθενά ιδιότητα R^2=1 για τους ορθογώνιους πίνακες...

οντως, εγραψα βλακεια. δεν ισχυει R²=R^TR, αυτο ισχυει μονο για το μετρο του τετραγωνου των διανυσματων.

Τελικά βρήκες (κομψή) λύση ή να πω τη δικιά μου την τεράστια;

η αποδειξη της ισοτητας των μετρων ειναι:

|q1q2|^2=(q1q2)T*(q1q2)=(Rp1p2)T*(Rp1p2)=(p1p2)T*RT*R*(p1p2)=
|p1p2|^2

τωρα για τη γωνια εχω μπερδευτει λιγο, θα το κοιταξω. Ανεβασε κι εσυ τη δικια σου.

Όντως κομψή η λύση σου.

Εγώ την έκανα με τη σχέση 5.43 με αρκετή Γραμμική Άλγεβρα. Από την ίδια σχέση απέδειξα και τις γωνίες. Πρέπει να αναλύσεις τα εσωτερικά γινόμενα σε μέτρο*μέτρο*συνημίτονο. Σε κάποια φάση χρησιμοποίησα την ισότητα:

b(uxa)+a(uxb)=0, όπου a, b, u διανύσματα.

Αυτό αποδεικνύεται αν κάνεις τις πράξεις με τις συντεταγμένες των διανυσμάτων.

Υ.Γ. Είναι αρκετές πράξεις για να το μεταφέρω... Ειδικά 3 ώρες πριν δώσουμε...

για να δειξουμε την ισοτητα των γωνιων αρκει να δειξουμε οτι <Rx,Ry>=<x,y>.

εχουμε ηδη δειξει οτι |Rx|^2=|x|^2 αρα και <Rx,Rx>=<x,x> και <R(x+y),R(x+y)>=<x+y,x+y>

οπου
<x+y,x+y>=<x,x>+2<x,y>+<y,y>
<R(x+y),R(x+y)>=<Rx,Rx>+2<Rx,Ry>+<Ry,Ry>

συγκρινωντας τις παραπανω εξισωσεις προκυπτει <Rx,Ry>=<x,y>

Τα έσπασες! Μπράβο!

στο θεμα 3ο-ιουνιος 2009 το καθετο διανυσμα Ν πως βγαίνει???

Na sas po???To mathima me diabasma kai palia themata pernietai???Thelei kati allo idiaitero???

εργασιες εχεις κανει;

tha kano tin teleutaia pou pianei 2

???

ετσι πας με αριστα το 8, προσπαθησε το κι ο,τι δεν καταλαβαινεις, εδω ειμαστε εμεις!  :)

Να κάνω μια ερώτηση. Όταν θέλουμε να βρούμε τον πίνακα περιστροφής (δεξιόστροφο) ως προς κάποιο άλλο σημείο και όχι την αρχή των αξόνων σε 2 διαστάσεις. Είναι ο παρακάτω πίνακας?:

R  =     [ cosθ   sinθ   -p_x 
             -sinθ   cosθ  -p_y
                0        0        1                     ]

δηλαδή [x' y' 1]^T = R*[x y 1]^T

Μπορεί μήπως κανείς να σκανάρει τίποτα ασκήσεις και να τις ανεβάσει να πάρουμε μια ιδέα; Γενικότερα κυκλοφορούν τίποτα παλιά θέματα λυμένα συνολικά ή ασκήσεις που έχουν γίνει στην αίθουσα; οτιδήποτε θα διευκόλυνε πολύ.

Mporei na mou eksigisei kapoios stin sel 34 tous anadromikous typous gia tin euresi a) energon pleuron kai b) gia tin euresi energon oriakon simeion???

Ανεβασα τα θεματα του φεβρουαρίου του 12..οχι σε τρομερη αναλυση αλλα θα καταλαβετε νομιζω  :)