THMMY.gr

Ρε κύριε δε το αρχίζατε πέρυσι τώρα είναι πολύ αργά :P

Καλησπέρα,

Για το πρόβλημα που θέσατε. Έχουμε ότι Α*Α=Α, Β*Β=Β και (Α+Β)*(Α+Β)=Α+Β. Θέλουμε να δείξουμε ότι Α*Β=Β*Α=0. Από την τρίτη σχέση στην υπόθεση έχουμε ότι Α*Α+Β*Α+Α*Β+Β*Β=Α+Β. Όμως λαμβάνοντας υπόψη την υπόθεση τελικά έχουμε Α+Β*Α+Α*Β+Β=Α+Β. Δηλαδή Α*Β+Β*Α=0. Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση με Α έχουμε ότι Α*Α*Β+Α*Β*Α=0. Όμως Α*Β=-Β*Α. Άρα Α*Α*Β+(-Β*Α)*Α=0 και Α*Α=Α. Άρα Α*Β+(-Β*Α)*Α=0. Δηλαδή Α*Β-Β*Α*Α=0. Τελικά Α*Β-Β*Α=0. Από αυτή τη σχέση και την Α*Β+Β*Α=0 προκύπτει τελικά ότι Α*Β=Β*Α=0. Αντίστροφα τώρα. Έστω ότι Α*Β=Β*Α=0. Θα δείξουμε ότι ο Α+Β είναι ταυτοδύναμος. Αρκει να δείξουμε ότι (Α+Β)*(Α+Β)=Α+Β. Από το πρώτο μέλος με πράξεις έχω ότι Α*Α+Α*Β+Β*Α+Β*Β= Α+Α*Β+Β*Α+Β = Α+Β αφού Α*Β=Β*Α=0.
το οποίο είναι και το ζητούμενο. Οι σχέσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τις παραπανω πραξεις ήταν οι Α*Α=Α, Β*Β=Β και Α*Β=Β*Α=0 όπως αποδείξαμε αρχικά.


Have a nice Day! 

Για (1)=>(2) έχουμε

(1)=>(A+B)*(A+B)=(A+B)
    =>A^2+A*B+B*A+B^2=(A+B)
    =>A*B+B*A=0 (Εφόσον Α,Β ταυτοδύναμοι => Α^2=Α και Β^2=Β)  Σχέση (3)

(3) => (Α*Β+Β*Α)*Α=0*Α=0
                                         => Α*Β*Α+Β*Α^2=0
                                         => Α*Β*Α+Β*Α=0  Σχέση (α)

Ακόμη (3) => Α*Β+Β*Α=0 => Α*(Α*Β+Β*Α)=Α*0=0
                                         => Α*Β+Α*Β*Α=0  Σχέση (β)

Από (α)-(β)=> Β*Α-Α*Β=0 => Β*Α=Α*Β  Σχέση (γ)

Από τη σχέση (γ) στη σχέση (3) => Α*Β=0 δηλαδή Α*Β=Β*Α=0

Για (2)=>(1) έχουμε

(Α+Β)*(Α+Β)=Α^2+ΑΒ+ΒΑ+Β^2
                  =Α+0+0+Β (Εφόσον Α,Β ταυτοδύναμοι και ισχύει η σχέση (2) )
                  =Α+Β Δηλαδή ο Α+Β είναι ταυτοδύναμος.

Δάσκαλε αυτό είναι μόνο για το 1ο έτος έτσι; για τους 2οετείς κανένα παρόμοιο παιχνιδάκι προβλέπεται;

Ωραίες οι λύσεις που παρουσιάστηκαν. Σκέφτηκα και κάτι άλλο και θα ήθελα να μάθω αν μπορεί να γίνει δεκτό ως σωστή λύση:
Είχαμε πει ότι υπάρχει μοναδικός πίνακας Ι τέτοιως ώστε Α*Ι=Ι*Α=Α και αυτός λέγεται μοναδιαίος. Ξεκινώντας από τα δεδομένα λοιπόν ( Α και Β ταυτοδύναμοι ), υποθέτω ότι ο Α θα είναι μοναδιαίος ή μηδενικός ( το ίδιο και για τον Β)
Έτσι λοιπόν έχω 4 περιπτώσεις:
1) Α και Β  μοναδιαίοι
2) Α και Β μηδενικοί
3) Α μοναδιαίος και Β μηδενικός
4) Α μηδενικός και Β μοναδιαίος.

Θα ελέγξω τις περιπτώσεις μία προς μία:
1) αν Α και Β μοναδιαίοι τότε ο Α+Β δεν θα είναι μοναδιαίος ούτε μηδενικός καθώς η κύρια διαγώνιος θα περιέχει τον αριθμό 2. Οπότε ο Α+Β δεν θα είναι ταυτοδύναμος ( αφού η κύρια διαγώνιος του (Α+Β)*(Α+Β) θα περιέχει τον αριθμό 4 )
Επίσης αν και οι 2 ήταν μοναδιαίοι τότε Α*Β ΔΕΝ θα ήταν 0.
Άραη πρώτη περίπτωση αποκλείεται!
2) αν και οι 2 ήταν μηδενικοί τότε και ο Α+Β μηδενικός και συνάμα ταυτοδύναμος και συνεπάγεται και Α*Β=Β*Α=0
3) Αν ο Α μηδενικός και Β μοναδιαίος τότε ο Α+Β θα είναι μοναδιαίος και συνάμα ταυτοδύναμος και επίσης Α*Β=Β*Α=0 αφού κάθε στοιχείο θα πολλαπλασιάζεται με 0.
4) Αν ο Β μηδενικός και ο Α μοναδιαίος τότε ισχύει το ίδιο όπως στην περίπτωση 3.

Ουσιαστικά στηρίζομαι στο γεγονός ότι ο Α και ο Β δεν υπάρχει περίπτωση να είναι άλλος πίνακας εκτός από μοναδιαίος ή μηδενικός. ( Γεγονός  για το οποίο έχω μια αμφιβολία στη λύση μου).
Αποκλείω την 1η περίπτωση γιατί αν και οι 2 ήταν μοναδιαίοι δεν θα ίσχυε τίποτα από τα 2 : Α+Β ταυτοδύναμος και Α*Β=Β*Α=0

Μένουν λοιπόν οι υπόλοιπες 3 περιπτώσεις στις οποίες επαληθέυεται και το i) και το ii) από όπου κι αν ξεκινήσουμε...

Κύριε, κατανοώ ότι δεν είναι μαθηματική η επίλυσή μου ή η σκέψη μου τέλος πάντων αλλά, έχει όντως νόημα? Ή είμαι τελείως λάθος από την αρχική υπόθεση?...
Ευχαριστώ πολύ!

Είχαμε πει ότι υπάρχει μοναδικός πίνακας Ι τέτοιως ώστε Α*Ι=Ι*Α=Α και αυτός λέγεται μοναδιαίος. Ξεκινώντας από τα δεδομένα λοιπόν ( Α και Β ταυτοδύναμοι ), υποθέτω ότι ο Α θα είναι μοναδιαίος ή μηδενικός ( το ίδιο και για τον Β)
Έτσι λοιπόν έχω 4 περιπτώσεις:
1) Α και Β  μοναδιαίοι
2) Α και Β μηδενικοί
3) Α μοναδιαίος και Β μηδενικός
4) Α μηδενικός και Β μοναδιαίος.
...
Ουσιαστικά στηρίζομαι στο γεγονός ότι ο Α και ο Β δεν υπάρχει περίπτωση να είναι άλλος πίνακας εκτός από μοναδιαίος ή μηδενικός.

Και Ερώτημα: Τι τιμές μπορεί να πάρει η ορίζουσα ενός ταυτοδύναμου πίνακα? (Αυτό θέλει λίγο διάβσμα παρακάτω στις σημειώσεις.)

Πίνακες της μορφής

[1 0]      [1 x]     [0 0]     [0 x]
[x 0]      [0 0]     [x 1]     [0 1]

είναι ταυτοδύναμοι. Επίσης προφανώς ο μοναδιαίος είναι ταυτοδύναμος. Υπάρχουν και σε άλλες μορφές;

Λοιπόν κατέληξα στα εξής για ένα πίνακα 2X2

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας πίνακας 2X2 ταυτοδύναμος είναι

για α₁₂<>0 και α₂₁<>0
α₁₁ + α₂₂ = 1
και
α₁₂ * α₂₁ = α₁₁ * α₂₂
άρα κάθε τετραγωνικός ταυτοδύναμος πίνακας μπορεί να κατασκευαστεί με αυτά τα κριτήρια

για α₁₂ = 0 και/ή α₂₁=0
προκύπτουν οι πίνακες που έδωσαν οι kinezos και gtpp

Μου κίνησε την περιέργεια όμως το ότι |Α|=0 ή 1 από τον τύπο Α^2=Α
Η μόνη λογική εξήγηση που έχω (εκτός το να έχω έναν αδύναμο μαθηματικά συλλογισμό) είναι ότι τελικά ένας ταυτοδύναμος πίνακας 2x2 δεν μπορεί να έχει ορίζουσα ίση με 1
Άλλωστε το |Α|=0 ή 1 δεν μας λέει σίγουρα ότι το |Α|=1, μπορεί να μην ισχύει καθόλου

Λοιπόν έστω πίνακας Α=
[ a  b ]
[ c  d ]

Για να είναι ένας πίνακας ταυτοδύναμος πρέπει να ισχύει Α*Α=Α
Άρα βρίσκουμε τα στοιχεία του γινομένου με τον κανόνα του πολλ/σμού
(Α*Α)₁₁=a*a + b*c
(Α*Α)₁₂=a*b + b*d
(Α*Α)₂₁=c*a + d*c
(Α*Α)₂₂=c*b + d*d

Όμως
(Α*Α)₁₁=(Α)₁₁    Από τον ορισμό του ταυτοδύναμου
(Α*Α)₁₂=(Α)₁₂
(Α*Α)₂₁=(Α)₂₁
(Α*Α)₂₂=(Α)₂₂

Άρα
a*a + b*c = a <=> a*(1-a)=b*c
a*b + b*d = b <=> b*(a+d-1)=0   "*"
c*a + d*c = c  <=> c*(a+d-1)=0   "*"
c*b + d*d = d <=> d*(1-d)=c*b

Και τώρα παίρνουμε περιπτώσεις

Α) b<>0 και c<>0
τότε ισχύουν τα "*" ότι a+d-1=0 οπότε a+d=1
το ίδιο βγαίνει και από το 2ο "*"
Επίσης λόγο του περιορισμού για το b και c, η 1η και 4η σχέση αν αντικαταστήσουμε  1-a και 1-d με d και a αντίστοιχα βγαίνει ότι a*d=c*b

B)b=0 ή c=0
τότε από τη 1η σχέση a=0 ή a=1
και από τη 4η d=0 ή d=1

επίσης από τις 4 σχέσεις προκύπτει ότι όταν a=1, το b αποκλείεται να είναι 1 και αντίστροφα

οπότε οι σχέσεις αυτές δικαιολογούν και τους πίνακες που έγραψαν οι συνάδελφοι παρα πάνω

Μου κίνησε την περιέργεια όμως το ότι |Α|=0 ή 1 από τον τύπο Α^2=Α
Η μόνη λογική εξήγηση που έχω (εκτός το να έχω έναν αδύναμο μαθηματικά συλλογισμό) είναι ότι τελικά ένας ταυτοδύναμος πίνακας 2x2 δεν μπορεί να έχει ορίζουσα ίση με 1
Άλλωστε το |Α|=0 ή 1 δεν μας λέει σίγουρα ότι το |Α|=1, μπορεί να μην ισχύει καθόλου

επίσης από τις 4 σχέσεις προκύπτει ότι όταν a=1, το b αποκλείεται να είναι 1 και αντίστροφα

huh?   πως τον εβγαλες αυτον τον περιορισμο?

Posted by Agent Cain October 15, 2007, 16:44:39 PM

Για το 1)

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του γινομένου για τον πίνακα Α με μεταβλητές τις θ και φ έχουμε
(Α(θ)*Α(φ))11=cosθ*cosφ-sinθ*sinφ=cos(θ+φ)
(Α(θ)*Α(φ))12=-sinφ*cosΘ-sinθ*cosφ=-(sinφ*cosΘ+sinθ*cosφ)=-sin(φ+θ)
(Α(θ)*Α(φ))21=sinφ*cosΘ+sinθ*cosφ=sin(φ+θ)
(Α(θ)*Α(φ))22=cosθ*cosφ-sinθ*sinφ=cos(θ+φ)

*οι παραπάνω δυο ταυτότητες θεωρούνται γνωστές από την Ευκλείδεια γεωμετρία

Αποδείχτηκε ότι Α(θ)*Α(φ)=Α(φ+θ)

Για το 2)
Ο πίνακας Α(θ)-1 είναι ο ανάστροφος του Α(θ) δηλαδή ο
[ cosθ sinθ ]
[-sinθ  cosθ]

που προκύπτει από τον ορισμό του αντίστροφου πίνακα Α*Α-1=ε (όπου ε ο μοναδιαίος πίνακας)

AgentCain October 15, 2007, 17:09:31 PM

για το 3ο πρόβλημα

σύμφωνα με το κολπάκι που μας διδάξατε και αφού το γινόμενο είναι το a1kan2a4ma25a53
ή ισοδύναμα το a1ka25an2a4ma53

Πρέπει ο πίνακας να είναι 5Χ5, αφού τόσοι είναι και οι όροι του γινομένου
Πρέπει ο 1ος δείκτης κάθε όρου να αυξάνει κατά 1 μέχρι το 5, δηλαδή η σειρά 1,2,3,4,5. Οπότε n=3
Αφού το γινόμενο είναι θετικό, αυτό σημαίνει ότι στη σειρά των 2ων δεικτών του κάθε όρου έγιναν ζυγές μεταθέσεις ζευγών.

Άρα έχουμε τη δοθείσα σειρά των 2ων δεικτών κ , 5 , 2 , m , 3  (1)  και ξέρουμε ότι τα m,k θα πάρουν μία από τις τιμές 1 και 4 (αφού αυτές λείπουν για να συμπληρωθεί η σειρά)

1 , 2 , 3 , 4 , 5
1 , 2 , 4 , 3 , 5
1 , 2 , 4 , 5 , 3
1 , 2 , 5 , 4 , 3
1 , 5 , 2 , 4 , 3

Στη τελευταία σειρά φτάνουμε με ζυγό(4) αριθμό μεταθέσεων άρα η σειρά αυτή είναι και η επιθυμητή μιας και περιέχει τους αριθμούς 5 , 2 , 3 στη σωστή σειρά όπως και η αρχική (1) και τους  1 , 4 στη θέση των k , m
άρα κ=1 m=4

οπότε κ=1 m=4 και n=3

a11a25a32a44a53

1 , 2 , 3 , 4 , 5
1 , 2 , 4 , 3 , 5
1 , 2 , 4 , 5 , 3
1 , 2 , 5 , 4 , 3
1 , 5 , 2 , 4 , 3

1 , 2 , 3 , 4 , 5
1 , 5 , 3 , 4 , 2
1 , 5 , 2 , 4 , 3

1)   Από την θεωρία γνωρίζουμαι οτι  Α^-1= (1/D(A))*adj(A) όμως D(A)=1 οπότε έχω Α^-1=adj(A)
Όμως ο AεΖ και ο adj(A) περιέχει τα στοιχεία του Α αντεστραμένα ως προς την διαγώνιο οπότε και ο adj(A)εΖ, κια επειδη Α^-1=adj(A) τοτε και Α-1εΖ

2)   Εχω παλι Α^-1= (1/D(A))*adj(A) και γνωρίζω πως Α^-1εΖ και adj(A)εΖ, οπότε πρέπει και ο 1/D(A)εΖ δλδ D(A) ανήκει στην ακολουθεία a_n=1/n η στην b_n=-1/n, δλδ με άλλα λογια D(A)=1/k οπου kεΖ

3)   Βρήκα οτι ισχύει οταν τα στοιχεία του πινακα είναι ολα μηδέν με εξαίρεση μια απο απο τις 2 διαγώνιες του που θα αποτελέιται απο μονάδες. 

Για έναν 2χ2 [x y;z w] έχω Α-1=adj(A) και αν πάρω την ιδιότητα του αντιστοφου A*A-1=I τοτε έχω:
Α*Α-1=[X^2+Y^2, XZ+YW;XZ+YW, Z^2+ W^2]=I=[1, 0;0, 1]
Οπότε X^2+Y^2=Z^2+W^2=1  και ΧΖ+YW=0
Για να ισχύει αυτό (επειδη x,z,y,wεΖ) οπότε η x=w=1 και y=z=0 h x=w=0 και y=z=1

Για έναν 3χ3 ισχύουν τα ιδια πράματα και καταληγουμε στι ιδιο αποτέλεσμα δεν μπενω στον κόπω να σας μεταφέρω την απόδειξη για να μην σας κουράσω (κι αλλο)
Υ.Γ. συγνώμη για τον πολύπλοκο τρόπο σκεψης μου, αλλά ποτέ δεν μπορούσα να οργανώσω την σκέψη μου στον γραπτό λόγο (γι’αυτο ειμαι και δυσλεκτικός),
Ευχαριστώ για τον χρόνο σας

έχουμε το διάνυσμα χ να στρέφετε γύρω από τον άξωνα Ζ κατα θ. Άρα η συντεταγμένη του Χz δαν αλλάζει, αλλά αλλάζουν οι άλλες δύο: Χx,Χy.Αν πάρουμε την προβολή του χ στο επίπεδο xy τότε αυτό θα σχηματίζει μια γωνία α με τον άξωνα x ενώ το μέτρο της προβολής του διανύσματος χ έστω ότι είναι R. Τότε έχουμε: Χx=R*cosα , Χy=R*sinα.

Οι συντεταγμένες του y θα είναι Yx,Yy,Yz. Θα ισχύει:

Yx=R*cos(α+θ)=R*(cosα*cosθ-sinα*sinθ)
Yy=R*sin(α+θ)=R*(sinα*cosθ+cosα*sinθ) και
Yz=Xz όπως εξήγησα προηγουμένως.

Ο πίνακας Α(θ) θα είναι 3x3 έτσι ώστε όταν πολλαπλασιαστεί με τον πίνακα(διάνυσμα) χ που ειναι 3x1 να δώσει 3x1,δηλαδη το y. Έχουμε:

           [Χx]    [Yx]
A(θ) *  [Xy] = [Yy]  =>
           [Xz]     [Yz]

[cosθ  -sinθ  0]   [R*cosα]    [ R*(cosα*cosθ-sinα*sinθ)]
[sinθ   cosθ  0] * [R*sinα ] = [R*(sinα*cosθ+cosα*sinθ)]
[ 0       0     1]   [    Xz   ]    [             Xz                  ]

οπως προέκυψε μετα απο πράξεις ο Α(θ) ειναι:

[cosθ  -sinθ  0]
[sinθ   cosθ  0]
[ 0       0     1].

Ομοιως για στο δεύτερο ερωτημα το διάνυσμα χ να στρέφετε γύρω από τον άξωνα Υ κατα φ.
...
με παρόμοια διαδικασία με το πρώτο ερώτημα βρίσκουμε ότι ο Β(φ) είναι 3x3 και ειναι ο:

          [-sinφ   0   cosφ]
Β(φ) = [  0      1      0  ]
          [cosφ    0   sinφ]

Για το 3ο ερώτημα αν κανουμε τους πολλαπλασιασμους βρίσκουμε ότι δεν ισχύει η ισότητα γιατι:
                  [-Cos[θ] Sin[ϕ]  -Sin[θ]   Cos[θ] Cos[ϕ] ]
Α(θ)*Β(φ)= [-Sin[θ] Sin[ϕ]   Cos[θ]   Cos[ϕ] Sin[θ]  ]
                  [    Cos[ϕ]             0           Sin[ϕ]      ]

ενώ
                  [-Cos[θ] Sin[ϕ]    Sin[θ] Sin[ϕ]     Cos[ϕ]  ]
Β(φ)*Α(θ)= [    Sin[θ]                 Cos[θ]             0     ]
                  [Cos[θ] Cos[ϕ]    -Cos[ϕ] Sin[θ]    Sin[ϕ]  ].

A*B=B*A
(A*B)^-1=(B*A)^-1
B^-1*A^-1=A^-1*B^-1



A*B=B*A
A*B*B^-1=B*A*B^-1
A=B*A*B^-1
B^-1*A=B^-1*B*A*B^-1
B^-1*A=A*B^-1


A*B=B*A
A*B*A^-1=B*A*A^-1
B=A*B*A^-1
A^-1*B=A^-1*A*B*A^-1
A^-1*B=B*A^-1

(1)Σωστή
(2)Λάθος

(1)Έστω x,y ανήκουν VτομήW και k,λ ανήκουν Κ , όπου Κ το σώμα.
   Άρα x,y ανήκουν V και x,y ανήκουν W
   Άρα kx+λy ανήκει V και kx+λy ανήκει W
   Άρα kx+λy ανήκει VτομήW

  Παράδειγμα: για V και W όπως αυτά στο (2) η τομή τους είναι το {(0,0)} που είναι διανυσματικός χώρος.


(2)Aντιπαράδειγμα  Έστω V={(x,x)/xe R} W={(x,-x)/xe R}
αν θεωρήσω το στοιχείο (1,1)ανήκει V και το στοιχείο (1,-1)ανήκει W
το άθροισμά τους (1,1)+(1,-1)=(2,0) δεν ανήκει στην ένωση άρα δεν είναι διανυσματικός χώρος.

1)
   εστω Ρ=V1\/V2\/...

v1(- P => v1(-V1 and v1(-V2 and...

v2(- P =>v2(-V1 and v2(- V2 and...

ομως V1,V2,... δ.χ. αρα για τυχοντα κ,m(-R

ισχυει : kv1(-V1 και kv1(-V2 και ...
            mv2(-V1 και mv2(-V2 και ...
και για τον ιδιο λογο
     kv1 + mv2(-V1 και kv1 + mv2(-V2 and ... =>
=>kv1 + mv2 (- P δηλ. ο Ρ ειναι δ.χ.
2)
i)εστω Αi τα στοιχεια του W
τοτε Χ\*/Υ=Α1/\Α2/\...
λογω (1) το Χ\*/Υ δ.χ. ενω ειναι επισης υποσυνολο του U ως τομη υποσυνολων του
αρα το Χ\*/Υ δ.υ. του U
ii)
 το Χ υποσυνολο του Αi για i=1,2,...
αρα χ(-Χ=> χ(-Αi για ι=1,2,... => x(-A1/\A2/\...=Χ\*/Υ
 λογω της σχεσης χ(-Χ => χ(-Χ\*/Υ
το Χ\*/Υ υπερσυνολο του Χ
ομοια και για το Υ

iii) αρκει να δειξω οτι το Χ\*/Υ ειναι υποσυνολο καθε υποσυνολου του U που περιεχει τα Χ,Υ
εστω λοιπον Β ενα τυχαιο υποσυνολο του U το οποιο περιεχει τα Χ,Υ
δηλ Χ,Υ υποσυνολα του Β.
τοτε ομως Β (- W
ενω Χ\*/Υ=Α1/\Α2/\.../\Β/\...
προφανως λοιπον το Χ\*/Υ υποσυνολο του Β

3) εστω U=R^3, X={[x,y,z]/x=y=z}, Y={[x,y,z]/x=y=-z}
τοτε W θα ειναι το μονομελες συνολο
W ={E} , οπου Ε το επιπεδο που οριζουν οι ευθειες x=y=z και x=y=-z
και το Χ\*/Υ ταυτιζεται με το W δηλ. Χ\*/Υ=Ε
το Χ\*/Υ ειναι δ.χ. ως επιπεδο του R^3 που διερχεται απ την αρχη των αξονων
τα Χ,Υ παριστανουν ευθειες του επιπεδου αρα πραγματι Χ,Υ υποσυνολα του Χ\*/Υ
 ο μοναδικος δ.υ. του R^3 που περιεχει τα Χ,Υ ειναι το ιδιο το R^3
(χωρις να λαμβανουμε υπ οψην το Ε) το οποιο ειναι προφανώς υπερσυνολο του Χ\*/Υ

4) τα στοιχεια του Χ\*/Υ ανηκουν ή (στο Χ) ή (στο Υ) ή (στο Α1/\Α2/\... χωρις να ανηκουν στα Χ,Υ)
αρα το Χ\*/Υ αποτελει γενικευση του Χ\/Υ
 με την εννοια οτι Χ\/Υ υποσυνολο του Χ\*/Υ.

Έστω x,y,z ανήκουν στο R

x(u+v)+y(u-v)+z(u-2v+w)=0
xu+xv+yu-yv+zu-2zv+zw=0
(x+y+z)u+(x-y-2z)v+zw=0

Αφού τα u,v,w είναι γραμμικά ανεξάρτητα ισχύει:
x+y+z=0 => x+y=0 => x=0
x-y-2z=0 => x-y=0 => y=0
z=0

Οπότε το σύστημα είχει μόνο την μηδενική λύση και άρα τα διανύσματα u+v,u-v,u-2v+w είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Αν ο πινακας Μ*Ν γραφεται ως (Μ*1)*(1*Ν) τοτε ειναι υποχρεωτικα 1ου βαθμου καθως απο τον ορισμο του πολσμου πινακων ολες οι γραμμες η οι στηλες (εξαρταται απο τη σειρα με την οποια πολζουμε τα Μ*1 και 1*Ν) ειναι πολλαπλασια της πρωτης.
Αν τωρα ο πινακας ειναι 1ου βαθμου τοτε ειναι πρωφανες οτι ολες οι γραμμες θα ναι ολες μαζι αλλα και ανα δυο γραμμικως εξαρτημενες αρα θα μπορουν ολες να προκυψουν απο μια πολσμενες επι καποιον αριθμο.Οποτε αν βαλουμε σε ενα μονοδιαστατο πινικα πχ Μ*1 μια γραμμη και σε εναν αλλο 1*Ν τα αντισοιχα πολλαπλασια ετσι ωστε να προκυψουν οι αλλες γραμμες πολλαπλασιαζοντας τους
δειξαμε οτι αυτο ισχυει και αντιστροφα.

Για πινακα 2ου βαθμου ακολουθουμε ακριβως την ιδια διαδικασια αλλα πρεπει να πρσεξουμε οτι ολες οι γραμμες προκυπτουν ως γραμμικοι συνδιασμοι των δυο ανεξαρτητων και δεν ειναι απλα πολλαπλασια κατα τα αλλα ο τροπος ειναι ακριβως ο ιδιος και μας οδηγει στην αντιστοιχη ισοδυναμια με την πρωτη για πινακα 2ου βαθμου.

Για το 1ο
Υποθέτουμε ότι οι πίνακες a και b είναι μη μηδενικοί.
Έχουμε
a=[α₁ ]
    [α₂ ]
    [α₃ ]
    [ :  ]
    [α_m]

και b=[ b₁ b₂ b₃ ... b_n ]

το αποτέλεσμα του πολλ/σμού θα είναι το:

Α=a*b=
[α₁b₁  α₁b₂  ... α₁b_n]
[α₂b₁                     ]
[    :                       ]
[α_mb₁      ...    α_mb_n]

Αν επιχειρήσουμε να βρούμε το βαθμό του πίνακα Α, θα ξεκινήσουμε από τον υπολογισμό της μεγαλύτερης υποορίζουσας του (της ΜxN αν M=N ή κάποιας ΝxΝ αν Μ>Ν)
Σύμφωνα με ένα θεώρημα όμως όταν μια ορίζουσα πολλαπλασιάζεται με ένα αριθμό, τότε κάθε γραμμή (ή στήλη ανάλογα) πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό αυτό.

Δουλεύοντας με γραμμές, θα βγάλουμε από την ορίζουσα το αντίστοιχο a άρα θα έχουμε

|Α|=α₁α₂...α_κ | b₁ b₂ ... b_κ |
                    | b₁ b₂ ... b_κ |
                    |  :               |
                    | b₁ b₂ ... b_κ |

όπου κ ένας δείκτης επιλεγμένος κατάλληλα ώστε να ορίζεται ορίζουσα ΚxΚ (Κ=Μ=Ν 1η περίπτωση ή Κ=Ν<Μ 2η περίπτωση)

Βάσει θεωρίας η υποορίζουσα αυτή είναι 0. Άρα ξέρουμε ότι ο βαθμός του πίνακα δεν είναι Κ.
Με το ίδιο σκεπτικό κινούμενοι προς μικρότερες υποορίζουσες φτάνουμε στο ότι ακόμα και η υποορίζουσα 2x2 είναι μηδενική.
Η μόνη μη μηδενική υποορίζουσα που μπορούμε να βρούμε είναι μια υποορίζουσα 1ου βαθμού. Θα υπάρχει σίγουρα 1 μιας και οι πίνακες είναι μη μηδενική.
Η υποορίζουσα αυτή δηλώνει γραμμική ανεξαρτησία, και άρα ο βαθμός του πίνακα Α είναι 1.

Για το 2ο
Γνωρίζουμε ότι ο βαθμός του Α δεν θα είναι 0 (αφού ο πίνακας δεν είναι μηδενικός).
Ο βαθμός του θα είναι το πολύ ίσος με το βαθμό του ενός εκ των πινάκων a και b.
Δηλαδή θα είναι 1 ή 2. (αν οι πίνακες a,b έχουν τουλάχιστον 1 μη μηδενική υποορίζουσα 2ου βαθμού) βάσει το θ. σελ 184.
Αν πάρουμε μια υποορίζουσα 2x2 του Α και την υπολογίσουμε τότε προκείπτει το γινόμενο 2 υποοριζουσών 2x2 των πινάκων a και b.
Aφού όμως οι πίνακες αυτοί έχουν έχουν τουλάχιστον 1 μη μηδενική υποορίζουσα 2ου βαθμού, η αντίστοιχη υποορίζουσα 2ου βαθμού του πίνακα Α θα είναι μη μηδενική.
Άρα ο βαθμός του Α είναι 2.

Σημ νομίζω ότι είτε ο συλλογισμός μου κρεμάει κάπου είτε το πρόβλημα έχει μια παράμετρο που δεν λήφθηκε υπόψην.
Συγκεκριμένα, το βιβλίο αναφέρει ότι ο βαθμός ενός πίνακα που προκείπτει από πολλ/σμό 2 άλλων πινάκων θα είναι το πολύ ίσος με το βαθμό ενός από τους 2 πίνακες.
Άρα πρέπει οπωσδήποτε ο ένας εκ των πινάκων α,b να είναι 2ου βαθμού.
Τι συμβαίνει όμως αν ο ένας είναι 1ου και ο άλλος 2ου?  :-\

ποτε περιπου υπολογιζεται να τα βγαλετε????

Επειδή πλησιάζει η ώρα να βγουν οι βαθμοί Γραμμικής (προς το τέλος της άλλης εβδομάδας):

κάποιος που τα βρήκε αλλιώς..? (οι ασκήσεις βρίσκονται στο από πάνω τοπικ... :P)
 ::) :???: ;D

ο ανάστροφος του Β θα ναι το ίδιο μόνο που εκεί που λέει
Τ_Ρ(2-Τ_Ρ(3)) θα βάλουμε το πλην και εκεί που το ΄χει θα βάλουμε +...
το 1/2 παραμένει μπροστά και τα υπόλοιπα μένουν ως έχουν... σωστά..? :???:

το πρώτο δν καταλαβαίνω τι λέει.... :-[ :-X

H[i,j]=(i+j-1) , i,j (- [1,n].

λιγο ακαιρος αλλα ... :D