THMMY.gr

Στο Λογισμό σε ένα σχετικά πρόσφατο θέμα, ζητήθηκε να βρεθούν τα μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης σε πολικό σύστημα συντεταγμένων.
Αυτό εμείς δεν το έχουμε διδαχθεί στο αμφιθέατρο, ούτε αναφέρει τίποτα σχετικό το βιβλίο. Για αυτό, θέλω να ρωτήσω:
Μέγιστο σε πολικό σημαίνει για ποιά γωνία θ έχουμε την μικρότερη δυνατή ακτίνα r, ή σημαίνει ποιό είναι το μέγιστο ύψος της καμπύλης (όπως στο καρτεσιανό σύστημα);

Κάτι ακόμα: Ο Λογισμός Ι θεωρείται πολύ εύκολο μάθημα; Είναι  απαιτητικός στη βαθμολογία ο κος Ξένος;

μπορείς να βάλεις την εκφώνηση?
νομίζω πάντως ότι αυτό που θα χρειάζεται να κάνεις είναι μια σύνθετη παραγώγιση και μετά να μηδενίσεις την παράγωγο, δηλαδή μετατρόπη από πολικό σε καρτεσιανό σ.σ(κατά καποιο τρόπο).
όσο για τα θέματα του Ξένου, πέρυσι τον ιανουάριο δεν θυμάμαι πώς ήταν αλλά έγραφες με άριστα το 11. το σεπτέμβρη νόμιζω ήταν πιο δύσκολα, και γράφαμε με άριστα το 10.ακόμη στο δικό μοτυ είχε ένα ολοκλήρωμα για όγκο(πολυώνυμο ημιτόνων 8)) που ξέρεις πώς να το λύσεις αλλά όταν είναι 9ου βαθμού τα παρατάς λίγο...πάντως αν και δεν έκανα όλες τις πράξεις(έκανα αντικατάσταση αλλά όχι προσθαφαιρέσεις) μου το πήρε σωστό όλο.
πάντως τα βιβλία του ξένου δεν είναι καλά,έχουν λίγες ασκήσεις και αρκετά λάθη. έγω δεν διαβασά από αλλλού (ναι το πέρασα) άλλα έχω ακούσει ότι ο γκαρούτσος είναι καλός

Wanderer ένας πολύ εύκολος τρόπος είνια να μετασχηματίσεις την συνάρτηση σε καρτεσιανό σύστημα και μετά να βρείς τα μέγιστα και να τα ξαναμετατρέψεις!!!Αν και "λίγο" χρονοβόρο

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.

Το σκέφτηκα αυτό με τη μετατροπή σε καρτεσιανό, αλλά πέρασε από το μυαλό μου η υποψία ότι στο πολικό σύστημα συντεταγμένων τα μέγιστα και ελάχιστα αναφέρονται στην τιμή της ακτίνας r, δηλαδή το ότι η έννοια του μεγίστου και ελαχίστου διαφέρει από αυτή που ισχύει στο καρτεσιανό.

Η εκφώνηση έλεγε (1ο θέμα, χρονιά 1999, μονάδες 2):
"Να βρεθούν τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης r=ημ3θ, η οποία αναφέρεται σε πολικό σύστημα συντεταγμένων".

Ετσι οπως το λεει ειναι σαν να μην εχει σχεση και απλα ζηταει το μεγιστο κ ελαχιστο μιας συναρτησης της μορφης y=f(x) !

Εχω την εντύπωση πως αναφέρεται στο σε ποια γωνία θ εντοπίζεται η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση από το 0 του πολικού συστήματος συντεταγμένων.Αρα παραγωγίζεις τη συνάρτηση ως έχει ως προς θ και βρίσκεις μέγιστα και ελάχιστα της |r|.

ΝΑΙ

Ευχαριστώ παιδιά! :)

Αυτο ακριβως! Αρα δεν μπλεκεις με πολικες! Απλα μια συναρτηση ειναι κ αυτο!

Έχεις δίκιο, απλά έχει άλλη γεωμετρική σημασία στο πολικό σύστημα.

Εεεεεε?

Τί ε;

O aliakmwn_banned κάπου είπε τα εξής:

Είπα ότι έχει άλλη γεωμετρική σημασία το μέγιστο και το ελάχιστο στο πολικό σύστημα, επειδή εκεί έχει να κάνει με την απόσταση από τη αρχή των αξόνων ενώ στο καρτεσιανό με την απόσταση από τον άξονα Χ'Χ. Επομένως αυτά που λες δεν έχουν νόημα.

Δεν αναφέρει για μέγιστα και ελάχιστα σε πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Η ειρωνεία σου δεν έχει κανένα λόγο να υφίσταται εδώ. Ακόμα και αν κάπου κάνω λάθος, δεν δικαιολογείται. Εσύ τα "έπιανες" όλα και δεν έκανες ποτέ λανθασμένες σκέψεις;;;

Μηπως λοιπον θα 'πρεπε να απαντησεις στο "καπου" και οχι εδω?


Ειναι (δυστυχως) απολυτα φυσιολογικο να μην καταλαβαινεις τι σχεση εχουν μεταξυ τους οι δυο αυτες περιπτωσεις, οπως και η πλειοψηφια των συναδελφων σου, οπως και οι περισσοτεροι απο μας στην ηλικια σου. Δεν φταιμε εμεις, το εκπαιδευτικο συστημα φταιει, που μας ξερναει στο Πανεπιστημιο χωρις να κατεχουμε τα στοιχειωδη. Σε μεγαλυτερο ετος, εχοντας αποκτησει μεγαλυτερη εμπειρια στη χρηση αυτων των εννοιων, θα αποσαφηνισεις πολλα.

Το οτι δεν καταλαβαινεις τι σχεση εχουν μεταξυ τους, δεν σημαινει πως δεν εχουν κιολας. Η σιγουρια σου ομως <<Επομένως αυτά που λες δεν έχουν νόημα>> εμενα μου λεει πολλα, και σχετιζεται με το περιεχομενο του "καπου αλλου"...


Αναφερει τι ονομαζουμε συναρτηση.
Αναφερει τι ονομαζουμε ελαχιστο και μεγιστο.
Παρε ενα παραδειγμα στο καρτεσιανο, γενικευσε το με οδηγο τη θεωρια, και μετα εξειδικευσου προς τα κατω στο πολικο.

Ερωτηση: Εστω η πολικη συναρτηση r=f(θ).
Μπορουμε να παρουμε καρτεσιανο συστημα συντεταγμενων, στον οριζοντιο αξονα να βαλουμε το θ και στον κατακορυφο το r?


Καμια ειρωνεια, σε διαβεβαιω ;D
Σε παροτρυνα να διαβασεις και να κατανοησεις πρωτα τα βασικα, πριν ξεκινησεις να ασχολεισαι με εννοιες που απαιτουν ενα βαθος γνωσης αρκετα μεγαλο.

Ειναι ωστοσο χυδαιο (αλλα δειχνει πολλα) το οτι επελεξες να απαντησεις εδω, και οχι στο topic που γραφτηκε η "ειρωνεια".

Επομένως. Δηλαδή με βάση τον προηγούμενο συλλογισμό μου. Αν ο συλλογισμός αυτός είναι λανθασμένος, εννοείται ότι αυτά που λες έχουν νόημα. Τουλάχιστον αυτό εννοούσα, αν και μάλλον δεν το διατύπωσα καλά.

Τώρα για το πρόβλημα αυτό καθ'αυτό:
Έναν κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων, αν τον εξετάζαμε ως προς το πολικό σύστημα, δεν θα είχε μέγιστο και ελάχιστο, έτσι δεν είναι; Αν όμως τον εξετάζαμε στο καρτεσιανό, τότε προφανώς το μέγιστο είναι το πάνω σημείο τομής με τον Υ'Υ. Άρα...;

? Μπορούμε, αλλά η καμπύλη που θα προκύψει δεν θα είναι η ίδια!

Δεν μπορώ να καταλάβω πώς κατέληξες σε αυτό το συμπέρασμα. Εγώ απάντησα εδώ, διότι εκεί ταιριάζει το εν λόγω θέμα! Διότι δεν είχα πρόθεση να απαντήσω στην ειρωνεία σου, αλλά να καταλάβω το σκεπτικό σου για τα μέγιστα και τα ελάχιστα. Και δεν ήθελα να συνεχισθεί άλλη μία οφφ-τόπικ κουβέντα στο θέμα με το απόλυτο κενό, η οποία έχει μεγάλο ενδιαφέρον και είναι κρίμα να "εξαφανιστεί" κάτω από τα τόσα πολλά οφφ-τόπικ μηνύματα.

χμ, ο κύκλος στο καρτεσιανό επίπεδο και ο κύκλος στο πολικό σύστημα
δεν είναι ισοδύναμοι.
Για μετέτρεψε τον κύκλο του πολικού σε καρτεσιανό και δες τι σχήμα παίρνεις ;)

Έστω ότι r=1 (πολικό)

Τότε χ=συνθ και y=ημθ

άρα χ^2+y^2=1. (καρτεσιανό)

Άρα ο ίδιος κύκλος δεν είναι; :???:

Αφού η καμπύλη έτσι και αλλιώς δεν αλλάζει αν αλλάζουμε σύστημα συντεταγμένων!

Εεεε :o

Τι διαφορά έχει το r=1 από το x²+y²=1??? 8)

Χωρίς να έχει ρόλο η οπτική σημασία, τα μέγιστα της συνάρτησης r=f(θ) είναι τα {θ/f'(θ)=0 & f''(θ)<0} ΠΑΝΤΑ.

Δυστυχώς για την περιπετειώδη φαντασία μας - και ευτυχώς για τη λογική μας- η έννοια του ελαχίστου δε διαφέρει σε κανένα σύστημα συντεταγμένων.

Όταν βρίσκεις τα ακρότατα της συνάρτησης y=g(x) τότε βρίσκεις για ποιες τιμές του x το y είναι ακρότερο από τα γειτονικά του σημεία για όλα τα γειτονικά του x.

Επομένως προφανώς βρίσκεις τις ακραίες τιμές της ακτίνας. Τώρα γιατί περιορίζεσαι στις καρτεσιανές και 0εωρείς ακρότατο μόνο όταν βλέπεις καμπύλη σε peak , δλδ όπως το καρτεσιανό δεν ξέρω.

Ακριβως, και το οτι εισαι τοσο σιγουρος για τους συλλογισμους σου, ωστε να αποκαλεσεις ανοησιες αυτα που λεει εκεινος που σου απανταει, κατι δειχνει.


Αρα.. να ξαναδιαβασεις τι ειναι συναρτηση, και να καταλαβεις πως η γραφικη της παρασταση ειναι μονο ενας τροπος (ή μαλλον.. πολλοι τροποι :D) να την απεικονισεις.


Ακριβως.
β' σκελος ερωτησης: Τα ακροτατα θα αλλαξουν?

α οκ, είχα άλλο πράγμα στο μυαλό μου, μετασχηματισμό.

Δεν είπα ότι είμαι σίγουρος.

Το έχω καταλάβει εδώ και καιρό αυτό.

Νομίζω ότι στην ουσία δεν θα αλλάξουν.
................................................. ..

Το ξέρω. Οκ, έκανα λάθος που τα συνέδεα χωρίς λόγο με τα συστήματα αναφοράς.

Τι μετασχηματισμός αλλάζει την καμπύλη?

Άπειροι.

ένας εξ'αυτών είναι ο σύμμορφος (conformal mapping)
που χρησιμοποιήθηκε ευρύτατα την προηγούμενη 10ετία
για την απλοποίηση πολλών προβλημάτων.
Ένα από αυτά είναι και ο διάσημος μετασχηματισμός της πτέρυγας του αεροπλάνου σε κύκλο.
(αν θυμάμαι καλα w=z+1/z)

[aliakmwn_banned]Δεν φταιμε εμεις, το εκπαιδευτικο συστημα φταιει, που μας ξερναει στο Πανεπιστημιο χωρις να κατεχουμε τα στοιχειωδη.[/quote]
Το εκπαιδευτικό σύστημα μπορεί να έχει αδυναμίες, όμως σε καμιά περίπτωση δεν "μας ξερνάει στο Πανεπιστήμιο χωρίς να κατέχουμε τα στοιχειώδη". Μια χαρά γνώσεις μας έδωσε. Ίσως όχι με το σωστό τρόπο, πάντως όποιος ήθελε μπορούσε άνετα να μάθει, τουλάχιστον τα στοιχειώδη.

Και ο ο εγκέφαλος μερικές φορές "κρασάρει" και πετάει κοτσάνες, και ενώ ο "ιδιοκτήτης" του έχει τις απαραίτητες γνώσεις, κάνει λάθη στα προφανή διότι...έτσι τυγχάνει, έτσι το φέρνει η στιγμή. Πόσες φορές έχει ένας καλός μαθητής μπερδευτεί και απαλείψει μία μεταβλητή χωρίς να ελέγξει αν είναι μηδέν; Αρκετές. Πόσες φορές κάποιος πάνω στην "κρίση" της στιγμής έχει κάνει λάθος σε χρήση θεωρημάτων και αρχικά δεν το αντιλαμβάνεται; Σίγουρα κάποιες φορές θα του έχει συμβεί. Δεν φταίει το σχολείο σε αυτό.

Ναι, το βλεπω και στα μηνυματα σου ;D


 ^jerk^ ^jerk^ ^jerk^

Το σχολείο μου έχει διδάξει πολλά πράγματα. Και είπαμε, άστοχες σκέψεις (ακόμα και αν είναι προφανές το σωστό) μπορούν να συμβούν ανα πάσα στιγμή.