THMMY.gr

Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση f(x,y,z)
και παίρνουμε το ολοκλήρωμά της ως προς χ και y
δηλαδή
 ||f(x,y,z)dxdy=F(x,y,z)
και ζητάμε το μέγιστο (ή ελάχιστο) αυτού του ολοκληρώματος.
Ως γνωστόν το ελάχιστο θα βρίσκεται στο ακρότατο το οποίο με τη σειρά του ορίζεται
ως το σημείο όπου η κλίση της συνάρτησης είναι μηδέν
και συγκεκριμένα εκεί όπου F_x=F_y=0.

Για να βρω επομένως το ακρότατο του ολοκληρώματος,
πρέπει οπωσδήποτε να το υπολογίσω πρώτα ή μπορώ να
το διαφορίσω όπως είναι;

ΟΠοιαδήποτε βοήθεια ή ιδέα θα έιναι πολύ χρήσιμη

νομιζω το πιο ασφαλες ειναι να υπολογισεις το ολοκληρωμα και μετα να παρεις το αποτελεσμα ως συναρτηση και να υπολογισεις το μεγιστο ( ή ελαχιστο) της κατα τα γνωστα. ελπιζω να βοηθησα

Αυτό είναι το σόφρων, όμως αν είναι δύσκολο ολοκλήρωμα ή αν είναι ορισμένο ή αν δεν υπάρχουν οι κατάλληλες οριακές συνθήκες , μπερδεύει το πράγμα... :-\ :-\
Και κατευθείαν να διαφοριστεί η συνάρτηση ακούγεται πρακτικότερο..

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
θα δώσω μερικές λεπτομέρειες που αμέλησα στο πρώτο ποστ.
Το ολοκλήρωμα είναι ορισμένο και για τα δύο διαφορικά
αλλά η συνάρτηση είναι αδύνατον να ολοκληρωθεί.
Περιέχει ριζικά και εφαπτομένες μεσα σε αυτά.
Αυτό που θέλω να υπολογίσω τελικά είναι η ελάχιστη τιμή του ολοκληρώματος
σε σχέση με τα όρια ολοκλήρωσης. Με άλλα λόγια ποια όρια
ολοκλήρωσης είναι αυτά που δίνουν την ελάχιστη τιμή του ολοκληρώματος.
Μέχρι τώρα υπολογίζω το ολοκλήρωμα αριθμητικά αλλά αργεί πολύ,
μπορεί να κάνει και μία ώρα για μεγάλο εύρος ορίων ολοκλήρωσης.

Επομένως αυτό που ψάχνω είναι εάν υπάρχει κάποιο θεώρημα ή μέθοδος
που να δίνει το ακρότατο ενός ολοκληρώματος χωρίς αυτό να πρέπει να υπολογιστεί.

Επίσης ήθελα να ρωτήσω εάν ισχύει και το εξής:

Χωρίς να γνωρίζω λεπτομέρειες, ολοκληρώματα που δεν μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια παραγουσών υπολογίζονται με Αριθμητική Ανάλυση.

Για τον τύπο που έδωσες, σκέφτηκα κάτι, που όμως κάνω την πάραδοχή ότι η συνάρτηση f μπορεί να γραφεί στη μορφή: f(x,y,z)=g(x)+h(y)+t(z). Ελπίζω να σε εξυπηρετεί.

Το μέσα ολοκλήρωμα (ως προς χ) γίνεται: ολοκλήρωμα_g(x)+h(y)*x+t(z)*x
To έξω τελικά προκύπτει: ολοκλήρωμα_g(x)*y+ολοκλήρωμα_h(y)*χ+t(z)*x*y
Η μερική παραγώγιση θα δώσει: g(x)*y+ολοκλήρωμα_h(y)+t(z)*y (1)

Η σχέση (1) προφανώς είναι το ολοκλήρωμα του αθροίσματος των g(x),h(y) και t(z) ως προς y, άρα αφού f(x,y,z)=g(x)+h(y)+t(z), τότε καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος.

Δεν πολυκατάλαβα τη μέθοδό σου αλλά έτσι κι αλλιώς
η δική μου συνάρτηση δεν μπορεί να γραφεί σε άθροισμα.
Και εγώ τώρα το λύνω αριθμητικά αλλά θα βόλευε
τουλάχιστον εάν υπήρχε καποιο θεώρημα που να
έδινε τουλάχιστον ένα όριο τιμών μέσα στο οποίο είναι το μέγιστο

Δύο γρήγορες παρατηρήσεις:

1) Αυτό που γράφεις από κατω ισχύει (αν είναι ολοκληρώσιμη η συνάρτηση και ορισμένα τα ολοκληρώματα)

2) Σε μια συνάρτηση 3 μεταβλητών (γενικά >=2) θέλει μια προσοχή με τα ακρότατα. Γενικά δεν ισχύει η μηδενική κλήση. Αυτό που θέλεις είναι μηδενικές όλες τις μερικές παραγώγους και θετικά (ή αρνητικά ανάλογα για min ή max) ημιορισμένη την Hessian της.

1) εννοείς ισχύει κάποιο θεώρημα; εάν ναι ποιο;

2)Εννοώ ότι ισχύει ο τύπος που γράφεις απο κάτω. Κι αυτό γιατί:

| | f(x,y,z) dy dx = | (|f(x,y,z) dy) dx = | G(x) dx

και προφανώς ισύει (δ/δχ){|G(x)dx} = G(x)  αν υπάρχουν τα ολοκληρώματα και άν είναι ορισμένα.

ναι εντάξει αυτό είναι προφανές εκεί που έχω πρόβλημα είναι σε αυτό