|
Title: Μαθηματική προσέγγιση - The Twelve Days of Christmas Post by: Wade on December 16, 2006, 20:55:58 pm Αφού πλησιάζουν οι γιορτές, για να βάλω εμάς τους φοιτητές του ΤΗΜΜΥ στο κλίμα των γιορτών, σας παραθέτω ένα κείμενο που έγραψα προσφάτως. Ελπίζω να το ευχαριστηθείτε!
The Twelve Days of Christmas Σʼ αυτή τη μικρή μελέτη, θα πραγματοποιηθεί μια μαθηματική προσέγγιση του Χριστουγεννιάτικου τραγουδιού The Twelve Days of Christmas (http://www.carols.org.uk/the_twelve_days_of_christmas.htm για να ακούσετε το τραγούδι και να διαβάσετε τους στίχους, για όποιους δεν το ξέρουν). Το μοτίβο που χρησιμοποιείται καθʼ όλη τη διάρκεια του τραγουδιού είναι το εξής: On the n day of Christmas, my true love sent to me n <gift n>, n-1 <gift n-1>, n-2 <gift n-2>, … and 1 <gift 1>. (nEN, 1<=n<=12) Αν αριθμήσουμε όλα τα gift με έναν αριθμό από το 1 μέχρι το 12 (το 1 δίνεται για πρώτη φορά την πρώτη μέρα, το 2 τη δεύτερη μέρα κ.ο.κ.), θα προσπαθήσουμε να ανακαλύψουμε ποιο δώρο έλαβε ο παραλήπτης τις περισσότερες φορές. Αν πάρουμε τη συνάρτηση Α(k), η οποία δέχεται τον κωδικό αριθμό κάποιου δώρου ως είσοδο και επιστρέφει την ποσότητα αυτού το δώρου που ο παραλήπτης δέχτηκε συνολικά. Ο παραλήπτης δέχεται το δώρο k για πρώτη φορά την k ημέρα, και από εκείνη τη μέρα το λαμβάνει κάθε μέρα k φορές. Αφού το δέχεται για πρώτη φορά την k ημέρα, θα το δέχεται για 13-k ημέρες, k φορές κάθε μέρα. Επομένως Α(k)=k(13-k). Θα βρούμε το μέγιστο αυτής της συνάρτησης: A(k)=k(13-k)=-k^2+13k Aʼ(k)=-2k+13 Aʼ(k)=0 <=> k=13/2 <=> k=6,5 Αφού Αʼ(k)<0 για kΕ[1, 6,5] και Αʼ(k)>0 για k0, 5] και Α(7)>Α(j), jΣk(k+1)/2, k=1:12 Προκύπτει ότι Δ=364, άρα ο παραλήπτης έλαβε συνολικά 364 δώρα! Λοιπόν, καλά Χριστούγεννα, και σας εύχομαι να λάβετε κι εσείς τόσα δώρα όσα έλαβε και ο παραλήπτης στο τραγούδι The Twelve Days of Christmas! Title: Re: Μαθηματική προσέγγιση - The Twelve Days of Christmas Post by: Wanderer on December 20, 2006, 00:27:29 am Wade, ο μαθηματικός συλλογισμός σου είναι αξιέπαινος ;) Μια καλή ιδέα θα ήταν να υπολογίσεις και το συνολικό κόστος των δώρων, αν και τότε το τραγούδι θα γίνει...τραγωδία (ούτε αν υποθηκεύσει το σπίτι της δεν βγάζει τα έξοδά της η προαναφερθείσα "αληθινή αγάπη")!
Επίτρεψέ μου να προσθέσω και εγώ μια πρακτική προσέγγιση: 1η μέρα: 1 2η μέρα: 1+2 3η μέρα: 1+2+3 4η μέρα: 1+2+3+4 5η μέρα: 1+2+3+4+5 6η μέρα: 1+2+3+4+5+6 Δηλαδή, τελικά θα έχουμε: Δώρα=12*1+11*2+10*3+9*4....+3*10+2*11+1*12 Δηλαδή: Δώρα= 2*[ (12*1+11*2+10*3+9*4+8*4+7*5)] +6*6. Δεν είπα καμιά φιλοσοφία, αλλά τουλάχιστον οι πράξεις βγαίνουν εύκολα... :???: |