THMMY.gr

1) Πώς γίνεται να υψώσουμε αριθμό σε πίνακα; Δηλαδή αν υψώσω το κ στον [[α β][γ δ]] τι αποτέλεσμα θα πάρω;

2) Στα διαγράμματα Bode φάσης πώς από τον τύπο που περιέχει τόξο εφαπτομένης καταλήγω στον προσεγγιστικό τύπο που περιέχει... λογάριθμο(!!!);

σχετικα με το πρωτο ερωτημα,μηπως εννοει να βρεις την οριζουσα του πινακα που ειναι ενας αριθμος,γιατι αλλιως πως?

Σελ. 81-83

 :???: μη μου λες βιβλιο!δεν ειμαι απ τη σχολη σας!δεν ξερω για το πρωτο αν σε κατατοπησα

Α, σόρι.

Όχι, πίνακας είναι... και μου έκανε εντύπωση!

ναι καταλαβα.αλλα δε νομιζω ετσι να γινεται,δεν ξερω




για το δευτερο λεει arctan η tan στην -1?

για το πρωτο προφανως γινεται...αν εχεις ενα πινακα π.χ υψωμενο στο τετραγωνο ειναι πολλαπλασιασμςο με τον εαυτο του...

Μάλλον λέει για αριθμό υψωμένο σε πίνακα εκθέτη. Και αυτό όμως γίνεται, αν βέβαια ο πίνακας είναι τετραγωνικός. Το παρακάτω το μάθαμε στη γραμμική άλγεβρα και ισχύει για οποιαδήποτε συνάρτηση πίνακα, αν είναι συνάρτηση που αναπτύσσεται σε σειρά Taylor.

Έχουμε 2^Α, όπου Α πίνακας.
Θεωρούμε τη συνάρτηση 2^λ. Την αναλύουμε σε σειρά Taylor. Διαιρούμε το πολυώνυμο Taylor με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Χ(λ) και έτσι έχουμε 2^λ = X(λ)*π(λ) + υ(λ) όπου το υ(λ) είναι βαθμού το πολύ ν-1, όπου ν η διάσταση του τετραγωνικού πίνακα Α.
Στη θέση του λ βάζουμε Α και παίρνουμε 2^Α = X(Α)*π(Α) + υ(Α). Αλλά ο Α είναι λύση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του (ένα θεώρημα με μάλλον δύσκολη απόδειξη), άρα Χ(Α)=0 και 2^Α=υ(Α) ή 2^Α = α0 + α1 * Α + α2 * Α^2 +... α(ν-1) * Α^(ν-1), όπου α0 έως α(ν-1) είναι άγνωστοι συντελεστές.
Αλλά τα ίδια θα ισχύουν και για τις ιδιοτιμές του Α (λύσεις του χαρακτηριστικού πολυωνύμου), άρα:

2^λ1 = α0 + α1 * λ1 + α2 * λ1^2 +... α(ν-1) * λ1^(ν-1)
2^λ2 = α0 + α1 * λ2 + α2 * λ2^2 +... α(ν-1) * λ2^(ν-1)
...
2^λν = α0 + α1 * λν + α2 * λν^2 +... α(ν-1) * λν^(ν-1)

Από τις ν αυτές εξισώσεις, όπου λ1, λ2, ..., λν γνωστά, προσδιορίζονται οι συντελεστές α0 έως α(ν-1). Και έτσι βρίσκεται ακριβώς το υ(Α) = 2^Α.

Τελικά αυτό που χρειάζεται να κάνεις είναι να βρεις τις ιδιοτιμές, να λύσεις το παραπάνω σύστημα των ν εξισώσεων για να βρεις τους συντελεστές α(ν) και να υπολογίσεις τις ν-1 πρώτες δυνάμεις του πίνακα Α. Το Taylor μόνο στη θεωρία ;).

Mπορεί να υπολογιστεί από την σχέση α^(Α)=e^(lna*A).

Τέτοιες ιδιότητες ισχύουν γιατί οι πίνακες είναι αλγεβρικά πανομοιότυποι με τους πραγματικούς αριθμούς, με εξαίρεση την μεταθετικότητα του πολλαπλασιασμου που δεν επηρεάζει εδώ(για τετραγωνικούς πίνακες)

@Junior: Ευχαριστώ! Εγώ γιατί δεν το θυμόμουν αυτό από τη Γραμμική Άλγεβρα; ^seestars^ αν και με μια πρώτη ανάγνωση δεν το κατάλαβα... θα το ξαναδώ αύριο που θα είμαι ξεκούραστη :)

αυτα παντως τα κανει νομιζω και  ο σταμουλης  στα σαε 2.....για οσους παλιους εχουν  το  βιβλιο ας ριξουν μια ματια στο παραρτημα του (το οποιο εχει επιμεληθει ο Κεχαγιας)

Το κάναμεε, το κάναμεεεε... Και μάλιστα μπαίνει και στις εξετάσεις.

Και μην ανησυχείς αν δεν το κατάλαβες με την πρώτη, στο πρώτο έτος χρειάζεται ολόκληρος Κεχαγιάς να το εξηγήσει + να το διαβάσεις και πάλι θεωρείται δύσκολο!
Από το βιβλίο της γραμμικής αν θέλεις είναι κάπου στα χαρακτηριστικά πολυώνυμα, 5ο κεφάλαιο νομίζω.

Σελίδα 41 πάνω πάνω στο παράδειγμα 2.1.4.3.

Πως προκύπτει το αποτέλεσμα του αντίστροφου ΜΤ Λαπλας? Ο δευτερος όρος κυρίως στην δευτερη γραμμή.