THMMY.gr

Για να σωσω τον κοσμακι -και να μην νευριασει οπως εγω -  ::)

στην πρωτη σπιτεργασια του κεχαγια:

• Οταν σας λεει να βρειτε το ορισμα , θα μετατρεπεται το αποτελεσμα του wolfram σε rad .
• Στο αθροισμα θα πειτε οτι csc(x)=1/sin(x) , δεν δεχεται το csc(x) σαν απαντηση

Αντε και καλη υπομονη σας ευχομαι !

να ρωτήσω λίγο, όταν ψάχνω να βρω το Αrg(iz) ενώ μου δίνει μια εξίσωση ποια μεθοδολογία ακολουθώ; βλέπω ότι συνήθως υπολογίζουμε το arg ενώς στάνταρ αριθμού z₀=τιμή+iτιμη

Αν θες δώσε ένα παράδειγμα για να σε βοηθήσουμε καλύτερα. Λογικά πάντως θα πρέπει να λύσεις την εξίσωση και αφού βρεις τον z να υπολογισεις και τι όρισμα του.

είναι η σπιτεργασία 2 ασκ1.. απλώς ρώτησα να δω αν γνωρίζει κανείς κάποιο trick ή tip
αυτό που λες μου φαίνεται μονόδρομος.. ευχαριστώ!

Παιδια στις σημειωσεις του Ατρεα, αυτες που ειναι στο site του, κεφαλαιο 5, ασκηση 5, λεει δεν μπορει να αναπτυχθει σε laurent σε σημεια που δεν ειναι αναλυτικη... Μα αυτό δεν ειναι το ολο point των laurent? Οι Taylor απαιτει παντου αναλυτικη, η Laurent ειναι η περιπτωση που εχουμε μη-αναλυτικη σε καποια σημεια. Επισης στην λυση του ερωτηματος (β) δεν καταλαβαινω τι κανει στην δευτερη ανισωση που λεει <1/riza(2)

Αμα διαβασεις πιο προσεκτικα τις σημειωσεις ,η Laurent δεν ειναι η περιπτωση που εχουμε μη-αναλυτικη σε καποια σημεια,αλλα σε ενα σημειο..στο κεντρο..ενω στην Taylor θελεις και στο κεντρο να ειναι αναλυτικη..Επισης ,στην ασκηση που λες, για να ισχυει η γνωστη σειρα του 1/(1-z) θελουμε το μετρο z να ειναι μικροτερο του 1, αρα παιρνει την 1η ανισωση( μετρο (z-i) < 1 ) και η δευτερη προκυπτει μεσω της 1ης παλι,κανει αντικατασταση στο μετρο z-i στον αριθμητη και στον παρανομαστη το μετρο(1+i) κανει sqrt(2) ..Δεν ξερω αμα βοηθησα :P

Εγω παλι εχω μια αλλη απορια στο κωλοκεφαλαιο 5 :P .. στις λυμενες ασκησεις στην 6 που κανει ταξινομηση των ανωμαλων σημειων, πως τα υπολογιζεις κατευθιαν? Μηπως χρησιμοποιει τις προτασεις 5.2 , 5.3 ?

Στις σπιτεργασίες πέτυχα 3-4 φορές άσκηση του τύπου :

cosh(w) = 3.35078209809i + 1.43972996029
Να βρεθεί μία  λύση  z  η οποία βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο και να δοθούν το Re και το Im

έχει κανείς, καμία ιδέα ;

Αυτό που θα μπορούσες ενδεχομένως να κάνεις είναι να βρεις το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του cosh(w), νομίζω τα είχε ο ατρεας στις σημειώσεις του και να προχωρήσεις από εκεί. Βέβαια και από αυτό το σημείο μάλλον δύσκολα θα φτάσεις σε αποτέλεσμα με το χέρι.

Εγώ για τις σπιτεργασιες χρησιμοποίησα το wolfram ;D

Αν έχω μια εντελώς απλοϊκή συνάρτηση τύπου 1/[(z^3)+2]. Kαι βρίσκω ότι για να ορίζεται πρέπει να ισχύει z να είναι διάφορο του 2^(1/3) * e^i*[(π+2kπ)/3]. Το k τι τιμές μπορεί ν πάρει;

ουσιαστικα λυνεις το z διαφορα της τριτης ριζας του -2 ... αρα θες το κ να παει απο 0 εως 2 , (γενικοτερα εως το n-1) ετσι ωστε αφου εχεις τριτου βαθμου δυναμη , να εχεις 3 ριζες  ;)

Ευχαριστώ για τη βοήθεια

Δες την άσκηση 11 σελίδα 52 από τις σημειώσεις του Ατρέα, λύνει μία παρόμοια

αν και λιγο αργα

για την ταξινομηση ανωμαλων σημειων μπορεις να πεις:

i)Αν το z0 μηδενιζει 2 φορες τον παρανομαστη και καμια τον αριθμητη , τοτε ειναι πολος 2ης ταξης
 η πιο γενικα: αν μηδενιζει Κ φορες τον παρανομαστη και Λ τον αριθμητη ειναι πολος (Κ-Λ) ταξης

ii) Αν υπαρχει το lim f(z) με z->z0 τότε απαλειψιμη

iii) Αν δεν υπαρχει το οριο , τοτε ουσιωδης

Μπορεις ακομα να πεις για το ii) οτι αν ισχυει Κ=Λ (δηλαδη 0ης ταξης) , ειναι απαλειψιμη (νμζω ισχυει κι γενικα αν Λ>Κ, αλλα μην σε καψω κιολας)

και ενας ωραιος τροπος για το iii) ειναι: Αν εσυ εχεις μια συναρτηση f: για την οποια z0 πολος , τοτε για συναρτηση g η οποια ειναι ακεραία και ισχυει g(f(z)) το z0 ειναι ουσιωδης

πχ για την f(z)=1/z , το 0 ειναι πολος 1ης ταξης , ομως για την e^(1/z) το 0 ειναι ουσιωδης ανωμαλια (με g(z)=e^z)

Στο κεφαλαιο 1 στις σημειωσεις του ατρεα,στην λυμενηα ασκηση 8, παιρνει την γεωμετρικη σειρα και καταληγει στο κλασμα (1-e^2πi)/(1-e^((2πi)/n)) .Αυτο το κλασμα δεν μπορω να καταλαβω πως το βγαζει μηδεν..μπορει να μην το βλεπω και απο απροσεξια..

Όταν έχουμε ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα, αφού βάλουμε την καμπύλη στην συνάρτηση επι ολοκλήρωση, πώς βρίσκουμε τα όρια του ολοκληρώματος?

Το e^2pi είναι 1.

αν βρεις παραγουσα τοτε βαζεις τα σημεια που σου δινει

αν παραμετροποιησεις με ευθεια απο 0 εως 1

αν παραμετροποιησεις με κυκλο απο 0 εως 2π

Α θενξ, γιατί μου φαινόταν κάπως αυθαίρετο το (0,1) στις ευθείες.

Και γενικα οταν εχουμε ασκησεις με λογαριθμους, επειδη στις σημειωσεις του ατρεα λιγο μπερδευομαι..θεωρουμε απο μονοι μας οτι ειναι ορισμενες πανω σε μια οριζοντια λωριδα..οποτε ισχυουν οι γνωστες ιδιοτητες , ( Log(z^n)=nLog(z) ) ,οι οποιες δεν ισχυουν εν γενει ? Και γενικα ποια ειναι η ουσιαστικη διαφορα μεταξυ των λογαριθμων στο C και στο R ? (περα απο τον τυπο)



Υ.Γ..ευχαριστω για την βοηθεια πριν !!

Γενικά πάνως στις ασκήσεις απ'ότι έχω προσέξει χρησημοποιεί το z^a=e^(alogz) και όχι εκείνο. Αλλά άμα ξέρει κάποιος καλύτερα ας πει.

Ναι για να ισχυει ομως η σχεση που λες εσυ, πρεπει να ισχυει και αυτη που ειπα εγω..γενικα ολες αυτες μου φαινεται καταληγουν στο ιδιο πραγμα.. Στο βιβλιο παντως το Churchill-Brown που διαβασα λεει οτι πρεπει να περιορισουμε το z σε μια οριζοντια λωριδα,για να ισχυουν καποιες ιδιοτητες..αλλα και παλι δεν βγαζω ακρη γιατι ειναι διαφορετικες ιδιοτητες και δεν πηγαινα στα μαθηματα..Οποτε ναι ,αν εχει καποιος καθαρη και ολοκληρωμενη απαντηση ας βοηθησει..

Παρεπιπτωντως μια ακομα ερωτηση..τις ασκησεις με μετασχηματισμο Mobius να τις δωσω βαση ή δεν πεφτουν τοσο συχνα ?

Όταν μου ζηταει να υπολογίσω μια σειρά Laurent υπάρχει κάποια μεθοδολογία?.ειδικα για το κομμάτι π όταν αλλάζει το μετρο αλλάζει και η σειρα.

Στις πιο δύσκολες περιπτώσεις προσπαθείς να φέρεις τη συνάρτηση σου στη μορφή 1/(1-w)=1+w+w^2+w^3+...     |w|<1
                                                                                     ή                                1/(1+w)=1-w+w^2-w^3+...      |w|<1

-Αν σου ζητάει γύρω από το z₀ τότε w=z-z₀.
-Όταν αλλάζει το μέτρο (π.χ |z-z₀|>2),φέρνεις πάλι τη συνάρτηση σου στην παραπάνω μορφή μόνο που w=2/z-z₀(για να ισχύει |w|<1)
Συνήθως κάτι τέτοιο κάνεις,υπάρχουν και κάποιες ασκήσεις με sin() που απλά αναπτύσσεις τη σειρά με βάση τους τύπους.
Δες στις σημειώσεις που ανέβηκαν από φέτος τις 10 σειρές Laurent και νομίζω πως θα μπεις στο πνεύμα.

Σε αυτό μπορεί να μου εξηγήσει κάποιος τι τάξης είναι οι πόλοι. Γενικά όλη την πορεία σκέψης;

θες το z^2-1 να ειναι διαφορο του μηδενος , αρα θες το z να ειναι διαφορα του +- 1

μετα παραγοντοποιεις τον παρανομαστη ως (z-1)(z+1) ωστοσο το τετραγωνο που υπαρχει  καθιστα τον καθε πολο 2ης ταξης ;)

σ'αυτα ειναι "προφανη" τι πρεπει να κανεις , κυριως οταν εχεις cos , sin , sinh και cosh πρεπει να προσεχεις ;) καθως πρεπει να θυμασαι οτι πρεπει να παραγωγισεις

Αρα γενικα αυτη ειναι η θεωρια για ταξινομηση ανωμαλων σημειων ? Στο τελευταιο μαθημα που πηγα του ατρεα ειχε πει για τις ουσιωδεις ανωμαλιες ,πχ αμα εχω f(z)=ημ(1/z) , για να δειξω οτι παρουσιαζει ουσιωδη ανωμαλια στο z0=0 ,καλυτερα να το δειξω παιρνοντας την σειρα laurent ,οπου θα υπαρχουν απειρες συντελεστες α_n με n=-1,-2,-3 ...

κοιτα αν η ασκηση λεει να ταξινομηθουν τα ανωμαλα σημεια , τοτε ναι θα παρω την σειρα laurent ... αν ομως μου λεει να υπολογισω το ολοκληρωμα και μου βγαινει οτι η ουσιωδης ανωμαλια ειναι στον αρνητικο ημιεπιπεδο δεν υπαρχει λογος να το κανω ολο αυτο , γιατι απλα θα επιλεξω να ασχοληθω με το θετικο ημιεπιπεδο

ουσιαστικα σου λεω , οτι αν το ερωτημα δεν ειναι ταξινομησε τις ανωμαλιες , τοτε μια λυση οπως αυτην που περιεγραψα στο ποστ που quotαρες , ειναι αποδεκτη (κατα την γνωμη μου) , καθως η ασκηση θα ζηταει κατι αλλο

Thank you sir.  :D

Α και πως αποδεικνυεις αυτο με την συνθετη συναρτηση? υπαρχει καπου στις σημειωσεις ?

nope δεν ξερω καν αν το λενε οι σημειωσεις :Ρ (βασικα παιζει να το λενε δεν θυμαμαι ομως)

αλλα σιγουρα το χει πει μεσα στο μαθημα ο ατρεας

Όταν έχω αναπτύξει μια συναρτηση σε Laurent, πως βρίσκω τον α_-1 όρο. Δηλαδη το Res;

η σειρα σου θα ειναι κατι της μορφης (Αριθμος)*1/(z-zo)^n αν θεσεις n=1 , τοτε θα εχεις βρεις το : (Αριθμος)*z^(-1)

εε το a_-1 ισουται με τον αριθμο που θα υπαρχει απο μπροστα

Και αν θελω να αναπτυξω σε Laurent την 1/((z-1)*(z+1)) γυρω απτο 1 ειναι αναγκη να σπασω τον παρανομαστη. γιατι ειδα κατι ασκησεις που δεν τον σπαει ο κεχαγιας.

τα σπας κυριως για δικη σου ευκολια  8))

Eχει λυσει κανεις την 7 απο τις αλυτες του 4ου κεφαλαιου των σημειωσεων του Ατρεα ;  :-\

Edit : Λυθηκε

Κάτι δεν είχες καταλάβει καλά φίλε μου

Ολα καλα τελικα φιλε μου ,το βρηκα   8))

Σε αυτη την ασκηση μπορει καποιος να εξηγησει πώς κατω κατω στο προτελευταιο ισον βγαζει με τη μια οτι το ολοκληρωμα ειναι 2 ??Ή εστω να μου πει που να διαβασω κατι για να το καταλαβω(λειπουν τα dz στα ολοκληρωματα παρεμπιπτοντως)

στο δινει στην εκφωνηση

http://prntscr.com/i4c3te

καταλαβαινω οτι το θ εκφράζει κατα πόσο θα "στρίψει" το αρχικο επιπεδο στη μετασχηματισμενη του μορφη σαν δισκος αλλα με ποιο κριτηριο ή "δικαιωμα" το χτυπαει θ=0; δηλαδη πως το σκεφτηκε και τι θα γινονταν αν θεωρητικα επελεγε κατι αλλο;