THMMY.gr

Στο 2ο σετ ασκήσεων του Ρόθου στο 3ο σκελος που ονομάζεται δυναμοσειρές, μας δίνει τη σειρα:

Σ(nx^n)  για n=0 ως άπειρο και μας ζητάει να βρούμε το άθροισμα...

Δηλαδή ζητάει να βρούμε που συγκλίνει η σειρά, το όριο της απ' οτι καταλαβαίνω.
Ο τρόπος για να το βρουμε είναι να βρουμε το οριο της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων;
Ρωταω μήπως υπάρχει άλλος τρόπος γιατί δεν είμαι καλος στο να βρίσκω ακολουθίες μερικών αθροισμάτων.
Απ' την άλλη αυτη η σειρά μοιαζει με γεωμετρική πραγμα το οποιο θα μπορούσε να μας βοηθήσει!

Επίσης τι εννοει να αποδείξουμε οτι η σειρα Σ(n+1)x^n=1/(1-x)^2 n=0 εως άπειρο...

Το ζητούμε μου θυμίζει τον αριθμό στον οποίο συγκλίνουν οι γεωμετρικές σειρές αλλά και παλι δε βγαζω νοημα...

Ας βοηθήσει κάποιος αν μπορεί!!!

Ευχαριστώ...

Λοιπόν αν κατάλαβα καλά το πρόβλημα είναι πώς θα υπολογίσεις πού συγκλίνει αυτή η σειρά (και αν). Ένας τρόπος να το μαζέψεις είναι ο εξής. Σωστά παρατήρησες ότι αυτό θυμίζει γεωμετρική σειρά, αλλά τα χαλάει αυτό το n που έχει από μπροστά. Ας το ξεφορτοθούμε με μια παραγώγιση. Δηλαδή:

Σ(n*x^n)=x*Σ(n*x^(n-1))=x*[d(Σ(x^n)/dx]=x*[d( 1/(1-x) )/dx]=x/(x-1)^2. με τα αθροίσματα να πάνε από 0 ως άπειρο.

Τώρα το θέμα είναι αν πράγματι η σειρά συγκλίνει. Αυτό βγαίνει εύκολα με το κριτήριο του λόγου για τις ακολουθίες. Από τις σχέσεις παραπάνω είναι δύσκολο να δείξουμε κάτι τέτοιο. ;)
Εδώ τι εννοείς? :P

Προσπάθησα τουλάχιστον... :) :)

Ευχαριστώ που πήρες το χρόνο ν απαντήσεις φιλε!

edit:

Οκ τελικά κατάλαβα μαν!
Ευχαριστώ και παλι!

Ναι έχεις δίκιο, δεν πολυχρησιμοποιούνται τέτοιο τρόποι στις σειρές. Είναι περισσότερο θέμα έμπνευσης. Σκοπό έχει να μαζέψει τη σειρά με κάθε κόστος. Το Ρόθο δεν το ξέρω οπότε δεν ξέρω και τι είδους ασκήσεις του αρέσει να βάζει.

Όσο για το δεύτερο μπορείς να το βγάλεις με δύο τρόπους. Ο ένας είναι ακολουθώντας τα ίδια βήματα με το προηγούμενο παράδειγμα αλλά με κάποιες μικροαλλαγές. Ο άλλος είναι να αναλύσεις σε Taylor το δεξί μέλος.

Οκ ευχαριστώ, θα το προσπαθήσω!