THMMY.gr

Topic για απορίες σε ασκήσεις του μαθήματος.

Καλησπέρα.. έχω μια απορία/παρατήρηση που μου δημιουργηθηκε λυνοντας καποιες ασκησεις. Θα εκτιμουσα πολυ αν θα μπορουσε καποιος να με βοηθησει στο ερωτημα που θα θεσω παρακατω.. (μπορει να λέω πράγματα λάθος, εννοείται να με διορθώσετε)

Εχουμε μαθει οτι ενα συστημα που δεχεται ως εισοδο x(t) και έχει κρουστικη αποκριση h(t), δινει εξοδο y(t), οπου y(t)=h(t) * x(t) (συνελιξη, στο πεδιο του χρονου). Εφαρμοζοντας μετασχ. Laplace ή Fourier, περναμε στο πεδιο των συχνοτητων, οπου ισχυει:
Υ(s) = H(s) • X(s) (Laplace) ή Υ(ω) = H(ω) • X(ω) (Fourier)

Αυτο το συστημα περιγραφεται απο μια διαφορικη εξισωση (αν ειναι συνεχους χρονου) ή απο μια εξισωση διαφορων (αν ειναι διακριτου χρόνου). Αυτο που παρατηρω ειναι οτι σε ολες αυτες τις διαφορικες εξισωσεις, οι παραγωγοι που αφορουν την εξοδο ειναι υψηλοτερης ή ίδιας ταξης απο τις παραγώγους που αφορουν την εισοδο, αλλά ποτέ μικρότερης. Ξέρει κάποιος γιατι συμβαινει αυτο;
Πχ. μια διαφορικη θα μπορουσε να ειναι η
d²y(t)/dt² + 4 dy(t)/dt + 3y(t) =dx(t)/dt + 3x(t)
(φτανει ως 2ης ταξης για εξοδο y, 1ης ταξης για x. Δε θα μπορουσαμε ομως ποτε να δουμε το αντιστροφο).

Αυτό που μπορώ να παρατηρήσω είναι ότι οταν η ταξη παραγωγων που αφορουν την εξοδο y ειναι υψηλοτερη (ή ιση) απο την ταξη παραγωγων που αφορουν την εισοδο x, τοτε η συναρτηση μεταφορας H(s) ή Η(ω) του συστηματος ειναι μια ρητη συναρτηση (πηλικο πολυωνυμων) στην οποια ο βαθμος του παρονομαστη ειναι μεγαλυτερος (ή ισος) απο το βαθμο του αριθμητη.
Στο παραδειγμα που προανεφερα:
Η(s) = (s+3) / (s²+4s+3) ή Η(ω) = (iω+3) / (-ω² +4iω + 3).

Παρατηρω ειναι οτι αν ισχυει αυτη η συνθηκη (βαθμ. παρονομαστη ≥ βαθμ. αριθμητη), η Η(ω) δεν τεινει στο απειρο για μεγαλα ω (αν ω τεινει στο απειρο). Δηλ. δεν απειριζεται η συναρτηση μεταφορας. Αυτό είναι κάτι επιθυμητο; Γιατι αυτο να συμβαινει παντα;

Γενικά θα εκτιμούσα οποιαδήποτε απάντηση θα μπορουσε έστω και λίγο να με διαφωτίσει.. Συγγνωμη για το σεντόνι!! (δε ξέρω μήπως η ερώτηση έπρεπε να τεθεί στο thread των ΣΑΕ)

PS: Μήπως τα όσα αναφέρω ισχυουν για ευσταθη συστήματα;; Και οχι γενικότερα;;

θα σου απαντήσω από γνώσεις ΣΑΕ και όχι σημάτων.
το σύστημα μπορεί να είναι ελέγξιμο μόνο όταν (βαθμ. παρονομαστη ≥ βαθμ. αριθμητη) και οι ρίζες του παρονομαστή είναι στο ΑΗΠ. Μπορείς να το δοκιμάσεις και όλας να δεις τι θα σου βγεί αν έχεις πόλο (παρονομαστή) στο ΔΗΠ (hint e^at). Επίσης, όπως ξέρεις όταν βαθμ. παρονομαστη < βαθμ. αριθμητη, τότε θα έχεις τουλάχιστον κάτι της μορφές at^b το οποίο επίσης είναι ασταθές.

Σε ευχαριστώ πολύ για την απάντηση!