THMMY.gr

Παιδιά, στο μετασχηματισμό Laplace όταν χρειάζεται να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μιας f(s) η οποία έχει πόλο τάξης 2 (π.χ. 1/(s+a)²) ή παραπάνω τότε τι μεθοδολογία ακολουθουμε;

  Κατά τα γνωστά πρέπει να υπολογίσεις τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα σε όλους τους πόλους της συνάρτησης. Συγκριμένα εδώ αν εχεις τη συνάρτηση f τότε βρίσκεις το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f*e^(st). Μπορείς να χρησιμοποιήσεις τον τύπο 5 στη σελίδα 213. Δηλαδή θα είναι Β=(e^(st))'/1!=t*e^(st) με s=-a.
  Αυτό εφαρμόζεται για οποιασδήποτε τάξης πόλο, ΕΦΟΣΟΝ όμως μπορείς να "τραβήξεις" τις ρίζες του παρονομαστή σα γινόμενο σε μορφή πολυωνύμου. Αν ο παρονομαστής έχει άλλη μορφή τότε (πχ e^x-1 στο 0 και δε συμμαζεύεται) μας είχε δώσει ένα φυλλάδιο με μια τεράστια ορίζουσα που δίνει το γενικό τύπο. Ωστόσο, ΦΥΣΙΚΑ δε χρειάζεται να ξέρουμε την ορίζουσα αυτή. Ελπίζω να βοήθησα κάπως.

Την συνάρτηση f(z)=exp(-y+ix) πως μπορούμε να την γράψουμε υπο την μορφή f(z)=r*exp(iθ) ???

Εγω θελω να ρωτησω στο λημμα του Jordan ισχυει degG -deg P >2  η του >1

Δες στο τέλος του 3ου κεφαλαίου -> c^z ;)

Οι λυμενες ασκησεις στο site του Κεχαγια ειναι του ιδιου επιπεδου με τις ασκησεις που πεφτουνε στις εξετασεις? Ξερει κανεις?

Γνωριζει κανεις αν οι παραγραφοι 97-100 εχουν διδαχθει?????? και αν ναι ειναι σημαντικοι????????????

Στα θέματα Σεπτεμβρίου 2006, στο θέμα 5 που ζητάει δυναμικό της u(x,y), μας δίνει την v(x,y). Εδώ πιστεύω πως θα κάνω Poisson ή επίλυση με Fourier. Παρόλα αυτά, πώς βρίσκω την u(α)?

Στο θεμα 3) α του Ιανουαριου 2006  μας λεει να βρουμε την v(x,y) μεσω της u(x,y) .
Αρχιζουμε να λυνουμε και φτανουμε στο σημειο Vx=[x^2+(y+3)-2y(y+3)]/[x^2 +(y+3)^2]^2
μετα για να βρουμε την v(x,y) ολοκληρωνουμε
Πως γινεται να γινουν ολες αυτες οι πραξεις ???

Δε μου βρίσκεται πρόχειρο scanner οπότε ανεβάζω.. screenshot από τις σημειώσεις που έχω. Η άσκηση είναι παρόμοια.. και θα ήθελα κάποιος αν μπορεί να μου εξηγήσει και εκείνο το σημείο που ολοκληρώνει το (θv/θy)dy.. και το κάνει.. v(x,y) + Φ(x)..

Ολοκληρωνεις την υ(x,y) ως προς y αρα θα υπαρχει μια συναρτηση ως προς χ μονο ,που δεν  θα περιεχει y,αρα θα μηδενιζεται κατα την ολοκληρωση.

Κάνα προγνωστικό για αύριο?? Απο τα καινούργια θα μπει τίποτα?

Στοιχημα το περασες?

Ναι....

Καλησπέρα παιδια!!
εχω μία απορία...
όταν μας δίνεται ενα μιγαδικό ολοκλήρωμα για να υπολογισουμε... αν έχουμε ανώμαλα σημεία πάνω στην καμπύλη ολοκλήρωσης...αυτά τα συμπεριλαμβάνουμε στο άθροισμα των ολοκληρωτικών υπολοίπων??
δείτε σεπτέμβριος 2006 α το θέμα 2
αν γνωρίζει καποιος ας απαντήσει γιατι δεν διαβάζω από το βιβλίο και δεν ξέρω αν το αναφέρει εκεί

ρε παιδιά να ρωτήσω κι εγώ.. όταν βρίσκουμε μία παράγουσα και βάζουμε και το Log μέσα σ'αυτήν (στο βιβλίο δεν το είδα να το γράφει) με τι κριτήρια γράφουμε το α κάτω στο log?? δεν το πολυκαταλαβαίνω αυτό :S

για να ειμαι συντομος ΔΕΝ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΤΙΠΟΤΑ απο το 11... :( :( :P

μπορει να μου πει κανεις τι πρεπει να διαβασω αν βαλει καποιο θεμα απο το 11?

Ρε παιδιά να ρωτήσω κάτι απλό.
Νδο (-1+i)^7=-8-8i

γράφει... e^(iπ/4) = cos(5π/4)+ i*sin(5π/4)
Πώς βγαίνει αυτό; Ο τύπος του Euler δεν ισχύει εδώ;

Είναι η άσκηση 21 από το 1ο κεφάλαιο (Μιγαδικοί Αριθμοί) (αναφέρομαι στο φυλλάδιο που έχει ο Κεχαγιάς στο site του) πώς βρίσκει το αποτέλεσμα;

-1+j = ριζα(2) * e^j3π/4
αρα (-1+j)⁷ = [ριζα(2)]⁷ * e^j7*3π/4

21π/4 = (5+16)π/4 = 5π/4 + 16π/4 => e^j21π/4 = e^j5π/4 = (-1-j) / ριζα(2)

Αρα εχεις ριζα(2)⁷ * (-1-j) / ριζα(2) = (-1-j) * ριζα(2)⁶ = (-1-j) * 2³ = -8-j8

Σημειωση: Μην ξεχνας οτι e^j2kπ = cos(2kπ) + jsin(2kπ) = 1

Ok! Ευχαριστώ πολύ.

Στο θεωρημα Rouche πως διαλεγουμε εμεις την g(x) f(x) για να μας βγαλει την απαιτουμενη ριζα , πχ σελ 246 ασκηση 4
??
βοηθεια καποιος?

Τις διαλέγεις έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος, δλδ να είναι |f(x)|>|g(x)|... αν δεν κάνω λάθος!

στην ασκηση αυτη στο βιβλιο ποια χρησιμοποιω στην πρωτη περιπτωση και ποια στην δευτερη?
οι απαντησεις ειναι στην α)4 και στην β)0 γιατι??
αν δεν ειχε οδηγο τις απαντησεις πως θα το διαλεγες?

κανεις?????????

παιδια κατι πολυ απλο απο τριγωνομετρια στην ουσια που δεν εχω καταλαβει πως βγαινει!

Θελω να βρω το ορισμα ενος μιγαδικου αριθμου z= x + i*y ,   Εχω δει σε ασκησεις να παιρνει συνεχεια cos(Θ)= x/r  και sin(Θ) = y/r   και απο εκει να βγαζει τη γωνια.  Εγω μεχρι στιγμης επαιρνα τοξο εφαπτομενης ,αλλα οταν εχω μειον κτλ, μου βγαινει διαφορετικο αποτελεσμα απο αυτα που εχει στις σημειωσεις.

εστω πχ ο z = (-8) - i (8* riza3 )   Αν παρω την εφαπτομενη βγαινει  φ =τοξεφ( y/x) =τοξεφ( riza3)  => φ= π/3. Ομως αυτος παιρνοντας cos(x/r) = -1/2 και sin(y/r)=-(riza3)/2 βγαζει φ=π+π/3= 4π/3  ???

Δεν μπορω να βγαλω τον κανονα και υπαρχει κινδυνος να χαθουν ολοκληρες ασκησεις απο αυτην τη χαζομαρα!  πειτε λιγο plz!Η τουλαχιστον πειτε υπαρχει σε κανα βιβλιο που εχουμε για τριγωνομετρια ο κανονας αυτος; εψαχνα και σε τυπολογια και σε βιβλια λυκειου αλλα δεν βρηκα κατι!  :???:

Αν z=x+jy  =>  arg(z) = arctan(y/x) + 2kπ

Σε καποιες περιπτωσεις (οταν π.χ. Rez = +/- Imz) το βγαζεις με το ματι ή καλυτερα σημειωνοντας το μιγαδικο επιπεδο.

για το παραδειγμα πανω τοτε πως εξηγεις οτι βγαινει αλλιως;   (κ σε αλλα ετσι...)

Τοτε κανε το πιο ευκολο: Βρες το μετρο και βγαλ'το κοινο παραγοντα:
ριζα{8²+8²ριζα(3)²} = ριζα(256) = 16
Αρα z = 16(-1/2-jριζα(3)/2) οποτε τωρα μπορεις να το βρεις πανω στο μιγαδικο επιπεδο :)

Οταν ζηταει σημειο τοπικου μεγιστου οπως στα θεματα του 2008 τι κανουμε?

1) Ελεγχεις εαν οντως υπαρχει, στο χωριο που σου ζηταει.
2) Εαν υπαρχει, θα υπαρχει πανω στο οριο, οποτε αρχιζεις να.. ψαχνεις!

σ ευχαριστω!  σορυ αν ρωταω προφανη πραγματα, αλλα το παιρνω πανω στο μιγαδικο επιπεδο και βλεπω  οτι ειναι στο τριτο τεταρτημοριο... την ακριβη του τιμη ομως πως την προσδιοριζω; πρεπει να παρω φ= π/3 οπως πριν και μετα επειδη τα βαζω στο μιγ.επιπεδο και βλεπω οτι ειναι στο τριτο τεταρτημοριο λεω οτι τελικα ειναι π+π/3?

οταν εχουμε ολοκληρωμα με σημειο ανωμαλιας πανω στον τοπο ολοκληρωσης (πχ κυκλος κεντρου 0 και ακτινας 2)και προκυψουν σημεια ανωμαλιας πχ το 2 και 2i, γι αυτα στην λυση θα ειναι πi*ολοκληρωτικο υπολοιπο πανω σε αυτα????? αλλαζει κατι αν ειναι φανταστικο η πραγματικο το σημειο ανωμαλιας πανω στον τοπο?

Επειδη δεν καταλαβα...αν εχουμε |f(z)|=|z^2/(z^2-3)| kai ζηταει τοπικο μεγιστο στο |z|<=1 τι κανουμε?

Ψάξε στον κύκλο z=1.
Δλδ θέτεις z=e^it (αφού r=1) κάνεις τις πράξεις και μετά έχεις μια συνάρτηση μίας μεταβλητής (την t) για να βρεις το μέγιστό της.Λύκειο εν ολίγοις. :)

Τώρα να ρωτήσω,αυτός ο μετασχηματισμός Ζ που λέει σε κάτι παλιά θέματα που είναι μέσα στο βιβλίο ρε παιδιά?Είναι στην ύλη φέτος?Γιατί από Γκαρούτσο που διάβασα δεν τον βρήκα... -__-

δεν ειναι ο μετασχηματισμος Ζ μεσα! σε αλλο τοπικ υπαρχει ακριβως η υλη δες εκει

Arigato... *bows*

Αρκει να θυμασαι πως
cos(60^o) = sin(30^o) = 1/2
cos(30^o) = sin(60^o) = ριζα(3)/2
cos(45^o) = sin(45^o) = ριζα(2)/2
(τριγωνομετρικο κυκλο!)

καθως και τον τυπο του Euler. Απο 'κει βλεπεις οτι στην τριγωνομετρικη μορφη, το ημιτονο εικονιζεται στον y αξονα και το συνημιτονο στον x.
Με βαση αυτο, τοποθετεις το σημειο στο μιγαδικο επιπεδο, προσεχοντας τα προσημα: Εαν εχεις και στα δυο αρνητικο προσημο, τοτε προφανως εισαι στο τριτο τεταρτημοριο, αρα το βαζεις στο πρωτο και το περιστρεφεις κατα π ;)
(Ή φαντασου να γυρνας την κολλα σου 180^o)


Πρωτο βημα πρεπει να ειναι παντα ο ελεγχος ΕΑΝ υπαρχει τοπικο μεγιστο: Εαν η συναρτηση στο χωριο εχει πολο τοτε απειριζεται, συνεπως η αναζητηση μεγιστου χανει καθε νοημα.
Μονο αν εχεις αναλυτικη συναρτηση ισχυει το θεωρημα, οτι το μεγιστο υπαρχει στο οριο!

Οκ, τωρα  καταλαβα!μερσι :-*

για το θέμα 4 φεβρουαρ. 2006 τι κάνω? θα βρω τις εξισώσεις ευθειων για καθε μια απο τις πλευρές του τριγώνου και θα σπάσω το ολοκληρωμα σε 3 ολοκληρώματα;;;

Δεν ξέρω άμα έχει απαντηθεί κάπου αλλού αλλά γνωρίζει κάποιος πως λύνεται αυτό που ζητάει το όριο ακολουθίας zn=sinh(n^π+i/1-2iπ^2)??

οχι.πρακτικα θα ειναι φi*ολοκληρωτικο υπολοιπο,οπου φ η γωνια του τοξου που βρισκεται μεσα στο τοπο ολοκληρωσης(αν σχεδιασεισ ενα κυκλο γυρω απο το ανωμαλο σημειο πανω στη γ).

δλδ αν ειναι πανω σε ευθεια θα ειναι π,   αν ειναι στη γωνια ενος ορθογωνιου θα ειναι π/2.

τωρα αν ειναι πανω σε κυκλο η γωνια ειναι λιγο μικροτερηη απο π ,αλλα θεωρωντας πολυ μικρο το κυκλο μπορεις να το δεις πανω στην εφαπτομενη της καμπυλης προσεγγιστικα,δλδ φ=π

Νομιζω τουλαχιστον....

εχω μια απορια...σημερα στις 12 θα γινει μαθημα?

Γιατί να μην γίνει? :P

γιατι σημερα μηχανες α και σηε 2 δεν εγιναν
αλιμονο σου αν δε γινουν,θα μαθω ποια εισαι :P

Σήμερα στη 13 δεν είναι το μάθημα? Άλλαξε κάτι στο πρόγραμμα κ δεν το είδα?

Ααααα μη με απειλείς! :D :D :DΣτις 13:00 έχουμε εφαρμοσμένα
στις 12 έχουν ακόμα κυκλώματα 2 :P

οχι εγω εκανα μαλακια

ΣτΗ 13:00 έχουμε εφαρμοσμένα
στις 12 έχουν ακόμα κυκλώματα 2 :P

αντε τη γλιτωσες...τελικα εγινε ενα <<εισαγωγικο>> μαθημα

Στο σημέρινο μάθημα ειπώθηκε κάτι ουσιαστικό όπως πχ για βιβλία/σημειώσεις που θα δωθούν στη πορεία?
Ακόμη θα το πάρει σερί ο Λουκάς ή θα έχουμε και... guest stars ?! (βλέπε Κάππος,Κεχαγιάς)

ναι ειπε και για τα βιβλια και για σημειωσεις που θα δοθουν σε κανα μηνα

Ευχαριστώ!
Τέθηκε μήπως θέμα αλλαγής ώρας του μαθήματος?

δεν ακουσα τπτ τετοιο.γιατι ειχε ακουστει για αλλαγη ωρας?

όχι απλά ρωτάω αφού δεν κατέβηκα σήμερα...
Stay calm 8)

O Καππος ειπε πως θα μας εχει για 3μιση περιπου βδομαδες και μετα ο Κανακης

παιδιά μία απορία..

έστω ότι ζητείται να λυθεί η εξίσωση :

e^z = -1 , όπου z = x + iy.

μπορώ να γράψω :

e^xe^iy = e^iπ

άρα :

e^x = 1 => x = 0

και

y = π + 2κπ = π (2κ +1)

τελικά :

z = iπ (2κ +1).

Μπορώ όμως να γράψω και το εξής :

-e^z = 1

e^iπe^xe^iy = eⁱ⁰

e^xe^{i(y + π)} = eⁱ⁰

άρα :

e^x = 1 => x = 0

και

y = -π + 2κπ = π (2κ -1)

τελικά :

z = iπ (2κ -1).


Ποιο από τα δύο είναι σωστό?

Και τα δύο. :) Εάν θέσεις όπου k στο k+1 (στη δεύτερη λύση) καταλήγεις στην πρώτη.

Thanks Γιώργο! :)

Είχα φάει ένα κολληματάκι... ^redface^

και συνεχίζω.. :P

Έστω ότι έχουμε μία μονότιμη συνάρτηση :

f(z) = w = sqrt(r) e^i(θ/2) , (r > 0, - π < θ < π), όπου sqrt(r) η θετική τετραγωνική ρίζα.

Εάν (- π < θ < =  π) η w δεν είναι και πάλι μονότιμη?

Θέλω να πω ότι η πιο πάνω συνάρτηση w δεν θα ήταν μονότιμη μόνο εάν (- π < = θ < =  π), γιατί τότε σε κάθε σημείο του αρνητικού πραγματικού ημιάξονα θα αντιστοιχούσαν 2 τιμές.

Έχεις δίκιο. :) Γι' αυτό θα "κλείσεις" είτε το ένα άκρο είτε το άλλο.

Άρα το βιβλίο μας στην σελ. 34 έχει άδικο! :D

The only truth lies in Google! ^ytold^

Να ρωτήσω,σήμερα έγινε μάθημα κανονικά στα εφαρμοσμένα ;(λόγω συνέλευσης;)

Ναι έγιναν κανονικά....

Τι κάναμε ακριβώς? thx

Σήμερα μπήκε κανονικά στα ολοκληρώματα, απέδειξε το θεώρημα του Cauchy και έκανε μερικές ασκήσεις ολοκληρωμάτων....

Τη Παρασκευή 21/11 που ήταν να γίνει αναπλήρωση μαθήματος έγινε?

όχι δεν έγινε! ξέρει κανείς αν πρόκειται να γίνει?

αγαπητή bjork
δεν έγινε και μάλλον δε θα γίνει σύμφωνα με τον κανάκη

Ευχαριστούμε για την ενημέρωση!