THMMY.gr

Θα ήθελα να κάνω δύο ερωτήσεις για κάποιες απορίες που έχω.

1ον) Σε κάποιες μεθοδολογίες όπως π.χ. στην διαφορική εξίσωση του Euler (σελ.206-207) το βιβλίο τις παρουσιάζει στην γενική τους μορφή και καταλήγει στο αποτέλεσμα. Εμείς μπορούμε να χρησιμοποιούμε έτοιμο το αποτέλεσμα ή πρέπει να δώσουμε την μεθοδολογία αναλυτικά σε περίπτωση που μας ζητηθεί να επιλύσουμε μια τέτοια διαφορική εξίσωση;

2ον) Στις ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές το βιβλίο δεν αναφέρει πουθενά αν πρέπει η διαφορική εξίσωση να βρίσκεται στην κανονική της μορφή. Στα παραδείγματα του δε χρησιμοποιεί πάντοτε εξισώσεις που είναι εξαρχής στην κανονική τους μορφή. Πρέπει μια διαφορική εξίσωση να είναι στην κανονική της μορφή για να βγάλουμε τις χαρακτηριστική της εξίσωση ή όχι απαραίτητα;

1) λογικά αν πεις οτι είναι εξίσωση Euler απλά θα γράψεις τους τύπους και θα τους εφαρμόσεις. Θεωρία του βιβλίου είναι, αυτό έλειπε!

2) Τι να σου πω...δεν το θυμάμαι καθόλου (χεχε πέρασα διαφορικές!). Τόοοσο δύσκολο είναι πια μωρε να τη φέρεις στην κανονική της μορφή?

1ον) Αρκεί να θυμάσαι το πώς λύνονται, δηλαδή τι αντικαταστάσεις κάνεις.
2ον) Σκέψου λίγο λογικά με βάση τη διαδικασία απόδειξης.
Να μη σε παιδεύω, νομίζω ότι είναι προφανές ότι πρέπει να είναι στην κανονική της μορφή.
Σκέψου το λίγο και θα δεις.
Ελπίζω να βοήθησα, αν και δεν έχω βιβλίο μπροστά μου να σου εγγυηθώ σωστές απαντήσεις!

Ευχαριστώ παιδιά!! :)

Alexasgr και εγώ αυτό υποψιαζόμουν αλλά είπα να σιγουρευτώ γιατί ποτέ δεν ξες. Μπορεί απλά να μην το διευκρινίζει και ο καθηγητής να σε παγιδεύσει γιατί το είχε αναφέρει ο ίδιος σε μια από τις παραδώσεις του ας πούμε.....

Τεσπα.....:)

Πηγα χθες να δω το γραπτο μου διαφορικες και στο τελευταιο θεμα,το οποιο αφορουσε τη επιλυση μιας διαφορικης με μετασχηματισμο Laplace.Ειχα βρει την y(s) αλλα δεν μπορουσα να την σπασω σε κλασματα ωστε να παρω τον αντιστροφο μετασχηματισμο.Το λεω στον Καππο,ο οποιος με ρωταει αρχικα τι εξαμηνο ειμαι.Του λεω 2 και μου λεει οτι σε καποιο αλλο εξαμηνο θα μαθω μια μεθοδο αλλη για να σπαω τα κλασματα αρκετα πιο γρηγορα και ευκολα.Επειτα μου λεει οτι την μεθοδο την ανελυσε στην αιθουσα αλλα δεν την εχει στο βιβλιο και αφου του λεω οτι δεν παρακολουθησα κανενα μαθημα μου λεει να παρω σημειωσεις απο συμφοιτητες μου που παρακολουθησαν...(Ελεος!!!)...Μηπως ξερει κανεις σε ποια μεθοδο αναφερεται??? 

Μήπως εννοεί το τρόπο που υπάρχει στη σελ. 297, παράδειγμα 5.6.

Αφού λέει ότι δεν υπάρχει στο βιβλίο
Πάντως αυτή του βιβλίου, που την είχε και στο λογισμό 1 πιο αναλυτικά, κάνει τη δουλειά της

Σε τέτοιο επιχείρημα σηκώνουμε τα χέρια ψηλά. Τι να πει κανείς?

Μάλλον αυτό που σου λέει ο anonymous-root είναι...

Άσχετο: Αυτό το UFO ο Κάππος από που έσκασε? Πού τελείωσε? Ξέρει κανένας κανένα κουτσομπολιό?

Kάτι για Αμερικα έχω ακούσει.....Αλλωστε μοιάζει  και λιγο με Αμερικανακι ;)

κι εγώ αυτό έχω ακούσει ότι έχει τελειώσει στο Αμέρικα...μάλιστα νομίζω έχει τελειώσει πρώτα ηλεκτρολόγος μηχανικός...και μετά μαθηματικά...

Σχεδόν σίγουρα αναφέρεται στον τύπο με τις παραγώγους,γιατί μας τον είχε κάνει και εμάς κάποτε.Οντως δεν αναφέρεται στο βιβλίο.
Οι φήμες λένε ότι έχει διδάξει σε πολλά πανεπιστήμια ηλεκτρολόγους μηχανικούς,έχει τελειώσει και ηλεκτρολόγος,νομίζω σε κάποια ευρωπαική χώρα και μετά στην Αμερική.Αυτά μας τα έλεγαν όταν ακόμη τον περιμέναμε και αναπλήρωνε το μάθημά του ο Κανάκης!!

ε ωραια ποιος ειναι αυτος ο τυπος με τις παραγωγους,αυτος στην σελιδα 297 δεν πιανει ουτε για πολλαπλες ριζες ουτε για μιγαδικες

α και ο Καππος ειναι ΠΟΛΥ μεγαλο ουφο(για να μην πω τιποτα αλλο)

Για τις πολλαπλές ρίζες υπάρχει ο τύπος στο 2ο τόμο της θεωρίας στα κυκλώματα σελ 223.Για μιγαδικές ρίζες ζορίζουν τα πράγματα..

ευχαριστω ιωαννη

Να σαι καλά!Δεν ήτσν κόπος :)

Μηπως μπορει καποιος να μου δωσει τη μεθοδο γιατι δεν εχω τον δευτερο τομο κυκλωματα θεωρια...

Το πιο απλό που μου είπαν κ εμένα, αφού βρείς ρίζες κ σπάσεις σε κλάσματα, πολ/ζεις τους αριθμιτές κλασικά με ότι λείπει από τον παρανομαστή,
εξισώνεις με τον αριθμητή του 1ου μέρους κ δίνεις τιμές στο S ξεκινώντας από τις ρίζες του παρανομαστή.

Δουλεύει είτε έχεις μιγαδικές είτε πραγματικες ρίζες... ;)

γνωστη και ως μεθοδος heaviside(ναι,οπως ονομαζεται και η μοναδιαια δυναρτηση ...)

Πως στο καλο(μην πω τπτ αλλο!) θα μαθω για αυτη τη μεθοδο?δεν μπορει να βοηθησει καποιος που ξερει;

Λες 1/P(x)=k₁₁/(x-x₁)ⁿ+k₁₂/(x-x₁)^n-1+...k_1n/(x-x₁)+k₂₁/(x-x₂)^m+k₂₂/(x-x₂)^m-1+... κλπ. (όπου m, n οι πολλαπλότητες των ριζών). Για να βρεις τα k_2i λχ πολλαπλάσιάζεις με (x-x2)^m και θέτεις x=x₂. Έτσι βρίσκεις το k₂₁. Μετά αντικαθιστάς την τιμή που βρήκες, παραγωγίζεις και ξανακάνεις το ίδιο... μέχρι να βρεις και το k_2m. Ομοίως και για τα υπόλοιπα k.

thanx...

3 years later... :D

Μπορεί κάποιος να εξηγήσει τη λογική που βγαίνει η σχέση (2) στο παράδειγμα 8.2 της σελίδας 320-321 του βιβλίου;

ο ροθος ειχε πει κατι σχετικα με τις μη ομογενεις ΔΕ....δεν θυμαμαι τι ομως...παιζει να ειχε πει οτι δεν θα βαλει??

ΔΕΝ ΠΑΙΖΕΙ..... 8)

ειναι μπακαλικο.... εχε υποψιν σου οτι το 1 ειναι σταθερη συναρτηση για ολα τα διαστηματα, αρα γραψε το 1 ως συναρτηση με 4 κλαδους για τα διαστηματα που σου δινει.
γενικα να γραψεις ολες τις heaviside που εχει η σχεση για ολα τα διαστηματα και θα δεις οτι ισχυει η σχεση,

μην ξεχνας οτι καθε κλαδικη συναρτηση μπορει να γραφει ως συνδυασμος των συναρτησεων heaviside με δεικτη τα ακρα των επιμερους διαστηματων.

Λοιπόν παίδες, έχω την εξής απορία, όποιος μπορεί ας βοηθήσει.... Πώς βρίσκουμε μια Διαφορική εξίσωση, ομογενή με σταθερούς συντελεστές, όταν μας δίνεται μόνο μια μερική λύση της ? Για παράδειγμα, μας δίνεται y= 3xe^2x + 7x και ζητείται να βρεθεί μια Δ.Ε. που να την έχει μερική λύση.... Στο βιβλίο δεν έχει τίποτα σχετικό. Ρωτάω γιατί αυτό υπάρχει σαν άσκηση στις ασκήσεις της Κωνσταντινίδου, και έχει επίσης ζητηθεί σαν θέμα στις εξετάσεις...

Όποιος ξέρει κάποια μεθοδολογία, παρακαλώ ας βοηθήσει.

για παραγωγισε τη.... ;)

μια μπακαλικη δικη μου μεθοδος ειναι η εξης: η ΔΕ ειναι μια εξισωση που περιεχει την y και καποιες παραγωγους της.
Αρα απο τη δεδομενη εξισωση ζητας μια εξισωση με y και παραγωγους που να προερχεται απο αυτη που εχεις συμφωνα με καποιο κανονα(παραγωγος).

αυτο κανω εγω. μπορει να ειναι τελειως λαθος. :D :D

και παλι αμα η μνημη μου δεν πηγαινει και με αλλους, τοτε υπαρχουν στο 1ο κεφαλαιο του βιβλιου καποια παραδειγματα.... 8)

ναι.. δεν μπορείς να κάνεις και πολλά.

παραγωγίζεις :)

lol :D

στο κατω κατω διαφορικες τις λενε.... δεν τις λενε υπερβολουπερπολυωνυμικες..... :D :D :D :D
αρα παραγωγιζεις.... δεν υπερβολουπερπολυωνυμονεις..... :-X

φαντάζομαι μιλάς για ομογενή και γραμμική δ.ε.
 η συγκεκριμένη μερική λύση μπορεί να προέρχεται από μια γ.λ. της μορφής
y=(c1+c2x)e^r1x+(c3+c4x)e^r2x
με
c1=0, c2=3, r1=2
c3=0, c4=7, r2=0

και η συγκεκριμένη γ.λ. είναι η γ.λ. ομογενούς,γραμμικής δ.ε. με σταθερούς συντελεστές,της οποίας το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει πραγματικές ρίζες τις r1 και r2, με βαθμούς πολλαπλότητας 2 και για τις δύο ρίζες.
βρίσκεις το χαρακτηριστικό πολυώνυμο,βρίσκεις τη δ.ε.

πώς βρίσκεται ο Laplace: L{e^(-4t).t.cos3t} ?

Γνωρίζοντας το χρησιμοποιείς την ιδιότητα Frequency differentiation από εδώ (http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transforms#Properties_and_theorems) για να βρεις το .

Δηλαδή .

χμμμ ~merci

και με συνελιξη ισως

και για να μη νομίζεις ότι υπάρχει μόνο ένας τρόπος:

Γνωρίζοντας το χρησιμοποιείς την ιδιότητα Frequency shifting(sic) από εδώ (http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transforms#Properties_and_theorems) για να βρεις το .

Δηλαδή .


(copyright:Γιώργος)

και επειδή μου απαντάτε πάντα (και έγκαιρα κιόλας!! :))(και σας ευχαριστώ πολύ ;)) ας ρωτήσω: (D^2 +1)y=7cos2x+4sinx πώς λύνεται το 7cos2x ?
ευχαριστώωωωω

Αυτή είναι η διαφορική σου, έτσι;




Τι εννοείς "πώς λύνεται" το ;;

Σελ 252..

Είναι ερώτημα του 3ου θέματος από Ιούνιο '08

correct...!! να δω πώς θα θυμάμαι όλες τις περιπτώσεις  :o

δεν μπορεις πιο ευκολα να το υπολογισεις με την ιδιοτητα L{(e^at)F(t)} = f(s-a);; ;)  γιατι το κανετε δυσκολο;
η μλκιες λεω;; :-\

Ε, οκ, έχεις δύο τρόπους. :)

Αν σου δίνει στο τυπολόγιο τον μετασχηματισμό του t*cos(ωt) προφανώς και βολεύει αυτός ο τρόπος. Αν δεν το ξέρεις τότε είτε τον υπολογίζεις πρώτα αυτόν είτε πας με το frequency differation του exp(...)cos(3t)

ή πιο απλα αφηνεις αυτο το θεμα και πας σε αλλο.... :P

ρε atalanta:
1)λες το ίδιο μ'αυτό που έγραψα κι εγώ και
2)καλός ο μουσλίμοβιτς.

υοπςς :D..σορρυ φιλε..οντως το ιδιο λες και συ..στο ποστ του γιωργου πηγαινε ομως...εκανα λαθος!!

εφοσον εχει παιξει στην αταλαντα θεος ο μουσλι!!! ;) ;D

Εχει λύσει μήπως κανένας το 5ο Θεμα του 2007 (Σεπ) ??

Σκέφτηκα να το κάνω με λαπλάς αλλα δεν πρέπει να δίνει αρχικές συνθήκες??

Καμια ιδέα???? :(

οκ ακυρο κατάλαβα πως λύνεται... :P

Όταν λέμε συνεχής λύση τι ακριβώς εννούμε?Οκτώμβριος 2007 1ο θέμα

υπαρχει μονο μια συνεχης λυση.
μπορει να υπαρχουν και μη συνεχεις.

+1 κι εμένα με μπέρδεψε αυτό βρήκα λύση αλλά δεν είναι συνεχή

Αν την έλυσε κάποιος και δεν βαριέται ας γράψει 2-3 λογάκια για την μεθοδολογία εύρεσης συνεχούς λύσης!

αργοτερα θα την κοιταξω

Σχετικά με το πρώτο θέμα του 2007 εγώ πιστεύω ότι λύνεται ώς εξής :

παίρνεις τον τύπο που αντιστοιχεί σε εξισώσεις τύπου dy/dx +P(x)y=Q(x)

και αντικαθιστάς για κάθε διάστημα του χ το Q(x)..

εξάλλου η διαφορίκη εξίσωση που δίνει είναι τμηματικά συνεχής αρα και η λύση της θα είναι το ίδιο...

Αν έχω λάθος διορθώστε με....

Thanks!

L-1{(3s+1)/(s^2+2s+17)} θεμα ιουνιου 2008 πως λυνεται? Ο παρονομαστης πως παραγοντοποιειται?

Για το

Έχεις:



Και από εδώ: http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Table_of_selected_Laplace_transforms (ζεύγη 8 - 9)






Δηλαδή προσπαθείς να σπάσεις το κλάσμα με τέτοιο τρόπο που να σου βγαίνουν τα ζεύγη του τυπολογίου. :)


Πώς φαίνεται ότι βαριέμαι να διαβάσω για MOSFETs και τα συναφή. ;D

ΠΟοΟο δεν μπορουσα να βγαλω μια ταυτοτητα! Θενξ! Τετοια ωρα βεβαια.. Τελευταια στιγμη παλι ψαχνομαι  :D

αυτο λύνεται με μερικές λύσεις yμ1 και yμ2?

(το ξέρω είναι απλο αλλα έχω κολλήσει...)

Γιώργο στη λύση που έβγαλες νομίζω ότι πρέπει να έχει 4τ στο όρισμα του ημιτόνου και του συνημιτόνου

3s+3-4 μας κανει 3s-1 οχι 3s+1....

Ε, οκ, έχει γίνει το μυαλό μου πουρές από τα JFETs. ;D









Καλύτερα; :P

χμμμμμμμμμ  παλουκάκι ή δεν είμαι αρκετά έτοιμος?

Μπα, με κάτι άλλα τρελά που 'χα δει στα Σήματα αυτά είναι ψωμοτύρι. :P

Η όλη στρατηγική είναι απλή: βλέπεις στο τυπολόγιο τι τύπους έχεις και το εκβιάζεις να έρθει σε μία από τις διαθέσιμες μορφές.
Δηλαδή εδώ αρχικά πειράζεις τον παρονομαστή: δεν έχει πραγματικές ρίζες, οπότε βλέπεις ότι είσαι στις περιπτώσεις 8, 9 της wikipedia.

Οπότε διαμορφώνεις κατάλληλα τον αριθμητή και το σπας. Βγάζεις κοινό παράγοντα το 3 από το 1ο, πολλαπλασιάζεις και το 2ο κλάσμα με 2 πάνω-κάτω ώστε να 'χεις 4 στον αριθμητή και αντιστρέφεις.

Simple and cute.

Η αλήθεια είναι πως ούτε και μένα μου φάνηκε το συγκεκριμένο παράδειγμα τόσο δραματικό,αλλά εφόσον έχουμε και τυπολόγιο,τα πράγματα απλοποιούνται κατά πολύ,σου δίνει μια κατεύθυνση!

Ξέχασα το τυπολόγιο  ;D, απλά σκέφτομαι στο Laplace πως αν μπλέξει πολύ αυτά που έχει
στις σημειώσεις του θα είναι δυσκολούτσικα.

Ξέρει κανείς πώς λύνεται το θέμα 7 απτα θέματα του Ιουνίου 2009??

Απτο φυλλάδιο της Κωνσταντινίδου π υπάρχει στο ethmmy,έχει λύσει κανείς απτην 22 άσκηση το v και το vi???Πλζ δε μπορώ να τα βγάλω.

Tα θέματα του ιουν. 2009 δεν μπορώ να τα δω γιατί είναι rar και δεν μπορώ να ανοίξω rar. Επίσης φυλλάδιο με ασκήσεις της Κων/δου δε βρήκα στο ethmmy.
Αν μου πεις τις εκφωνήσεις ακριβώς θα δω τι μπορώ να κάνω...

y = c₁e^xsinx + c₂e^xcosx

y' = c₁e^x(sinx + cosx) + c₂e^x(cosx - sinx)

y'' = 2c₁e^xcosx - 2c₂e^xsinx

y	exsinx	excosx
A=  y'	ex(sinx + cosx)	ex(cosx - sinx)
y''	2excosx	-2exsinx

H ΔΕ είναι ΙΑΙ = 0

Ομοίως και το 6

vi) x=3/2 p^2 + 2 p + c
y=p^2+p^3
kai sto v se parametriko sistima kataligo. tis liseis tis bgazei me apaloifh tou p isos, den ksero pos  :P

Ναι κ γω το φτάνω μέχρι ένα σημείο κ δν μπορώ να κάνω απαλοιφή του p..............

http://www.math.aegean.gr/Courses/ODE/odek02/Lagrange/ask2/ask2.htm
h lysh me lagrange bgainei etsi,tora ama breis tropo na diokseis to p kalitera...xwris apaloifi tha to dexontan nomizo

Lathos askhsh elysa  :-[

Απτην άσκηση 29 του φυλλαδιου της κωνσταντινίδου ξέρει κανείς πώς λύνεται η i,ii και iv?Επίσης για την 32 ποιο σκεπτικό ακολουθούμε?

επισησ απο το φυλλαδιο τησ κωνσταντινιδου απο την ασκηση 33 το i)πωσ λυνεται?

Μια απορια και απο μενα,για τις ασκησεις με fourier οταν μας λεει ο ποιητης να βρουμε την σειρα μιας f και μετα τη σηνυμιτονικη την ημιτονικη σειρα ιδιας f.....τι ενοει???

πχ ασκησεις 1.4 , 1.5 , 1.6 , 1.7 του ροθου απο ethmmy.

συνημιτονικη ειναι μια σειρα που αποτελειται απο συνημιτονα,για να αναπτυσσεται μια συναρτηση σε σειρα συνημιτονων πρεπει να ειναι αρτια,ωστε οι οροι Sfx*cosxdx =/ 0 και Sfxsinxdx=0 ωστε τελικα οι συντελεστες των ημιτονων να μηδενιζονται ενω των συνημιτονων να ειναι διαφοροι απο το μηδεν.Αντιστοιχα για τις ημιτονικες σειρες.Φανταζομαι οτι θα θελει να επεκτεινεις την συναρτηση πρωτα οπως κανει στην σελιδα 581

Σωστα αυτα που ειπες merlin αλλα τα ξερω ;),το θεμα ειναι οτι το ζηταει στην ιδια f,
δλδ εχεις την συναρτηση π-χ στο (0,π) και σου λεει να κανεις fourrier την f με περιοδο π,μετα την συνημιτονικη και ημιτονικη σειρα της με περιοδο 2π.

Οι ασκησεις ειναι αυτες του Ροθου απο το ethmmy και η αληθεια ειναι οτι δεν ειμαι σιγουρος για το πως ακριβως να αρχισω... :-\

αναφερθηκε και πιο πανω αλλα απο το φυλλαδιο της κωνσταντινιδου οι ασκ 32,33 πως λυνονται;;εχει η ομογενης ΔΕ μερικη λυση;;;; :( :(

σελιδα 25 απο σημειωσεις ροθου σχετικα με το επιπεδο φασης....γιατι το σχημα 2.2 ειναι ετσι???δεν θα μπορουσαμε να αντιστρεψουμε το ρολο τον διανυσματων που βρισκει παραπανω??

κανονικα και στη γενικοτερη περιπτωση σου δινει  το διαστημα. [-L,L]
Αν σου ζητα στο [0,L] τοτε ολοκληρώνεις απο 0 εως L και απλα πολλαπλασιάζεις με 2 εξω απο το καθε ολοκληρωμα. (Αυτα παπαγαλ όμως)

Επειδη δεν εχω τπτ καλυτερο να κανω αυτη την στιγμη,ας ανεβασει καποιος την ασκηση να σας δωσω τα φωτα μου  8)

Η 3η ασκηση απο συστηματα και laplace του ροθου πως λυνεται??
Αυτη με τους μεταβλητους συντελεστες??

στην σελίδα 315, παράδειγμα 7.6 μήπως υπάρχει τυπογραφικό λάθοσ στν αναλυση σε απλά κλάσματα? δηλαδή μήπως έπρεπε οι παρονομαστές να είναι s^2+9, s^2+9, s k s^2?