THMMY.gr

Καλησπερα συναδελφοι,

εχει κανεις καμια ιδεα για το πώς να προχωρησω στο δευτερο σκελος του πρωτου θεματος του Σεπτεμβριου 2009;

Ευχαριστω.

ειναι δ.ε. euler.
το λεει μεσα στο βιβλιο σελ 206.

Θενξ again

Εχει κανεις καμια ιδεα ( και θελει να τη μοιραστει μαζι μου  :P ) για το τι απανταμε στο τριτο ΘΕΜΑ του Σεπτεμβριου 2009 για την οριακη μορφη του οταν t-->oo;

Εκει που ρωταει αν υπαρχει περιπτωση να απειριζεται το Q(t) προφανως εννοει απο μαθηματικη σκοπια ετσι;

Στο πρώτο θέμα Σεπτ.2009 η 1η είναι Riccati σωστά?  :???:

ετσι πιστευω αλλα για να τη λυσουμε δε πρεπει να μας δινει και μια μερικη ως γνωστη ???? :-\

ειδα ομως οτι η y1=x την ικανοποιει την εξισωση ,αρα δεχομαι αυτη ωσ πρωτη μερικη.... :???:

Κι εγώ έτσι το έκανα!

Θέματα Ιουνίου 2008:
1. Άσκηση 1: Τι είναι αυτός ο ολοκληρωτικός παράγοντας μ; Euler;  :???:
2. Άσκηση 6, β: Τι κάνουμε; Για ανάλυση σε απλά κλάσματα μου φαίνονται πολύ μπελαλίδικα τα νούμερα  :-\

Σελίδες 85-89

Θεματα ιουνιου 2009:

στο 7α πως μετασχηματιζετε σε συστημα πρωτης ταξης αυτο;

Θέματα Ιουνίου 2009:
Θέμα 4:  :(

Θέμα 1 Ιουνίου 2009: Δεν είναι Bernoulli?

Θέμα 3 α) Ιουνίου 2009: Η απάντηση είναι xe^3x(Axcos2x+Bxcos2x)?

Απορία: Πως γίνεται μια μιγαδική λύση να είναι πολλαπλότητας μεγαλύτερης του... 1?   :???:

Θέμα 1. Ναι είναι Bernulli

Μπορεί με κάποιο τρόπο μια ολόκληρη δευτεροβάθμια εξίσωση που σου δίνει μιγαδικές λύσεις να είναι υψωμένη σε μια δύναμη. Οπότε οι λύσεις αυτές είναι κάποιας πολλαπλότητας μεγαλύτερης του 1.

Απο τον τύπο 9.17 σελ.159 μπορείς να βρείς άλλη μια λύση της ομογενούς και μετά εφαρμόζεις μέθοδο Lagrange σελ.162-165.  :o

Έγινε, thanks. Όσον αφορά την απάντηση στο 3.α) κάτι?

ok thanks, δε διάβασα Lagrange  ^rollover^


Νομίζω ότι είναι y(μερική)=(π(x)cos(2x)+φ(x)sin(2x))e^3x
όπου π(x), φ(x) ακέραια πολυώνυμα 1ου βαθμού (όπως το x)
κ χωρίς το bold

To x το έβαλα γιατί το 3+2i είναι ρίζα της χαρακτηριστικής.

+1  :-\

Ρε παιδια εβλεπα τα θεματα του Οκτωβριου 2007 και μου ηρθε να βαλω τα κλαματα... Λετε να μας παει ετσι αιμα??  :-\ :'(

νομίζω πρέπει να κοιτάξεις στις μηχανικές ταλαντώσεις, πολλά m1,m2,k1,k2....

Do you feel lucky punk?  :D

Ας ελπισουμε πως οχι!

Μπορει καποιος να  δωσει καμια ιδεα για το πρωτο θεμα ιανουαριου του 99....
((y')^1999)-y'+2=0

οι παράγωγοι στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές ανά τέσσερις παραγώγους

δηλαδή (ημχ)⁽⁴⁾=ημχ κοκ

άρα 1999/4=3 και τη μετασχηματίζεις σε y'''-y'+2=0

 :)


τρομακτική βλακεία. παρακαλείσθε όπως απομακρυνθείτε αμέσως.

thnx
πως καταλαβαινουμε εδω ομως οτι προκειται για τριγωνομετρικη συναρτηση ?

τι να σου πω...κι εμένα φλασιά μου ήρθε. επίσης μπορεί να μην είναι αυτή η λύση, γιατί ως πολυώνυμο έχει άθλιες ρίζες. Δε νομίζω να έβαλαν κάτι τέτοιο σε εξετάσεις και να ήθελαν αυτήν την υλοποίηση.

όχι δεν είναι.. :P

εφόσον δεν σου δίνει μία λύση.. είναι κάτι άλλο..

προσπάθησε να την δεις ως ομογενή πρώτης τάξης (και δευτέρου βαθμού).. y' = g(y/x)

τα υπόλοιπα τα λέει το βιβλίο θεωρίας. :)

θεσε οπου y'=p και παραγωγισε ως προς x
μετα πες οτι ή dp/dx=0 ή 1999p¹⁹⁹⁸-1=0
και βγηκε. ;)

Τότε δεν ξέρω να κάνω πράξεις ;D

Έχεις δίκιο. Ο τρόπος λύσης με την μερική λύση y1=x (ως Riccati) που φαίνεται να την επαληθεύει είναι λάθος?

Seems nice to me :)

Ναι, αλλά:
1) δεν ξέρεις αν υπάρχει δεύτερη παράγωγος της y (δεν ξέρεις αν παραγωγίζεται η p)
2) ακόμη κι αν το ξέρεις, παίρνοντας dp/dx = 0, ισχύει p=c και αυτό το c πρέπει να το υπολογίσεις. Έλα όμως που δεν υπολογίζεται (βγαίνει ένα πολυώνυμο του c 1999ου βαθμού).

Ρε παιδιά σόρρυ αλλά νομίζω ότι πρόκειται για ειδική μορφή διαφορικής εξισώσεως... Έχω την εντύπωση ότι ειναι εκτός...

τιποτα απο αυτα που αναφερεις δεν ειναι προβλημα. το c αφου δε σου δινει αρχικες συνθηκες το αφηνεις οπως ειναι και το p το παιρνει σε ολες τις διαφορικες ως δεδομενο οτι εχει παραγωγο εκτος και αν σου λεει οτι δεν εχει αλλιως το λυνεις οπως σου ειπα.

Παιδια θεματα Ιουνιου 2008, Θεμα 3β το ειδε κανεις? Ευκολο ειναι αλλα καπου κολαω  :-\

Eδιτ: Και το 5 αν ειδε κανεις να πει την αποψη του πλζ  :P

Βασικα επειδη και μενα το πρωτο πραμα που μου ηρθε στο μυαλο ειναι αυτο στη σελιδα 33 ( και το ελυσα φτειαχνοντας μια συναρτηση g(y/x) ) αυτο δε σημαινει πως η εξισωση που δινεται δεν ειναι μια εξισωση Riccati, επειδη δε μας δινεται μια μερικη λυση. Εφοσον η μορφη της συναρτησης συμφωνει με αυτο που ονομαζουμε δ.ε. Riccati ( Β σελ 56 ) τοτε αυτη ειναι μια δ.ε. Riccati!

Εγω νομιζω πως οι δ.ε. Riccati ειναι ειδικη περιπτωση των ομογενων διαφορικων εξισωσεων 1ης ταξεως

Θεματα ιουνιου 2009:

στο 7α πως μετασχηματιζετε σε συστημα πρωτης ταξης αυτο;
 :'( :'( :'(

το 5 ειναι αντικατασταση στους τυπους Fourier.

και το 3β γραφετε y''+9y=4sin2x+2cos3x
και βρισκεις τη γενικη λυση και δυο μερικες λυσεις
η μια για 4sin2x και η αλλη για 2cos3x αλλιως πηγαινε στο
κεφαλαιο 5 εχει κατι τυπους αλλα πιστευω οτι αυτο ειναι πιο ευκολο.

Το c κανονικά δεν πρέπει να το αφήσεις όπως είναι, γιατί λύνεις διαφορική εξίσωση 1ης τάξης ΑΣΧΕΤΑ αν αναγκάζεσαι να καταφύγεις σε εξίσωση 2ης τάξης (παραγωγίζοντας) για να τη λύσεις. Οπότε η τελική λύση πρέπει να έχει μία αυθαίρετη σταθερά και όχι δύο.
Τώρα για το άλλο, εντάξει, δεν ξέρω.

Θεματα Ιουνίου 2010 (γιατι και αυτα παλια ειναι πια!)

Το Θέμα έλεγε προσδιοριστε με την μεθοδο των δυναμοσειρων τη λυση στο προβλημα αρχικων τιμων και εδινε τις τιμες στο μηδεν. Μπορουσαμε η οχι να χρησιμοποιησουμε σειρα Taylor?

Οταν τον ρωτησα μου ειπε ναι.
(κανεις δεν σου εγγυαται ομως οτι το θυμαται)

Τhx Τσαι-Borg (ή αν προτιμάς Hugh!) Τοτε δεν καταλαβαινω γιατι πηρα μοναδα αφου ελυσα και το θεμα των δυναμοσειρων!

Κ εγω αυτο αναρωτιεμαι αν και δεν θυμαμαι αν ελυσα με taylor την ασκηση.
Ρωτησα τον ροθο αν εχουν βγαλει ωρες που μπορουμε να δουμε τα γραπτα και ειπε οτι επειδη οι διδασκοντες λειπουν εκτος θεσσαλονικης δεεεεεεεεν....



ομορφα πραγματα.

Μπορει καποιος να μου πει πώς θα βρω τη μερικη λυση στο c Θεμα 2 Ιουνης 2010;

Αν  και  δεν  είμαι σίγουρος  θα σου πω  αυτό  που  έκανα  εγώ  (όχι  την  ημέρα  των  εξετάσεων  σπίτι με  ανοικτό  βιβίο  :) :))
1ον  την  μερική  λύη  την  σπας  σε  2  μέρη και για  το  κάθε  μέρος  μέρος εφαρμοόζεις  την  μεθοδολογία  σε  247  περίπτωση 2η και συγκεκριμένα  τον  τύπο  4.12. Αποτέλεσμα  δεν  έχω  δεν  το  έλυσα! Πάντα  με  άθε  επιφύλλαξη!!!

ναι κοιτα αυτο που λες το βρισκω λογικοφανες ( αρχη της υπερθεσης των λυσεων, σαν τα κυκλωματα ενα πραμα που σπας τις dc kai tis ac πηγες και μετα τις προσθετεις παλι )

και το σκεφτηκα και γω ειναι αληθεια. υπαρχει ομως και καπου μεσα στο βιβλιο;  :-\ Ή λεμε μαλακιες και θα τριζουν τα κοκκαλα των μεγαλων μαθηματικων;

Η αρχη της υπερθεσης των λυσεων υπαρχει στο βιβλιο στις σελιδες 154-155

ακριβης/πληρης ΔΕ ( Β Σεραφειμιδη σελ 74 )

μοιαζει με ομογενη δε 1ης ταξεως, ΔΕΝ ειναι ομως!  ;)

Το Θέμα έλεγε προσδιοριστε με την μεθοδο των δυναμοσειρων τη λυση στο προβλημα αρχικων τιμων και εδινε τις τιμες στο μηδεν. Μπορουσαμε η οχι να χρησιμοποιησουμε σειρα Taylor?


Ολες οι ασκησεις που εχει το βιβλιο με σειρα Ταυλορ ειναι στο μηδεν. Και επισης η σειρα γυρω στο 0 ειναι η Maclaurin .

παιδιά έχει λύσει κανένας το πρώτο πρώτο θέμα του ιουνίου 2010?

Το οτι ειναι πληρης βγαινει σχετικα ευκολα,απλα χρησιμοποιεις οτι 1/2cos(2xy)=cos(xy)sin(xy)

Μετα για γενικη λυση λινεις το υπεροχο ολοκληρωμα.

1/2 * sin(xy) θες να πεις :P :D

1/2 sin(2xy)= cos(xy)sin(xy) εννοω^^. Στο τελος το αντικαθιστας οταν σου χρειαζεται.

Συναδελφοι, μπορει καποιος να γραψει τη σειρα Fourier ( ημιτονικη ) που προκυπτει στο Θεμα 6 Ενοτητα 2 Ιουνης 2010;

Κι εκει που λεει να μελετησετε τη συγκλιση της σειρας, τι εννοει;  :???: :???:

Μηπως θελει να του γραψουμε τι γινεται με τα σημεια ασυνεχειας; Γιατι βλεπω και ανοιχτο διαστημα

edit: Β Σεραφειμιδη σελ 586 παραδειγμα 5.4 περ (ιιι)

Αν πας να λύσεις το ολοκλήρωμα...ασ'το καλύτερα!Είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσεις τη μέθοδο ομαδοποίησης όρων σελ 84...Με μια προσεκτική ματιά και δοκιμές σου βγαίνουν διαφορικά και βρίσκεις όπως στο παράδειγμα 10.7 τη γενική λύση! ;) 

Ιουνιος 2010, Θεμα 2, το α :

Δεν παιζει να λυνεται μονο με τον κλασικο τροπο, με οριζουσες 4ης και 5ης ταξης.
Ξερει καποιος τι κολπο χρειαζεται για να μην κανουμε τοσες πραξεις?

Δεν έχει άλλο τρόπο, γράφε!!!  :D











πλακίζω

αν γνωριζει κανεις τη λυση της 5α και 7α του ιουνιου 2010 θα βοηθησει πολυ

Αν κατάλαβα καλά, το θέμα που ζητάει ο damoirid είναι εκείνο που ζητάει να βρεθεί η χαρακτηρηστική εξίσωση έτσι; Σε αυτό πάντως θα μπορούσε κάποιος να πει πως η μερική λύση που δίνεται, είναι μια ειδική περίπτωση της ακόλουθης μορφής γενικής λύσης:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?y(t)%20=%20A%20+%20B%20e^x%20+%20C%20e^{-x}%20+%20D%20x%20e^{-x}%20+%20E%20sin(x)%20+%20F%20cos(x))

Αυτό σημαίνει πως οι ποσότητητες {0,+1,-1,+i, -i} θα είναι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης και μάλιστα η -1 θα πρέπει να είναι διπλή ρίζα. Επομένως η χαρακτηρηστική εξίσωση θα είναι:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?s(s-1)(s+1)^2(s^2+1)=0)

Μήπως  το  Α  προέρχεται  από  ρίζα  το  0  επομένως  c*e^0=c=A ??
  άρα


ΧΕ  s(s-1)(s+1)^2(s^2+1) ??

παιδια ξερει κανενας πως λυνετε η τελευταιι του Ιουνη 2010? (Laplace)

kkostorp  έχεις δίκιο! Μου ξέφυγε ο σταθερός όρος (αυτός στις συνηθέστερες περιπτώσεις προέρχεται από τη διέγερση αλλά εδώ η δ.ε. είναι ομογενής - τί σου είναι η συνήθεια! ;) ), θα διορθώσω το post! thanx!

και γω ετσι το ελυσα, ποιος ομως δε μας λεει οτι υπηρξαν σταθερες c τις οποιες πηραμε 0; μ αυτον τον τροπο βγαινουν παρα πολλες χαρακτηριστικες εξισωσεις!

στην περιπτωση μας που εχουμε μονο συνημιτονο και οχι ημιτονο τοτε ποια ριζα της αντιστοιχει?Παλι +i,-i?

Δες το αρχείο που ανέβασα(έχει ξαναανέβει στο forum!)...Να θυμάσαι πως χρησιμοποιείται ο τύπος του Laplace όταν έχεις μη σταθερούς όρους και επίσης το σημείο που παίρνει όριο για να φύγει κάτι που θα σε "ζόριζε"... :)

Πάλι θα πάρεις και τις 2...Απλά κατά την ανάλυση Asinx+Bcosx ο ένας απ τους 2 σταθερούς Α,Β είναι 0...Αυτό όμως δεν επηρεάζει εσένα!

σ'ευχαριστώ πάρα πολύ φίλε μου!

ξερει κανεις πως λυνεται το θεμα 2α Ιουνιου?  (χαρακτιριστικη εξισωση απο μερικη λυση)

^shout^    Τα προηγούμενα  ποστ  γαι  αυτό μιλάνε   

ουυυπς

Πράγματι Antiλογε υπάρχουν πολλά συστήματα ανώτερης τάξης τα οποία αν οδηγηθούν σε κατάλληλες αρχικές συνθήκες, να εκδηλώσουν μόνο ένα τμήμα της πλήρους συμπεριφοράς τους και να συμπεριφερθούν σαν συστήματα χαμηλότερης τάξης (έχοντας μηδενικούς συντελεστές στους όρους που αντιστοιχούν στις άλλες ρίζες τις χαρακτηριστικής). Το σημαντικό όμως είναι πως οι πέντε αυτές ρίζες πρέπει να είναι παρούσες στην χαρακτηριστική εξίσωση (με τον συγκεκριμένο τρόπο μάλιστα), διαφορετικά δεν μπορεί να εκδηλωθεί η συγκεκριμένη συμπεριφορά. Η παραπάνω χαρακτηριστική είναι η απλούστερη δυνατή (η χαμηλότερης τάξης) και υπό αυτή την έννοια θα μπορούσες να την πεις μοναδική αλλά σίγουρα, αν δεν ληφθεί υπ' όψιν η ελαχιστοποίηση της τάξης, δεν είναι η μόνη!

καποιος την 5α παρακαλω???...ιουνιος 2010

Wronsky <> 0 και  νομίζω  πως  ισχύει  για  κάθε  t.
Έπειτα  (Α-λ1*Ι) Χ1 =0 και  (Α-λ2*Ι)*Χ2 = 0

την οριζουσα μπορεις να την αναπτυξεις λιγο γτ μπερδευομαι με τα αναστροφα διανυσματα?Ευχαριστω!

Γιατι παιρνει το συγκεκριμενο οριο και οχι καποιο αλλο; Επισης στο τελευταιο Θεμα ( Laplace ) με το που παιρνω αυτο το οριο μου βγαινει κανονικα 0 οποτε το c το κουβαλαω μαζι μου.  :(

Για το θέμα 5α (Ιούνιος 2010), όταν είναι γνωστά τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοτιμές ενός γραμμικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων, η γενική λύση μπορεί να προκύψει άμεσα. Για τη συγκεκριμένη περίπτωση, όπου οι ιδιοτιμές είναι απλές και πραγματικές, αν δεν κάνω κάποιο λάθος, η λύση θα είναι:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{x}(t)=C_1%20\vec{v}_1%20e^{\lambda_1%20t}%20+%20C_2%20\vec{v}_2%20e^{\lambda_2%20t})

Με C1 και C2 αυθαίρετες σταθερές. Αυτό διακολογείται σχετικά γρήγορα, χρησιμοποιώντας το γεγονός πως τα v1 και v2 είναι ιδιοδιανύσματα με αντίστοιχες ιδιοτιμές λ1 και λ2, καθώς και το ότι τα εκθετικά (τα οποία παρεμπιπτόντως είναι και γραμμικώς ανεξάρτητα) απορροφούν τους ρυθμούς τους κατά την ολοκλήρωση:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20\vec{x}(t)=%20C_1%20A%20\vec{v}_1%20e^{\lambda_1%20t}%20+%20C_2%20A%20\vec{v}_2%20e^{\lambda_2%20t}%20=\\%20~~~~~~~~~~~~~=C_1%20\lambda_1%20\vec{v}_1%20e^{\lambda_1%20t}%20+%20C_2%20\lambda_2%20\vec{v}_2%20e^{\lambda_2%20t}%20=%20\\%20~~~~~~~~~~~~~=\frac{\mathrm{d}%20}{\mathrm{d}%20x}\left(%20C_1%20\vec{v}_1%20e^{\lambda_1%20t}%20+%20C_2%20\vec{v}_2%20e^{\lambda_2%20t}%20\right)%20=%20\frac{\mathrm{d}\vec{x}(t)}{\mathrm{d}%20t})

Αυτή η σχέση, όμως, νομίζω πως είναι γνωστή. Η γενική λύση, λοιπόν, προκύπτει κατευθείαν και θα είναι η:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{x}(t)=C_1%20\begin{bmatrix}%201\\%201%20\end{bmatrix}%20e^{3%20t}%20+%20C_2%20\begin{bmatrix}%201\\%20-2%20\end{bmatrix}%20e^{-2%20t})

Το πεδίο φάσεων μπορεί να καθοριστεί από τα ιδιοδιανύσματα και να προσανατολιστεί από τα πρόσημα των ιδιοτιμών που δίνονται.

Τέλος, για τη εξεύρεση του πίνακα A, χρειάζεται να ανατρέξει κανείς στη περιοχή της γραμμικής άλγεβρας η οποία συνδέει τα ιδιοδυανίσματα και τις ιδιοτιμές με τον πίνακα από τον οποίο έχουν προκύψει - το αντίστροφο του προβλήματος της εύρεσής τους.

Η επίλυσή του, οδηγεί στη σχέση:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20=%20\begin{bmatrix}%20\vec{v}_1%20&%20\vec{v}_2\end{bmatrix}%20\begin{bmatrix}%20\lambda_1%20&%200\\%200%20&%20\lambda_2%20\end{bmatrix}%20\begin{bmatrix}%20\vec{v}_1%20&%20\vec{v}_2\end{bmatrix}^{-1})

όπου ο [v1 v2] είναι ο πίνακας με στήλες τα ιδιοδιανύσματα v1 και v2. Μια αρκετή σύντομη, δικαιολόγηση αυτής της σχέσης είναι η εξής:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20\begin{bmatrix}%20\vec{v}_1%20&%20\vec{v}_2\end{bmatrix}%20=%20\begin{bmatrix}%20A%20\vec{v}_1%20&%20A%20\vec{v}_2\end{bmatrix}%20=\\%20~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\begin{bmatrix}%20\lambda_1%20\vec{v}_1%20&%20\lambda_2\vec{v}_2\end{bmatrix}%20=%20\\%20~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\begin{bmatrix}%20\vec{v}_1%20&%20\vec{v}_2\end{bmatrix}%20\begin{bmatrix}%20\lambda_1%20&%200\\%200%20&%20\lambda_2%20\end{bmatrix}\Leftrightarrow%20\\%20~~~~~A%20=%20\begin{bmatrix}%20\vec{v}_1%20&%20\vec{v}_2\end{bmatrix}%20\begin{bmatrix}%20\lambda_1%20&%200\\%200%20&%20\lambda_2%20\end{bmatrix}%20\begin{bmatrix}%20\vec{v}_1%20&%20\vec{v}_2\end{bmatrix}^{-1})

Για να γίνει το πρώτο βήμα, αρκεί να παρατηρηθεί το πως δομούνται οι στήλες κατά τον πολλαπλασιασμό δύο πινάκων, π.χ.:η πρώτη γραμμή του πρώτου με την πρώτη στήλη του δευτέρου, η δεύτερη γραμμή του πρώτου με την πρώτη στήλη του δευτέρου κ.ο.κ. Αυτό όμως είναι το γινόμενο του πρώτου πίνακα με την πρώτη στήλη του δευτέρου. Όσον αφορά το δεύτερο βήμα, εξηγείται εύκολα με την ερμηνεία του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα Μ με έναν άλλον P από δεξιά. Η κάθε στήλη του P καθορίζει το πως θα αναμιχθούν οι επιμέρους στήλες του Μ, ώστε να παραχθεί η αντίστοιχη στήλη στον M*P. Έτσι, λοιπόν, στην παραπάνω σχέση, η πρώτη στήλη του διαγωνίου πίνακα ερμηνεύεται λέγοντας πως στην πρώτη στήλη του αποτελέσματος θα συμμετέχει (αθροιστικά) η πρώτη στήλη του [v1 v2] πολλαπλασιαζόμενη με λ1 και θα απουσιάζει η δεύτερη (αυτή η ερμηνεία προκύπτει βλέποντας πως διαμορφώνονται τα αθροίσματα κατά τον πολλαπλασιασμό).

Αντικαθιστώντας, λοιπόν, σε αυτή τη σχέση, ο A θα είναι:
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}%204%20&%205%20\\%2010%20&%20-1%20\end{bmatrix})

θεματα Ιουνιου 2010 το 2α πως λυνεται ρε παιδια? :-\

^shout^ Κοίτα  μία  σελίαδα πριν... ^banghead^

Στις σημειώσεις του Ρόθου εξηγεί γιατί παίρνεις το όριο...Δες το συννημένο...Τώρα για το όριο εμένα μου βγαίνει άπειρο...Σου επισυνάπτω το όριο που βγάζω...Τώρα αν είναι σωστό δεν ξέρω! :-\

Eγω εχω βγαλει αλλη Υ(s)... Και το οριο για τη δικια μου Y(s) otan s-->OO βγαινει 0 για καθε c... Τελος παντων, τετοια ωρα τετοια λογια  ^crazy^ ^crazy^ ^mad^

Στο θέμα 2c του Ιουνίου για να πάρω τη μερική λύση της μη ομογενούς για τη συνάρτηση 3e^(2x)*x πρέπει να αναλύσω σε απλά κλάσματα τα πολυώνυμα των διαφορικών τελεστών ή μου ξεφεύγει κάποια ιδιότητα ;

Δες τα παραδείγματα 4.2 και 4.11...Στο θέμα 2c θα σου βγουν 2 όροι...Ο πρώτος θα έχει το e^x και ο 2ος το e^2x...Για τον πρώτο λύνεις όπως το πχ 4.2 χρησιμοποιώντας εκείνο τον τύπο θεωρώντας ως F1 το (D-2)^3...To 2o θέλει λίγη ώρα γιατί πρώτα αντικαθιστάς σύμφωνα με την ιδιότητα όπου D το D+2,έπειτα υπολογίζεις το [1/(D^3)]x και μετά μένει να κάνεις μία ανάλυση-διαίρεση του 1/[(D+1)^2], όπως σελ 259... :D Τώρα αν μπορεί να βγει και πιο γρήγορα δεν ξέρω! :P

Guys που έχει λυμένες ασκήσεις ο Ρόθος? Thx

εγω στις σημειωσεις του ειδα καποια λυμενα παραδειγματα. μετα σιγουρα θα εκανε παραδειγματα και κατα τη διαρκεια του εξαμηνου ( οποτε χρειαζεσαι σημειωσεις φετινες απο αμφιθεατρο )

Χμ δεν έχει τπτ σημειώσεις από blackboard ή κάτι τέτοιο?

εχει σημειωσεις eTHMMY και ειναι και πολυ καλες μαλιστα!

Τις διάβασα αλλά δεν είδα πολλές λυμένες ασκήσεις. Σε μερικές φάσεις αναφέρει μάλιστα (βλ λυμένες ασκήσεις).

θεμα Ι-2010
7b)

Το Π.Α.Τ. πως λύνεται? Και γενικά όταν εχει t μέσα τί κανουμε ?

Τρίκαλες. Ούτε τα σχήματα των παραδειγμάτων στη σωστή θέση δεν έχει. Δε μπορούν που δε μπορούν, δε μας αφήνουν να διαβάσουμε και μόνο το βιβλίο (που είναι καλό) σαν άνθρωποι. Τέλος πάντων...

+1

Παίδες μήπως ξέρει κανείς πως λύνεται το Θέμα 5b Ιουνίου 2010???

Δες εδώ τη θεωρία...Σύμφωνα με τη θεωρία για να έχεις ασταθή εστία πρέπει δ>0,τ^-4δ<0 και τ>0...Στο παράδειγμά μας έχουμε δ=det=5+c^2 που είναι πάντα θετικό και  τ=tr=5+1=6>0...Οπότε αρκεί απλά ,τ^-4δ<0,απ' όπου και βρίσκεις τις τιμές που παίρνει το c! ;)

ρε σεις ας πειτε τι ακριβως κανουμε..εχω κολλησει...τον ιουνη το χα λυσει αλλα δεν θυμαμαι πως...ελεος....

Και εγώ έχω βγάλει άλλη Υ(s).  Συγκεκριμένα Υ(s)=c/s^2 + 2/s

Από τη στιγμή που βγαίνει 0 για κάθε c μπορείς να κουβαλήσεις το c στο χρόνο (αντίστροφος μετασχηματισμός laplace) και μετά με τις αρχικές συνθήκες που σου δινεί να το προσδιορίσεις.

Πιο πάνω έχει απαντήσει κάποιος να δεις το παράδειγμα 10.7 σελ. 84. Για να μην κάνεις το ολοκλήρωμα. Και ο κ. Κανάκης σε κάτι ανακοινώσεις που είχε βγάλει έλεγε ότι με το ολοκλήρωμα τα πράγματα δεν πήγαιναν καλά.

δεν λεω γιαυτο....στην αρχη κολλαω...δεν μπορω να βρω τις μερικες παραγωγους ισες... :D :D

ΟΚ θενκς φίλος! το trace τι είναι όμως??

Αντικατέστησες το sin^2 από τον τύπο με (1-cos2α)/2?Αν το έκανες δεν έχει κάτι άλλο πολύπλοκο...Απλά μη μπερδέψεις καμιά παράγωγο! :)

το trace (ιχνος) ειναι το αθροισμα των τιμων τις διαγωνιου....

αυτο το κανω απο την αρχη??πριν παρω μερικες η οταν βγει στις μερικες το αντικαθιστω??
λογικα το 1ο ε?

Είναι το άθροισμα των στοιχείων της κυριας διαγωνίου...Το είχαμε συναντήσει στη γραμμική άλγεβρα... ::)

Γιουπι! Ή σωστα το καναμε και οι δυο, ή το ιδιο λαθος καναμε! Παντως δεν ειμαι μονος! Εν ολιγοις και γω το ιδιο βρηκα  ;)
Αν προσπαθησεις να βρεις το c απο τις αρχικες συνθηκες, η πρωτη επαληθευεται για καθε c, ενω η δευτερη δεν επαληθευεται  :(

Αυτο βεβαια δε σημαινει οτι καναμε κατι λαθος, απλως η y΄(t) ειναι ασυνεχης στο σημειο 0

Δε δοκιμαζεις τα λεγομενα μου να μου πεις και συ τη γνωμη σου; Ας πουμε τον αντιστροφο μ/σ Laplace της Y(s) ποσο τον βγαζεις;

οκ απλά δεν κατάλαβα για ποιό παράδειγμα μιλούσες και μπερδεύτικα.

Πριν καλύτερα γιατί μετά θα χαθείς!

χαθηκα... ;D ;D ;D

οκ...ευχαριστω....

Ε δε μπορείς να πεις ότι y(t)=ct + 2

y'(t)=c οπότε c=-4

ειχα κανει βλακεια στην αντιστροφη οποτε δε μ βγαιναν... θενξ  ;)

το θεμα 4 του 2010 ξερει κανεις πως λυνεται?ευχαριστω

δεν ειμαι σιγουρος...προσπαθησα να το λυσω αλλα μου βγηκε στο ολοκληρωμα -P(x)...τεσπα...ειπα οτι αν η μια ριζα ειναι η Υ1 τοτε η Υ2 ειναι συμφωνα με τον τυπο 9.17 σελιδα 159....ε μετα τα εβαλα στη οριζουσα W και εκανα πραξει..αλλα βγηκε - ...πιθανοτατα ειναι λαθος αλλα δεν ξερω αλλο τροπο..

ναι, κι εγω νομιζω οτι λειπει ενα μειον. αλλωστε ειναι λυμμενο και στο βιβλιο, δεν αφηνει και πολλα περιθωρια

ωχ...που ειναι λυμενο?ειμαι χαζος??

Β σελ 150-151

εδιτ: και guest star η σελ 46  :D

Σύμφωνα με αυτή την απόδειξη λύνεται και δεν λείπει (-) απο το αποτέλεσμα

πως ειναι δυνατον να χρειαζεται τν τυπο στη 47 αφου ειναι για 1ης ταξης...?

Τι εννοείς, αφού προκύπτει διαφορική 1ης τάξης με y=W

Θα με λωλανετε κι οι δυο σας; Κι εκει που νομιζω οτι κατι εμαθα...


εσυ εξηγα ( αν εχεις την ευγενη καλοσυνη  :) )


κι εσυ... βρε συ την σελ 46 στην εβαλα για τη σχεση (7.44)! 1ης ταξης δεν ειναι κι αυτη;  :D

μπερδευτηκα πραγματικα....di_em πλζ εξηγησε ρε συ μια και το καταλαβες....

Επιστρέφω σε 2 λεπτά με απάντηση.

Edit: Αντίλογε, μάλλον έχεις δίκιο, πρέπει να λείπει ενα (-)... ζητώ συγγνώμη για την... παραπλάνηση :P

Λοιπόν, σελ. 150 ακολουθείς την απόδειξη μέχρι τον τύπο 7.43. Προφανώς πρόκειται για μια Ομογενή Δ.Ε 1ης Τάξεως της οποίας η λύση δίνεται απο τον τύπο 4.4 σελ. 46.

Λοιπον...πριν τα παρω στο κρανος. Που ακριβως στις ροθο-σημειωσεις υπαρχουν τυποι με διακρινουσα και ιχνος για να βρεις ευσταθη/ασταθη εστια ; εγω που τις διαβασα πριν ενα τεταρτο,ΠΟΥΘΕΝΑ. Αρα ; τα παρεδωσε στην ταξη ; κι εγω που δεν πηγα την πουτσισα ;

ενταξει τωρα καταλαβα...(νομιζω...)
καλα οσο ασχολουμαι μετα θεματα του ιουνη τοσο λεω οτι ειναι εντελως απαλευτα....
ελεος πραγματικα...

στο θεμα το 5α...πως ακριβως βρισκουμε τον Α...τα αλλα τα ξερω....

εδιτ:στο 2ο ερωτημα δεν ψαχνω κανονικα το λ και απλα θα πρεπει να ειναι μιγαδικος αριθμος με θετικο το πραγματικο μερος?

Τη συγκεκριμένη θεωρία την είχε κάνει στα τελευταία μαθήματα ο Καλογερίδης...Επειδή όμως δεν πήγα,τον Ιούνη έλυσα αυτό το θέμα με άλλο τρόπο (βρίσκεις ένα τριώνυμο με ιδιοτιμές κλπ.) βρίσκοντας τα ίδια αποτελέσματα...Δεν ξέρω όμως κατά πόσο το θεωρεί σωστό!Οπότε καλύτερα μάθε αυτή τη σελίδα και γράψτα έτσι... :o

Αυτό θα έλεγα και εγώ τώρα. Στις σημειώσεις του όμως λέει ότι άν έχεις μιγαδικές ιδιοτιμές με α<0 τότε θα έχεις ευσταθή εστία οπότε υποθέτω πως μπορείς να το λύσεις και με το τριώνυμο όπως λες.

Καλογεριδης,Ροθος,Κανακης,Καππος,Κωνσταντινιδου κτλ. Η πληρης συνεννοηση (γμ την τυχη μου)

Αληθεύει δηλαδή ότι έκανε διαφορικές και ο Κάππος ? ? ? Να πάω για ύπνο αν είναι τότε. 

Χρησιμοποιείς τον τύπο P^-1AP=D=>A=P^-1DP, όπου P είναι ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων και D ο λεγόμενος διαγωνιοποιημένος.Επειδή λ1>0 και λ2<0 θα έχεις την περίπτωση σαγματικού σημείου και επομένως ο D (σύμφωνα με θεωρία Καλογερίδη) θα έχει στην κύρια διαγώνιο τις ιδιοτιμές και τα υπόλοιπα μηδενικά...Πάντως βγαίνει και χωρίς να χρησιμοποιήσεις αυτή τη θεωρία νομίζω απλά λύνοντας την x'=Ax όπου χ βάζεις τα ιδιοδιανύσματα και εξισώνεις με το 0...Αλλά ο πρώτος τρόπος διδάχθηκε οπότε έτσι να το κάνεις! :P

Σίγουρα βγαίνει και με το τριώνυμο...Απλά αν ξέρεις τι θεωρία βγαίνει πιο γρήγορα!Ίσως η θεωρία να προκύπτει απ' το τριώνυμο άλλωστε...

μαλιστα...ευχαριστω...βεβαια την θεωρια του καλογεριδη δεν την εχω παρακολουθησει αλλα τεσπα...

Σόρρυ για το προηγούμενο offtopic.

Να ρωτήσω και κάτι άλλο. Το 7α τι σκατά παίζει ;

Ποια απόδειξη είναι ;

και ο e^(At) δεν ορίζεται e^(At)=Φ(t)*Φ^(-1)(0) ;

οταν ρωταει για τη συγκλιση μιας σειρας φουριε ποια ακριβως πρεπει να ειναι η απαντηση μας (προφανως εχουμε βρει τα ορια στα σημεια ασυνεχειας...)

Σεπτεμβριος 2010,θεμα 1ο, α ερωτημα. Τι θετουμε στη συγκεκριμενη εξισωση ;  Ενα u καπως το οποιο δε θυμαμαι πλεον...

To ερωτημα β,ο εκθετης τι εχει πανω ; Μας προδωσαν τα pixels του κυριου Κακομοιρογλου

y=u*x.οσο για το δευτερο ερωτημα σου δεν μπορω να βοηθησω δε φαινεται τιποτα


στην ασκηση 3 τι εννοει μικρου βαθμου?πρωτου?

Πολυ σωστα,αυτο ειναι. Εκανα την πολυ πιο περιπλοκη αντικατασταση u=xy. Η συγκεκριμενη απαντηση που μου εδωσες βασιζεται σε καποιο σημειο της θεωριας ;

ομογενεις διαφορικες εξισωσεις σελ.33.

Kαι στο κομματι αυτο βασιστηκα για την τριτη εργασια...τι να πεις !

Are you mister Kanakis μηπως ; Η ακριβεια σου με τρομαζει  :P

Ευχαριστω

Θέματα 2007 Οκτωβρίου:

1. (α)

     
       

η συνεχής λύση της y(x)

1.(γ)





και η γενική λύση : y(x)=c1*y1+c2*y2+c3*y3

2. (α) Αποδεικνύεται με τον τύπο Abel για την ορίζουσα Wronski?

2. (b) K=3

3. (a) επειδή r1=1 και r2=i, άλλη μία λύση ανεξάρτητη προς την πρώτη προκύπτει από την yμ= 3*e^3 + 7sinx


όποιος μπορεί ας επιβεβαιώσει Pls..

θεμα 2 ιουνιος 2008?καμια βοηθεια?

Δε θελω να σε στεναχωρησω αλλα ειναι πανευκολο θεμα. Η επαληθευση γινεται απλουστατα,βαζεις την λυση στην εξισωση και η δευτερη ανεξαρτητη με τον γνωστο τυπο 9.21 της σελιδας 159. Αν δεις,το πρωτο πολυωνυμο εχει ριζες το 3 και το 1 οποτε θα μεινει στο μικρο ολοκληρωματακι επανω ενα χ-3 σε παρονομαστη,θα γινει ln[χ-3] θα φυγει με το e μπλα μπλα μπλα. Fingers crossed να πεσουν αναλογα αυριο (ναι καλα)

ναι το βρηκα τελικα δεν ειχα διαβασει τον υποβιβασμο..

παντως ελπιζω να βαλουν θεματα σε λογικα πλαισια και οχι τιποτα εξωπραγματικο..

Ιούνιος 2008 1ο θέμα...

ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι m(x)=e^{-1/2*x}

ή έχω κάνει λάθος στις πράξεις??

help pls

x^(-1/2) το βρηκα

Οκτ. 2007 3 (β)

η γενική λύση είναι :



σωστό?

έχεις δίκιο έχω κάνει λάθος thanks a lot

το τελικό αποτέλεσμα είναι :

f(x,y)= 2/5 *x^{7/2} +y^4 *x + 4/3 y^4

σωστό ?

οχι το βρηκα αρκετα διαφορετικο :D

Σ' αυτό το θέμα (Σεπτ. 2010 - Θέμα 1ο) τί παίζει με το τελικό ολοκλήρωμα με το u και τα lnu και lnx?
ποιά είναι η τελική εξίσωση που βγαίνει?
δε μου βγαίνουν τα ολοκληρώματα... (το ένα από τα δύο δλδ...)

edit επίσης στο ερώτημα 1.(β) ακριβώς από κάτω, η λύση είναι :

y(x)=(1/a)*e^{-x/a}

σωστό ή λάθος?

Υπάρχει ολόιδια άσκηση στην σελίδα 37 του βιβλίου :)

έχασα ένα (-) μάλλον
... θενξ

για το 1.β το έχω σωστό? ή πρέπει να κάνω κάτι που δεν πάει το μυαλό μου πέρα από την κλασσική παραγώγιση ως προς χ?

Ερώτημα 2.(β) από τα ίδια θέματα (Οκτ. 2010)

Η γενική λύση της ομογενούς :



και η γενική λύση της μη - ομογενούς (χωρίς τον προσδιορισμό των συντελεστών εφόσον δε το ζητάει :



σωστό?

*τα Κ(x), λ(x), V(x) είναι δευτέρου βαθμού ,G=σταθερά

εχει κανεις ιδεα για τα θεματα σεπτεμβριου 2010, στην ενοτητα 2, θεμα 4,το b?
πως θα βρουμε αν η κινηση ειναι αργη ή γρηγορη?
 

+1

για το θεμα του σεπτ 2010 οι ιδιοτιμεσ βγιανουν μιγαδικεσ με μηδενικο το πραγματικο μεροσ αρα εχουμε το πεδιο φασεων αποτελειται απο ελλειψεισ με κεντρο το 0.......η διευθυνση περιστροφησ εχω την εντυπωση βρισκεται με το παρακτω τροπ勤 σε ενα τχαιο σημειο πχ( βρισκουμε το διανυσμα τησ ταχυτητασ (οπωσ ειναι το συσημα Χ΄ =ΑΧ αντικαθιστουμε στο χ=(1
                                                                                0)    αρα η φορα θα ειναι ιδια με τη φορα αυτου του διανυσματοσ(δεξιοστροφη η αριστεροσροφη).......εχω την εντυπωση εδω ειναι με τουσ δεικτεδσ του ρολογιου..............τωτααν εβγαινε οτι το 0,0 θα ειναι ευσταθησ κομβοσ η ασταθησ τι εννοει με αργη γρηγορη κινηση σε περιπτωση κομβου δεν εχωιδεα :( αλλα περα απ το πεδιο φασεων με τισ παραβολεσ τι αλλο να θελει?????   
                                                                             

σε καποιο θεμα λεει λυσε τη (υ')^1999-(υ')+2=0      μηπωσ μπορει ν βοηθησει καποιοσ????

θεμα οκτωβριου 2007 ασκηση 3α..πως κανουμε την αντιστροφη διαδικασια απο τη συνηθη?δλδ δοσμενης μερικης λυσης να βρουμε την ομογενη δε στην οποια αντιστοιχει?
εχει σχεση με τελεστες η με τη χαρακτηριστικη της δε? :o

με τη χαρακτηριστικη τησ δε ..........βλεπεισ στη λυση τουσ συντελεστεσ των εκθετων του πχ αν εμφανιζεται στη χαρακτηριστικη θα υαπρχει (r-2) ..............akoma an emfanizetai sth xarακτηριστικη ayto shmαινει οτι η χαρακτηριστικη εχει τη 1 ριζα με πολλαπλοτητα 6 αρα στη χαρακτηριστικη θα εμφανιζεται ενασ οροσ (r-1)^6..................giα τα συνιμητονα ημιτονα σκεφτεσαι μιγαδικεσ ριζεσ...............για του 2007 συγκεκριμενα βλεπεισ e^x ara (r-1) kai ara sth xarakthristikh (r^2+1)
ara η χαραλτηριστικη το γινομενο των 2 προηγουμενων.........

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής που παίρνεις από τη μερική λύση που σου δίνεται είναι r=1 και r=(+/-) i

Η χαρακτηριστική εξίσωση : (r-1)(r^{2} +1)=0
καταλήγει στη μορφή : r^3 -r^2 +r - 1= 0
οπότε η ομογενής δ.ε. θα είναι : y'''-y''+y'-y=0

και η γενική λύση : yγεν= c1*e^{x} +c2* συνx + c3*ημx

παιδιά αυτό κανένας???  :-\

Ρε παιδιά.. πώς ολοκληρώνεται αυτό??  :-[ :???:
 ^seestars^

έτσι πρέπει να είναι..!

μμ οκ! thanks!!

Ιούνιους του 10. Η πρώτη άσκηση που δίνεται το τεράστιο κλάσμα, κανείς καμιά ιδέα ?

ακριβης

κανεις ομονυμα τα κλασματα,πας το u πανω στον αριθμητη και το ριζικο το γραφεις (1+u^2)^(-1/2) ,οποτε γραφεις και το u σαν d(1+u^2)/2 και βγαινει!

αύριο να κάτσεις δίπλα μου..

 ;D

btw zisis00 thanks για τις απαντήσεις...

μαθε τα επιπεδα φασεων και καθομαι διπλα σου!!

pandora τίποτα.. Μάλιστα αν θες μπορείς να μάθεις να επίπεδα των φάσεων και να κάτσεις δίπλα από την χριστίνα, η οποία θα κάθεται δίπλα μου :p

ευχαριστω πολυ!ειναι σαν ενα παραδειγμα που ειχε κανει ο κανακης μεσα στην ταξη ε? >:(

δεν ειναι ακριβης νομιζω αφου Py diaforo tou Qx

Κοίτα τότε μήπως επιδέχεται ολοκληρωτικό παράγοντα μ(y) ή μ(x).....

Ιουν 2010 εχω (r-1)(r^2+1)(r+1)^2  για τις λυσεις αλλα το 10 πως θα το αναπαραστησω?

Megapixel, εχω την εντυπωση οτι το e^0 δηλαδη ριζα το 0 θα σου δωσει στο γινομενο ακομα ενα σκετο r δηλαδη οτι ειχες επι το r. Με πολλη επιφυλαξη ομως!

ειναι σαν εχεισ αρα η χαρακτηριστικη θα εχει ριζα και το 0

σιγουρα βγαινει ακριβης απλα θελει να κανεις ολοσωστη παραγωγιση(ειναι τεραστια οκ) και να χρησιμοποιησεις καπιους τυπους τριγ/κους

Kαλα πλακα μας κανει η γιαγια? εγω θα λυνω 45 λεπτα με πιθανοτητα λαθους 90% για να παρω μια μοναδα?
Παμε καλα?

Επιβεβαιωνω... Ακριβης βγαινει... Ειναι το μονο θεμα που ελυσα περυσι :P Επιανε 1 μοναδα και πηρε πολληηη ωρα

ιουν 2010 2ο θεμα:
κανουμε υπερθεση, οταν g(x)=3*e^(2x)*x

πως το λυνουμε?

+1 ετσι ειναι!

ιουν 2010, θεμα 4 W εννοει Wronski?

Τα ημίτονα με τα συνημίτονα ποιες διαφορές έχουν?? ή θα βάλουμε το ίδιο??

Σεπτέμβρης 2010 - θέματα 2ης ενότητας

το laplace : τελικά βγαίνει : Fol=[u2(t) .cos (t-2)]* [e^{2t} .t]

Όπου το (*) συνέλιξη....

βλακείες κάνω ή έχει καμιά σχέση η λύση μου με την πραγματικότητα???  :P :P

edit/// βλακείες γράφω, δύο συναρτήσεις είναι.... απλά δε φαίνεται στη φωτογραφία...

Καλημέρα, αν μπορεί κάποιος να με βοηθήσει λίγο..Το θέμα 1.β του Οκτωβρίου 2010 αν φαινόταν πώς θα λυνόταν; Εννοώ θεωρητικά αν σου δίνει η άσκηση τη λύση εσύ πώς βρίσκεις την Δ.Ε;

εγώ έκανα μια απλή παραγώγιση ως προς αυτό που μου δίνει.... τώρα δεν ξέρω αν ισχύει...

κι εγώ αυτό έκανα..απλά μου φάνηκε πολύ απλό για να είναι πραγματικό.. :o

ki emena  :P αλλά δε βρήκα κάτι καλύτερο να κάνω  :P

νομιζω αυτο πρεπει να κανουμε το θεμα ειναι οτι πρπει να απαλειψεις εντελως το α και αντε να το βγαλεις απο το εκθετικο :P

μαλλον ειναι απο τις ειδικες μορφες η περιπτωση που εχεις συνδυασμο πολυωνυμου και μιας παραγωγου οποτε αφου βρεις τις ριζες του εστω υ'=α και υ'=β ειναι απο τη πρωτη υ=αχ+κ(κ:σταθερα) ομοιως και υ=βχ+κ αρα η γενικη λυση ειναι (αχ+κ)(βχ+κ)=0

Καλά αν βάλουν θέματα αλά Ιούνιος 2010  >:( >:( >:( >:( ^knuppel^ ^knuppel^ δεν με βλέπω καλά....
Στο θέμα 7 α (Ιούνιος 2010) πως θα αποδείξουμε αυτή την ηλίθια σχέση στο τέλος????  ^crap^ ^curses^ ^jerk^

Καλά εκεί έδωσε ρέστα ο ρόθος, είναι η απόδειξη για την εύρεση λύσης μη ομογενούς συστήματος με τη χρήση του θεμελιώδους πίνακα...είναι στη σελίδα 508..

Την παλεύουν καθόλου οι άνθρωποι??Ειλικρινά,είχαν βάλει δύο αποδείξεις στα ίδια θέματα??(η άλλη στου Κανάκη στο 4ο θέμα).Μήπως πρέπει να τους πούμε ότι δε κάνουν μάθημα στο Μαθηματικό αλλά στο Πολυτεχνείο??Γιατί μάλλον κάπου έχουν μπερδευτεί μου φαίνεται...

θεμα 2β 2010 εχει κανεις ιδεα πως δουλευουμε για να βρουμε τη μερικη λυση?

οσο αφορα ασκησεις με δυναμοσειρες μπορει καποιοσ να μου εξηγησει το βημα οπου απο τη μορφη αθροισματος γραφει την εξισωση σε δυναμεισ του χ?κοιταξα κ το βιβλιο κ δε βγαζω ακρη!ευχαριστω πολυ!

Στα download έχει ένα σύνδεσμο "Ασκήσεις λυμένες" από κάποιον george_d.Αυτές οι ασκήσεις από που είναι; :-\

Κάνεις shift τα αθροίσματα έτσι ώστε να περιέχουν δυνάμεις του x^n όχι του x^(n-1). Π.χ.

Αν είναι Σ από n=2 έως άπειρο του n * (n-1) aⁿ x^n-2 τότε θέτεις

n  = n + 2. Ώπου υπάρχει το n βάζεις n+2. Και γίνεται.

Σ από n+2 = 2 έως άπειρο του (n+2)(n+1)a_n+2x^n+2-2 <=>

Σ από n = 0 έως άπειρο του (n+2)(n+1)a_n+2xⁿ

Θέτεις ανάλογα για κάθε άθροισμα.

Αφού υπάρχουν μόνο δυνάμεις του xⁿ, βλέπεις πιό άθροισμα έχει την μεγαλύτερη αρχή, το μεγαλύτερο n. Τα υπόλοιπα αθροίσματα έχουν και όρους πριν απ' το 2 και τους γράφεις, ώστε να ομαδοποιήσεις όλα τα αθροίσματα, και να αφήσεις κάποιους όρους απ' έξω.

π.χ. έστω μεγαλύτερο n = 2. Έχεις όμως το πάνω άθροισμα που ξεκινά απ' το 0. Και λες για n = 0 έχω αυτούς τους όρους, για n =1 αυτούς. Το κάνεις για όλα τα αθροίσματα και στο τέλος τα ομαδοποιείς, τα αθροίσματα μαζί και τα έξω μαζί.

Ελπίζω να έγινα κατανοητός. Ψάξε και στο internet και θα το βρεις.

Εγώ πάλι προτείνω να μάθεις τον άλλον τρόπο στη δυναμοσειρά με διαδοχικες παραγωγίσεις που είναι πολύ πιο εύκολος(κατά τη γνώμη μου).

Εχμ, μα διαδοχικές παραγωγίσεις δεν κάνεις έτσι και αλλιώς; Υπάρχει άλλος τρόπος ;

μία είναι σελ. 353 με μέθοδο των δυναμοσειρών σ ένα κανονικό σημείων και η 2η είναι σελ 366 με μέθοδο των διαδοχικών παραγωγίσεων

Παδία ξέρει κανείς, στις ασκήσεις του πεδίου φάσης όταν πας να κάνεις διερεύνηση του τριωνύμου για να δεις αν έχεις εστία,κόμβο κλπ παίρνεις τον πίνακα A που σου δίνεται από την αρχή ή αυτόν που προκύπτει από (P^-1) A P?

Έχει λύσει κανείς Φεβρ.2012 1.β. ?? Αφού δε γνωρίζουμε τη μορφή της δ.ε., δε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο 9.17 σελ.159 Σεραφειμίδη... Το κύκνειο άσμα του Κανάκη πάντως ήταν αντάξιο της συνολικής του καριέρας ως εξεταστής.

Eπίσης έχει επαληθεύσει κανείς τη λύση του ρόθου για το θέμα 6.α από Ιούνιο 2012? Τι περίεργη λύση είναι αυτή που βγάζει x(t)=1/2*(1+e^2t) κλπ??

Δεν μπορώ να καταλάβω ποιά μέθοδο χρησιμοποιεί για να λύσει το σύστημα. Ακολουθώντας την μεθοδο γραμμικής άλγεβρας βγαίνει μετα απο απλές πράξεις σαν λύση μόνο το (0,0) απο τις 2 ιδιοτιμες 2 και 4

Στα θέματα του Ιουνίου 12 ασκ 5 ο αντίστροφος ℒaplace του 1-3s/s²(s²+4)² πως λύνεται; ...με απλά κλάσματα υπάρχει τρόπος αλλά θέλει ώρες....

Νομίζω οτι ειχε δωσει διευκρινηση την ώρα της εξέτασης...

http://alexander.ee.auth.gr:8083/eTHMMY/archive/181/downloadFile/3665/DE_notes.pdf
1.Στο παράδειγμα της σελίδας 14, πώς βρίσκει τα ιδιοδιανύσματα v2, v3;
2.Στη σελίδα 13 δε χρειάζεται να βρούμε λύση για την αρνητική ιδιοτιμή;

τι δε καταλαβαινεις απο το πως βγαζει τα v2 και v3?
πολλαπλη ιδιοτιμη, helloooooooooo

Αυτό ακριβώς εννοούσα, πώς βγαίνουν τα ιδιοδιανύσματα όταν έχουμε πολλαπλή ιδιοτιμή. Δεν πειράζει, το βρήκα.

1.λοιπόν,πρώτον πρέπει να έχει ένα λάθος,για το v2=[1,-3,1] ή τουλάχιστον εγώ έτσι το βγάζω


για το v2 ισχύει  (A + I3)v2 = v1, όπου v1=v  kai A+I3 είναι  ο Α-λΙ3,όπου λ=-1

έτσι έχουμε   a + b+2c=-2
                     -5a-2b-7c=-2
                        a       + c= 2
opote b=3a-6,c=2-a
για a=1 έχουμε b=-3,c=1  αρα v2=[1,-3,1]

αντίστοιχα   (A + I3)v3 = v2

                       a+b+2c=1
                       -5a-2b-7c=-3
                       a+c=1

b=a-1,c=1-a

για a=1,b=0,c=0 v3=[1,0,0]
                    
         εδιτ:bold             
                      

Ευχαριστώ πολυ!

Τελικά βγαίνει όντως [1 -5 1] γιατί b=a-6, όχι 3α-6

Επίσης, το  A+I3 συμβολίζει τον πίνακα Α- την ιδιοτιμή στις διαγώνιες θέσεις ή τον πίνακα Α+ το μοναδιαίο πίνακα; Νομίζω το 2ο απλά σ αυτήν την περίπτωση είναι ίσα γιατί λ=-1.

δεν καταλαβαίνω τί εννοείς,αλλά νομίζω πως είναι το Α- την ιδιοτιμή πολ/μένη επί τον μοναδιαίο

Ο τύπος όμως λέει Α+Ι3 που σημαίνει ότι είναι το Α+ τον μοναδιαίο. Τι απ' τα 2 είναι τελικά; :-\

ρε τρελοι Α - ( -1 ) Ι₃ μας κανει Α+Ι₃ :P

eε,αυτό λέω και γω

Οκ κατάλαβα, είναι Α-λΙ3. Απλώς επειδή εδώ είναι λ=-1 δεν ήξερα αν ο γενικός τύπος (για όλες τις περιπτώσεις π.χ. λ=4) είναι Α-λΙ3 ή Α+Ι3.

Στα θέματα Φεβρουαρίου 2013 στο θέμα 1 το α) πώς λύνετε ; Με Laplace ;

Άμα το δεις λίγο, προκύπτει η ειδική λύση yp=tlnt-2t. Η ομογενής λύνεται ευκολα(βγάζεις λύση y0, ας πούμε) και η γενική λύση είναι y=yp+y0.

Αλλιώς το πρώτο μέλος γράφεται και σαν (ty')'. Και συνεχίζεις...

μηπως εχετε καμια ιδεα και για το τελευταιο θεμα απο φλεβαρη 13 ? ειχα δει την λυση ετοιμη σε κατι ασκησεις χωρις τον τροπο ομως να εχει μεσα και συνημιτονα και ημιτονα, πως προκυπτει αυτο ?

Γενικότερα : dy/dt=Ay => y(t)=c*e^(At). Σου μένει πλέον να υπολογίσεις τον πίνακα-συνάρτηση του t: e^(At), με τις γνωστές μεθόδους γρ.άλγεβρας.

θα κανω δηλαδη αυτο με την χαρακτηριστικη βρισκοντας ιδιοτιμες και ιδιοδιανυσματα και μετα την γενικη λυση και τον Φ  και θα παρω τον τυπο Φ{t}*Φ^(-1){0} =  e^(At) ?

Με ποια μέθοδο λύνεται η ομογενής ;

Δεν μπορούμε να το λύσουμε με τον κλασσικό τρόπο : ιδιοτιμές ιδιοδιανύσματα του Α και παίρνουμε τον τύπο της λύσης ανάλογως με το αν οι ιδιοτιμές ειναι απλές ή έχουμε διπλή ;

Θέσε για ευκολία u=y'.
ty''+y'=0=>tu'=-u=>du/u=(1/t)dt=>u=...=>y=...
Αλλά κάνε το καλύτερα με τον δεύτερο τρόπο που είπα , είναι πιο απλός.
Ναι ουσιαστικά ισοδύναμοι τρόποι είναι.

στα θεματα του σεπτεμβριου του 12 στο 1ο θεμα 1ο ερωτημα πωσ ακριβωσ κατασκευαζουμε την δ.ε?

Ιουνιος12 η 6η άσκηση, στο (β), πώς δουλεύουμε?

Προφανώς θα είναι μία με μη-σταθερούς όρους. Γράψε τη γενική της μορφή, αντικατάστησε τα y, y', y'' από τη λύση που σου δίνει και βρες a(t), b(t) ώστε να επαληθεύεται η εξίσωση. Νομίζω έτσι βγαίνει.


έδιτ: Έβγαλα y''-(2/t)y'+((2/t^2)+1)y=0
έδιτ2: Χμμμ.. νομίζω πως έτσι, όμως, δε λαμβάνω υπόψη τη δεύτερη, γραμμικώς ανεξάρτητη λύση.. Ίσως δηλαδή θα έπρεπε να αντικαταστήσουμε y=tsint + c₂y₂ ή κάτι τέτοιο (να πούμε πχ y₂=τάδε), αλλά μπορεί να λέω και βλακείες, οπότε ας επιβεβαιώσει κάποιος  :P

θεματα φλεβαρη '13 στο θεμα 2 η πρωτη λυνεται πολαπλασιαζοντας με k^(-2), θετοντας k^(-1) = x και μετα παιρνοντας περιπτωσεις για x>0 και x<0 θετοντας καθε φορα συμφωνα με τυπους euler το x ?



το πηγα μεχρι ενα σημειο ως εξης αλλα δεν ξερω αν οντως ετσι παει
εστω y=f(x) λυση αρα αφου θες δευτερης ταξης εξισωση παραγωγιζεις την λυση που θες και σου δινει να εχει η εξισωση 2 φορες , στην προκειμενη την tsint
μετα γινεται νομιζω ενα συστημα a f(x) '' + b f(x) ' + c f(x) = 0 αντικαθιστας και πρεπει με καποιο τροπο να βαλεις τιμες στα a,b,c ωστε να βγαινει 0..

Η χαρακτηριστική δεν είναι ρ²+4κρ-12κ²=0<=>(ρ+2κ)²=(4κ)²<=>ρ+2κ= +/- 4κ<=> ρ=2κ ή ρ=-6κ οπότε y_o=c₁e^2kt + c₂e^-6kt ;

 
το k ειναι σταθερα ? δηλαδη και στο πρωτο θεμα το t θα ειναι σταθερα ?
νομιζα ειναι y(k) γιατι δεν λεει οτι k ειναι σταθερο

Oοοps, my bad... Δεν είχα συναντήσει ως τώρα y(k) οπότε μου φάνηκε φυσιολογικό να είναι σταθερά   ::)

τνξ παντως , κ μενα με μπερδεψε λιγο :P

 8)) Πάντως αυτό που λες φαίνεται λογικό...

Να βρεθεί η γενική λύση
(https://www.thmmy.gr/smf/index.php?action=dlattach;topic=8325.0;attach=49048)

Το κοιτάω πολλή ώρα και έχω κολλήσει. Οποιαδήποτε ιδέα ευπρόσδεκτη.  :)


ΥΓ: Είναι άσκηση Κάππου

Βαριέμαι να την κοιτάξω, αλλά αν δεν είναι σε καμία κατηγορία, γιατί δεν πας για πλήρη / ολοκληρωτικό παράγοντα;

εδιτ: Βασικά είναι ομογενής 1ης τάξης.

μπορεις να θέσεις y=v(x)x  ή να διαιρεσεις με το Χ^2 και τα δυο μελη (η συνεχεια γνωστη στις σημειώσεις του μαθηματος ) διαλεξε οποιον απο τους δυο τροπους θελεις (ο δευτερος ειναι Καππου :)) (νομιζω οτι βγαινει και με τους δυο)

αυτές οι "σημειώσεις μαθήματος" είναι το πρόβλημα... Δεν υπάρχει καμιά βοήθεια από τον Κάππο πέρα από ένα μάτσο άλυτες ασκήσεις για κάποιον που δεν έχει παρακολουθήσει.

Θα το κοιτάξω, ευχαριστώ για τη συμβουλή.

Μπορεί κάποιος να βοηθήσει με την 4 Σεπτέμβριος του 2012;

Μπορει καποιος να βοηθησει στο θεμα 5,Σεπτεμβριος του 2012?

Θα εφαρμόσεις μετασχηματισμό Laplace, και στα δύο μέρη της εξίσωσης. Έπειτα θα λύσεις την αλγεβρική σχέση που θα προκύψει ως προς Y(s), και έπειτα (μέσω της μεθόδου μετα απλά κλάσματα) θα βρεις τον Inverse Laplace Transform προκειμένου να βρεις την y(t).

ευχαριστω αλλα αυτο ειναι το θεμα 4 που ζητησε ο L  :P

Όχι ρε, καλά στο λέει...

Σ2012 5. "Να λυθεί το ΠΑΤ 2y''+3y'-2y=te^-2t , y(0)=y'(0)=0 με τη μέθοδο του ΜΣ Laplace."

ωχ ναι μπερδευτηκα...το θεμα 5,Φεβρουαριος 2012 ηθελα  :D

Να μαντέψω ότι βρίσκεις το Y(s) και μετά κολλάς στο "νδο";


έδιτ:

Μια απλή τριγωνομετρική σειρά Fourier δεν είναι? Εσύ που δυσκολέυεσαι?

στην fourier χρειαζομαστε ενα διαστημα (-π,π) ή ενα (-L,L).

εδω το διαστημα ειναι (0,π).
Για το (-π,0) ποια συναρτηση θα πρεπει να χρησιμοποιησουμε?

Κάνε επέκταση του sinx και στο (-π,0), έτσι ώστε να προκύψει ένα συμμετρικό διάστημα.

thanks!

Α καλά, Φεβρουάριος '13 είναι αυτό  ::)


Δε μπορούμε να πούμε και ότι L=π/2 (προφανώς δε συμφέρει γιατί το άλλο βγαίνει ως άρτια); Γενικά, δεν ισχύει ότι το (-π,π) είναι το ίδιο με (0,2π); Δε μας ενδιαφέρει δηλαδή το "μήκος" του διαστήματος;

Γενικά επειδή στο α) σου ζητάει συνημιτονική σειρά Fourier, σημαίνει ότι θες τα bn=0, άρα να είναι άρτια.
για ημιτονική, αντίστοιχα περιττή

Νομίζω λες για άλλο θέμα..  ::)

θεμα 4) φεβ 13...το τελευταιο ξερει κανεις πως λυνεται;

μπορεί
νμζα για κάποιο λόγο ότι λέτε για του 13 :D

Έλαμψαν τα σημερινά θέματα.

θα ηθελα μια σοβαρη αξιολογηση των παλιων για τα σημερινα θεματα του ροθου ωσ προσ των ογκο των θεματων και την δυσκολια τουσ σε σχεση με αλλεσ χρονιεσ αν μπορει καποιοσ :)

Γατάκι ο Ρόθος, ό,τι και να έβαλε.

Εγώ πάντως δύο θέματα δεν τα είδα καν γιατί τελείωσε ο χρόνος... Και έγραφα συνέχεια (κάπου 3,5 κόλλες το καθαρό). Τι να πω, ή δε σκέφτομαι αρκετά γρήγορα ή δε γράφω αρκετά γρήγορα (ή και τα δύο  :P). Τα θέματα που πρόλαβα ήταν μέτριας δυσκολίας (δεν έλυσα ένα της 5 και ένα της 6).

μαλακες ηταν παρα πολλα.. δεν προλαβα 1μισι θεμα να το δω καν κ δεν σταματησα να γραφω.. θα γινει συνοστισμος στο 4αρι αν βαθμολογισει μεχρι τελικου αποτελεσματος

Ο Ρόθος συνήθως δίνει ένα ποσοστό της λύσης αν δει ότι πας να το βγάλεις σωστά. Δε θα σου κόψει -εκτιμώ- πάνω από το μισό της συνολικής αξίας αν δει ότι το πήγαινες καλά. Ίσως και λιγότερο. Αλλά να πήγαινες όντως καλά και να μην χαώθηκες εξαιτίας λάθος προσέγγισης.

Τα θέματα του Κάππου πώς τα είδατε?

Καππος

εδωσα πρωτη φορα διαφορικες και ειχα Καππο !
θα περιμενω να περασουν τα 9μερα για να ξανακατσω σε καρεκλα  :P

αριστα ειχαμε το 11 !!!

Πρέπει να αλλάξει το σύστημα με τους παλιούς να μπορούν να διαλέξουν εξεταστή γιατί οι Α-Κ είναι καταδικασμένοι.Ο καππος έβαλε πάλι τα δικά του.Κάποια πράγματα τα έβλεπα πρώτη φορά.Πουθενά στο βιβλίο.Άλλαξε μάθημα και άρχισε πάλι τα ίδια.Πιο πολλές γραφικές παραστάσεις έπρεπε να βρεις παρά να λύσεις δ.ε.

'Η θα αλλάξει το σύστημα ή το καλοκαίρι πάω δημαρχείο και αλλάζω όνομα.

Πηγαινε,γιατι θα το χρειαστεις και για τις αναλογικες 8))  (αν δεν τις εχεις περασει ηδη).


Ας ανεβασει καποιος τα θεματα (απο περιεργεια για να δω ποσο κατεστρεψε και αυτο το μαθημα ο καππος).

Στις αναλογικές μπορούσες να διαλέξεις άμα το ζητούσες.

Αφού μας φορτώσαν εδώ τον Κάππο, το λιγότερο που μπορούν να κάνουν είναι να εναλλάσσουν τα Α-Κ και Λ-Ω ανα έτος... Αλλιώς θα έχουμε κακά ξεμπερδέματα...

βασικα εσεισ του καππου εισασταν μπροετοιμασμενοι για τετοια θεματα εμεισ του ρωθου που δεν περιμενεμα ετο 70-80% απο αυτα π εβαλε

Μπορεις να ζητησεις καππο το σεπτεμβριο

Απλά ήμασταν προετοιμασμένοι ότι θα τον πιούμε, μεχρι εκει...

καππος θεος, ένας και μοναδικος

στην "ύλη" του ανέφερε κάποια από αυτά τα επιπλέον που ζητούσε π.χ. για την γραμμικοποίηση συστημάτων* . Το θέμα είναι ότι σε κάθε θέμα του δε θα σου βάλει απλώς να λύσεις εναν laplace αλλα θα σου βαλει και 4-5 ερωτηματα εξτρα με γνωσεις "κρυμμενες" που ίσως ανεφερε καποτε. Δε θα σου ζητησει τη βασικη γνωση -που ειναι και η χρησιμη στο κατω κατω- προσθέτοντας καποια πιο εξεζητημενα ερωτηματα κατανοησης για ενα ποσοστό των μονάδων, θα βάλει αυτές τις μαλακίες σε όλα τα ερωτήματα.
Έχοντας μόνο ένα τσούρμο άλυτες ασκήσεις και μια "ύλη" όπως να ναι δομημένη όπου βλέπεις ένα 10-15% με πράγματα επιπλέον της βασικής ύλης Ρόθου/παλιότερων ετών, και ξέροντας ότι αυτό το γαμημένο 10% θα πιάνει 40-50% των μονάδων στις εξετάσεις ακριβώς για να πουλήσει κόμπλεξ και να ξεχωρίσει τη "δική του" γνώση από την απλή default γνώση των άλλων καθηγητών, οι ελπίδες για να γράψεις ως παλιός είναι μηδενικές.

Προσωπικά χρειάστηκε να γκουγκλάρω τουλάχιστον 3-4 έννοιες + μερικές μεθοδολογίες για να πιάσω μια ιδέα του τι ανέφερε στο μάθημα αλλά και πάλι δεν ήταν αρκετό.

Νομίζω ότι η εύρεση σημειώσεων μέσα από το μάθημα από κάποιον που παρακολούθησε για να ξέρουμε με τι έχουμε να κάνουμε (ή εναλλακτικά η απαίτηση να βγάλει κάποιες σημειώσεις ο ίδιος) είναι επιτακτική ανάγκη για εμάς τους παλιούς...

ΥΓ1: Το κόμπλεξ του να προωθήσει αυτά που υποστηρίζει και να ξεχωρίσει ελιτιστικά τις "παραδόσεις του για το μάθημα" από βιβλία/σημειώσεις/μεθόδους όλων των άλλων φάνηκε και στα θέματα που έβαλε. Στη διαδικασία διαχωρισμού των κλασμάτων για να προωθήσει τη μέθοδο που υποστηρίζει αυτός (με την αντικατάσταση του s από κάθε ρίζα) σε αντίθεση με το σύστημα άγνωστων όρων του Ρόθου, έβαλε άσκηση με τέτοιο τρόπο ώστε να αναγκαστείς να χρησιμοποιήσεις τη μέθοδό του και να μην μπορείς να πάρεις σύστημα. Μεγάλο level κομπλεξισμού από τον Μάκη "ΜΙΤ" Κάππο.

ΥΓ2: Παιδιά που παρακολουθήσατε και έχετε κάποια αξιοπρεπή σημείωση, ΧΡΥΣΟ ΑΔΡΙΑΝΤΑ θα σας στήσουμε στο κυλικείο, κάθε σελίδα και καράτι...


*θεωρία μη γραμμικών/χαοτικών συστήματων σε μάθημα πρώτου έτους ΕΛΕΟΣ ΠΙΑ

Με παρακολουθηση Καππου ολο το εξαμηνο, δεν τα ειχε πει και τοσο ολα αυτα που ζητουσε.

+++++

 ^kremala^

Παιδια καποιος να πει πως λυνονται τα:θεμα 1β,θεμα 2,θεμα 3β,θεμα 6 απο Φεβρουαριο 2012 και θεμα 1,θεμα 5-πρωτος απο δεξια αντιστροφος laplace,απο Ιουνιο 2012.Ευχαριστω πολυ εκ των προτερων. 

Kαποιος ρε παιδια να βοηθησει στα ανωθι θεματα.Επισης,οταν λεει δωστε το θεμελιωδες συνολο λυσεων εννοει τη γενικη λυση?

παιδες οκτωβριος 2012 το 4ο θεμα καποιος? ΣΟΣΣΣΣΣ

τελικά ο Κάππος υπάρχει ακόμα;

όσοι ήμασταν στο τμήμα του κάππου αλλά μεγαλύτερου έτους, πρέπει να δώσουμε με κάππο υποχρεωτικά;

υπάρχουν πουθενά τα θέματα που έβαλε τον Γενάρη ο Κάππος;

Βγάλε τις ιδιοτιμές του πίνακα. Βγάζω μια πραγματική και δύο μιγαδικές. Θες να έχει περιοδική λύση οπότε η πραγματική λύση θα σου δώσει ένα εκθετικό κομμάτι που θες να το διώξεις ενώ οι μιγαδικές σου δίνουν τα τριγωνομετρικά που σε ενδιαφέρουν. άρα το y0 θα πρέπει να είναι τέτοιο ώστε να φεύγει το εκθετικό κομμάτι, από οπου τελικά βγαίνει και ο θεμελιώδης πίνακας λύσεων.


Φεβρουάριος 2012
1β. Τραβάς δύο παραγωγίσεις τη λύση που σου δίνει.και λες ότι η y,y',y'' θα είναι γραμμικά εξαρτημένες όποτε θα υπάρχουν a,b,c ώστε ay+by'+cy''=0. Θα επιλέξεις c=1 και λόγω του ότι οι e^x και xe^x είναι ανεξάρτητες (Wronski) θα βρεις τα b,c. Έτσι έχεις να λύσεις τη διαφορική και να βρείς αυτό που θες.

2.Πολλαπλασιάζεις τη δοσμένη με e^x και πρέπει e^x*f(y) παραγωγιζόμενη ως προς y να ισουται με g(x)*e^x παραγωγιζόμενη ως προς χ.

3. Προφανώς η κάθε λύση πρέπει να ικανοποιεί το συστημα οπότε (α) προφανώς για κάθε tER θα είναι λύσεις (πάρε και την ορίζουσα Wronski) και (β) έχεις δύο συστηματα 2Χ2 εξισώσεων με τα στοιχεία του πινακα απο όπου τελικά
α11=-5 α12=1 α21=4 α22=-2

Ιουνιος 2012

1. Περιπτώσεις για t>=0, t<=0. Σου δίνει και τον ολοκληρωτικό παράγοντα που πολλαπλασιάζεις την εξίσωση οπότε τη λύνεις είναι πολύ απλή.

5. Συνέλιξη

οταν το κανεις αυτο προκυπτει οτι f '(y) = g(x) + g '(x)

απο δω και περα τι κανουμε?
ευχαριστω εκ των πρωτερων :)

To ενα μέλος είναι συνάρτηση του χ το  αλλο του ψ.. Αρα για να ισχυει η ισότητα θα πρέπει τα δύο μέλη να είναι σταθερες συναρτήσεις

ναι κι εγω αυτο ειχα υποπτευθει αλλα η ασκηση λεει να λυσουμε την δ.ε για την απλουστερη μη σταθερη μορφη αρα εννοει να μηδενισουμε τους σταθερους ορους αν καταλαβα καλα οποτε τι παιζει εδω γιατι εγω προσωπικα μπερδευτηκα  :P ?

Ουσιαστικά αφου βρεις τις απλές μορφές των f,g μετά σου ζητάει το βαθμωτο δυναμικό,

σου ειναι ευκολο μηπως να μου εξηγησεις τι ειναι το βαθμωτο δυναμικο? :P

εχεις την διαφορική Pdx+Qdy=0.P,Q δοσμένες.
Αν σου λέει λύστην τότε πρακτικά σου λέει βρες μου μια συνάρτηση f τέτοια ωστε df=0 δηλαδή
μερική της f ως προς χ να δίνει την P και μερική της f ως προς y να δίνει την Q

ωραια got it αρα για το θεμα μας εμεις πρεπει να πουμε οτι η F για την οποια ισχυει οτι η μερικες τις παραγωγοι ως προς χ και y αντιστοιχα ειναι σταθεροι οροι θα ειναι μια συναρτηση τυπου F(x,y) = ax + by ?

βρες πρώτα τις f,g και μετά υπάρχει μέθοδος επίλυσης πλήρων ΔΕ

οκ το πιασα σε ευχαριστω παρα πολυ !

Να ευχαριστησω πολυ την Ψωφυα Ψηρα για τις απαντησεις που εδωσε.Μηπως μπορει καποιος να πει πως λυνεται το θεμα 6/Φεβρουαριος 2012 καθως και η ασκηση:προσδιοριστε τους συντελεστες α,b αν οι συναρτησεις e^-2x,e^3x ειναι μερικες λυσεις της ΔΕ y''+αy'+by=f(x)

Αυτοι που δωσαν με Ροθο τον Ιουνιο μπορουν να μου πουν πως λυνεται η Fourier που ειχε βαλει? Δεν θυμαμαι ακριβως τι ηταν, νομιζω f(x)=cos3x κατι τετοιο. Μαλιστα θυμαμαι μας ειχε πει οτι το ολοκληρωμα δεν βρισκεται και να το κανουμε με τον αλλο τροπο. Ποιος ειναι αυτος?

Να ήταν cos3x λίγο δύσκολο γιατί η σειρά Fourier θα βγαινε η ίδια η cos3x... Ωστόσο, απόσα άκουσα από άλλους γιατί δεν έδινα Ρόθο, πρέπει να ήταν ένα γινόμενο f(x)=cosax*cosbx ή f(x)=cosax*sinbx, κάποια τέτοια μορφή. Ο Ρόθος είχε δώσει τους τύπους για cos(a+-b) και sin(a+-b). Από αυτούς τους 4 αν πρόσθετες κατά μέλη, έβγαζες σχέση για το γινόμενο που χες και το μετέτρεπες σε άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων έχοντας ήδη έτοιμη τη σειρά Fourier.

πχ. f(x) = sin3x*cosx -> f(x)=1/2 *sin2x + 1/2*sin5x έτοιμο! (λογικά θα ισχύει και καμιά μοναδικότητα της Fourier για να τελειώσει και επίσημα)

Μου χε φανεί περίεργο πάντως που ο Ρόθος έβαλε τέτοιες "πονηριές"  :P

σου φανηκε περιεργοοοο?? αισχος! για τον Ροθο μιλαμε, το αστερι  :P

να προσθεσω λοιπον κι εγω τη δικη μου απορια :P στο θεμα 1(α) απο οκτωβριο του 2010 μπορει να βοηθησει κανεις ?

το θεμα λεει : αφου χαρακτηρισετε την dy/dx = (y^2 + x(x^2 + y^2)^1/2) / xy
                     να βρειτε τη γεν.λυση

u=y/x  κι πάει λέγοντας....

Ευχαριστώ πολύ!

Άλλο ενα θέμα:
Ιούνιος του 09 θεμα 4.
y=e^x λυση της ομογενους. Να λυσετε την Δ.Ε:
(x-1)y''-xy'+y=e^2x(x-1)², x>1

Πως λυνεται αυτο? Ευχαριστω εκ των προτερων

ευχαριστω πολυ αλλα πρκυπτει κι αλλη μια απορια...αμα θεσω οντως u=y/x τοτε μετα αμα πω οτι  y=ux το dy/dx γινεται ενα u και ετσι σταματαει να ειναι διαφορικη εξισωση...

Εδώ θα θέτεις  y=y1+z(x)

Ricatti δηλαδη? Αφου η Ricatti ειναι για Δ.Ε. 1ης ταξης...

Δίκιο έχεις(sorry). εδώ θα έχεις y2=y1*ολοκ.(1/y1^2*e^ολοκ(Α)

Τι εννοείς μοναδικότητα? Επίσης μπορεί κάποιος να περιγράψει στο περίπου τα θέματα του Ιουνίου?

Μπορει καποιος παρακαλω να μου πει πως λυνεται η:

y''-2xy'+4x²y=0

Eγω στην θεση σου θα διαιρουσα με το 4x^2 και θα εθετα 1/(4χ^2) = ω^2 και μετα euler ως προς ω στην καινουρια διαφορικη που μοιαζει με ω^2y''-ωy'+y=0 τωρα.

Ωραια φχαριστω. Μου λυσες ταα χερια για πολλες ασκησεις

Όταν μας δίνεται μια μερική λύση ΔΕ 2ης τάξης πώς βρίσκουμε μια δεύτερη μερική λύση; πχ.Θεμα Φεβρουαρίου 2012:

Αν y1(x)=(2+x)e^x είναι μερική λύση ομογενούς ΔΕ 2ης τάξης, προσδιορίστε μια λύση y2(x) γραμμικά ανεξάρτητη προς την y1, που να ικανοποιεί τις συνθήκες y2(0)=0 και y'2(0)=0

όπως στις σελίδες 158,159 του Σεραφειμίδη

Επειδη δεν εχω τον Σεραφειμιδη μποριες να πεις σε μεσες ακρες τι κανουμε?

Στου σεραφειμίδη δίνει μια λύση αλλά δίνει και την εξίσωση, ενώ στο θέμα που ανέφερα δεν τη δίνει.

x^2y'' -xy'+y=0,  x>0
με y1(x)=x

το φέρνει σε μορφή y''-y'(1/x)+y/(x^2)=0

και η δεύτερη λύση θα είναι y2(x)=y1(x)*ολοκλήρωμα(1/(y1^2)   * e^(-ολοκλήρωμα(1/χ)))
Το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι ο όρος του y'

επειδή είναι λίγο σύνθετο να το περιγράψω εδώ χωρίς γνώσεις LaTeX,
όποιο βιβλίο κι αν έχεις κοίτα στο "Μέθοδος υποβιβασμού τάξης"

θεμα 2 Φεβ. 2012. έχει κανείς καμία ιδέα????

Έχει κανείς καμιά ιδέα πως λύνεται η πρώτη εξίσωση του δεύτερου θέματος Φεβρουαρίου 2013;;;

Είναι ομογενής γραμμική δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Βρίσκεις τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης και διακρίνεις περιπτώσεις ανάλογα με το κ (υποθέτω δηλαδή γιατί πάει καιρός).

αα οκ! νόμιζα ότι το k ήταν η ανεξάρτητη μεταβλητή.. Ευχαριστώ!

Κανονικά θα έπρεπε να το διευκρινίζει.

edit: Αν όντως πρόκειται για y(k), τότε αρχικά δοκίμασε (αφού δεν υπάρχει κάποια προφανής λύση) να υποβιβάσεις την τάξη.

Αυτό έκανα και παίρνει τη μορφή riccati αλλά δε δίνεται κάποια μερική λύση...

Όπως ειπώθηκε και πριν θεωρείς το κ σταθερά, βρίσκεις τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου και είσαι τέλειος. Αλλιώς κάντο λαπλας.

Δε θες αρχικές συνθήκες;

Θα είναι απροσδιόριστες σταθερές, αυτές θα έβγαζες άλλωστε και κανονικά να έλυνες την διαφορική εξίσωση.

Α ναι ρε  8))

Υ.Γ.: Με k σταθερά (http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eqg44shr8kf) και με y(k) (http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e43e2m4c6hv)  :P

Έχει κανείς κάποια ιδέα για τη λύση του 1ου θέματος του Σεπτεμβρίου 2013;

παίδες καμια λύση για το 4ο θεμα φεβρουαριου 2014? αυτο με τους αντιστροφους;ειδικα το ττελευταίο το βλέπω μπαίνει πάντα

Δεν βλέπω φεβρουάριο του '14 στα παλιά θέματα!

που βρηκες τα θεματα του 14?

To θεμα δνε ειναι που τα βρηκε. Αν μπορεις ρε φιλε βγαλτα μια φωτο και ανεβασε τα!

λοιπον ενα παιδι μου ειπε οτι θετεις y'=p , μετα χρησιμοποιεις πολλαπλασιαστη euler και βγαινει τελεια διαφορικη

Έτσι κινήθηκα κι εγώ,αλλά ποιος είναι ο πολλαπλασιαστής Euler στην προκειμένη;

νομιζω οτι βγαινει 1/(t^2)

Ναι ναι,αυτό είναι!Ευχαριστώ πολύ!

guys εχει κανεις καμια ιδεα πως βρισκουμε στο θεμα 5 του Φεβρουαριου του 2013 οτι y(t) ->0 για t-> oo ?

Έχει κανείς καμιά ιδέα πως λύνεται το παρακάτω;

xy' ' -2(x+1)y' +(x+2)y=0

Να δειχθεί ότι έχει λύση την y=e^x

ε άμα λέει να δειχθεί μόνο τότε κάνεις αντικατάσταση στην xy' ' -2(x+1)y' +(x+2)y=0
y=e^x
y'=e^x
y''=e^x
και αφού είναι ίσο με μηδέν τοτε το y=e^x είναι λύση

αα μόνο αυτό δηλαδή;;νόμιζα ότι ήθελε να βρούμε εμέις τη λύση με άλλη διαδικασία και απλά να βγαίνει στο τέλος τόσο.. οκ θενκς!!

Θέματα του 2014 δεν παίζουν?

Τα εχει στο ethmmy.

Με του βαθμούς εξεταστικής Σεπτεμβρίου στο itc ξέρει κανείς τι ισχύει?
Όχι μόνο για Διαφορικές,γενικά!

Γενικά, υπομονή...

off: Αλήθεια το χω απορία γιατί όλοι καίγεστε με το να περαστούν γρήγορα οι βαθμοί ηλεκτρονικά?

Φερβουάριο 2014 Θέμα 4ο..Γιατι μου βγαίνουν c1=c2=0 με αυτές τις αρχικές που μας δίνει?

Στα υποδείγματα εξετάσεων από ένα και σημείο μόνο εμένα μου φαίνονται απαράδεκτα πολλές οι πράξεις?

Καποιες ασκησεις δεν παλευονται οντως. Ειδικα αυτες που θελουνε Laplace 

Καποιες ασκησεις δεν παλευονται οντως. Ειδικα αυτες που θελουνε Laplace

Δεν κατάφερα να λύσω καν αυτή που δίνει dz/dt=Az+f . Δεν ξέρω πως γίνεται να κάνεις πρακτικά τόσες πράξεις στο σύστημα για να βγάλεις τα Χ Υ

Κοιτα αν λυσεις ως προς Χ τη μια γινεται, Αλλα μετα η εξισωση δε χωραει σε μια σειρα  :D :P

παιδιά επειδή δεν το παρακολούθησα το μάθημα, αυτά τα συστήματα που έχει στα υποδείγματα με Laplace τα λύνουμε έτσι; δεν χρειάζεται να ξέρουμε κάτι άλλες μεθόδους που δίνει στις σημειώσεις του από τα παραδείγματα του σεραφ/δη;
Επίσης τα συστηματα dZ/dt = AZ μπορούμε να τα λύσουμε με ιδιοτιμές και με ιδιοδιανύσματα η θα φάμε άκυρο στις εξετάσεις;

εγώ με ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα τα έλυσα και έβγαλα ίδια αποτελέσματα. Δεν βλέπω γιατί να μην τα δεχτεί

Αν δεν εχει ζητησει απο πριν οτι θελει να το κανεις με Laplace, το λυνεις με οποιο τροπο θελεις

όταν προσπαθώ να τα λύσω με ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα όμως βγάζω διαφορετικά αποτελέσματα από αυτά που έχει ανεβασμένα και λυμένα στα πρότυπα εξετάσεων.
φαντάζομαι ότι η διαφορά είναι επειδή διαλέγω κάποιες αναγκαστικά αυθαίρετες τιμές στον υπολογισμό των ιδιοδιανυσμάτων από τις ιδιοτιμές και έλεγα μήπως το θεωρήσει λάθος.

Κάπου κάνεις λάθος. Τα ιδιοδιανύσματα θα τα βγάλεις με βάση τις ιδιοτιμές. Τα αποτελέσματα πρέπει να σου βγαίνουν ίδια. Τα έλυσα αρκετά προσεκτικά και βγαίνουν ίδια.

Sorry αν ρωτάω χαζομάρες, αλλά πάει καιρός από τότε, στον υπολογισμό των ιδιοδιανυσμάτων στο τέλος βγάζω μια σχέση που συνδέει τις δυο συνιστώσες, σωστά;
και μετά επιλέγω αυθαίρετα μια τιμή για την μια συνιστώσα βάση της οποίας υπολογίζω την άλλη.
άρα στον υπολογισμό, εφόσον υπάρχει ελευθερία επιλογής της αρχικής τιμής δεν θα υπάρχουν και περισσότερες της μιας λύσης;

Δεν ξέρω γιατί μπερδεύεσαι. Θα βγάλεις ότι πχ  U₁=κU₂,κ=const. άρα έχεις πίνακα [κU₂ U₂] ή U₂*[κ 1]. άρα το ιδιοδιάνυσμα είναι το [κ 1] χωρίς να έχω κάνει καμία αυθέρετη επιλογή. Εκτός αν εννοείς τώρα το U₂=1 που το κάνεις για λόγους απλότητας.

α και βρίσκεις την λύση με το k μέσα! ευχαριστώ.
ναι εγώ θεωρούσα μετά U2 = 1 και έβρισκα πχ [1 1] για ιδιοδιάνυσμα. είναι λάθος αν κάνω αυτήν την παραδοχή;

ΡΕΕΕ το κ μία τυχαία σταθερά είναι για πιο εύκολο στο έγραψα. Στις ασκήσεις θα βγάζεις πχ U₁=5U₂ άρα θα έχεις  [5 1]

κλαίω! :D
στην επιλογή τιμών ότι θες δεν βάζεις όμως;
πχ αν εγώ βάλω κ = 10 και εσύ βάλεις κ = 1 προφανώς θα έχουμε διαφορετικές λύσεις, θα τα θεωρεί και τα δύο σωστά;

btw, στα συστήματα με Laplace γίνεται πανικός στις πράξεις που έχει στα υποδείγματα, αμα βγάλω έστω και ένα σωστό θα ανοίξω σαμπάνια!

Λοιπόν άλλη μια φορά. ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ κ στις ασκήσεις. Με βάση ποια ιδιοτιμή θα αντικαταστήσεις στον (λs-A) για να βγάλεις το ιδιοδιάνυσμα θα σου βγει στάνταρ σχέση για U1,U2. Μια και μοναδική.

Ερωτηση: Εχουμε ενα συστημα dz/dt=Az. O A εχει ιδιοτιμες r1,r2.
Ισχυει παντα η σχεση C*R=A*C;; οπου ο R ειναι διαγωνιος με τιμες r1,r2.

Σε ποιά σελίδα υπάρχει η απόδειξη f(t) = f(-t) τότε F(ω) = F(-ω);

ρε, στα συστήματα με Laplace κάνουμε yolo πράξεις ή υπάρχει κανένα τρικ;

#yolo#swag#bruh

σε μια ρε συ μου βγήκε σύστημα 5x5. Εγώ τέτοιο πράμα με το χέρι δεν ψήνομαι να το λύσω.  >:(

Κάτι έκανες λάθος στην απλοποίηση των κλασμάτων ανάλυση σε απλά κλάσματα. 4χ4 μαξ έχει στις ασκήσεις

εεεε, ναι σορρυ.
τι 4x4 τι 5x5;  ;D

τα 4χ4 που είχε λύνονται εύκολα γιατί στον x^3 όρο έχει μόνο 2 μεταβλητές συνήθως. άρα έχεις μια πρώτη εξίσωση εύκολα. μετά είναι 5 λεπτά προσεκτικές πράξεις.

Αυτά τα συστήματα με Laplace που αναφέρετε, ποιά είναι η θεωρία και ποιές οι ασκήσεις τους? Δεν έχω δει τίποτα στον Σεραφειμίδη μέχρι τώρα και με αγχώσατε  :P

Δες τα υποδείγματα του κεχαγια

Δυο απορίες :


στο υπόδειγμα που χρησιμοποιεί τον τύπο CS = AC, ο πίνακας S πως προκύπτει;

Δεν ξέρω και δεν ξέρω

στα υποδειγματα ασκησεων ειναι καποιες με πινακες που λυνονται με ιδιοτιμες.μπορει καποιος να εξηγησει λιγο τα βηματα γιατι μου φαινονται λιγο μπερδεμενα;;;

Γενικα στο μαθημα ποτε δεν καναμε επιλυση συστηματων ΔΕ με ιδιοτιμες .. μονο με χρηση μετασχηματισμου Laplace
Και ο κεχαγιας τον ιουνιο ετσι ειχε ζητησει να λυσουμε ενα συστημα που εβαλε

Αν πέσει κάτι παρόμοιο έχω δύο απορίες:

1) Θα πρέπει να βάλουμε ένα (-) στο στο Μ(t,x) ή θεωρούμε ότι είναι ήδη με (-) (ρωτάω επειδή ο τύπος είναι F(t,x)=-M(t,x)/N(t,x).

2) Σε αυτό το παράδειγμα τα έχει αντεστραμένα τα x και τα t. Οπότε θα πάρω σαν Ν(x)=1/(x^2-3x+2) και αντίστοιχα M(t)=1/(t^2-5t+6) ?

Και ξαναρωτάω γιατί είναι λίγο σημαντικό να το κατανοήσω. Κάποιο απο τα N(x) η Μ(t) θέλει προσημο (-) μπροστά λόγω του γενικού τύπου F(t,x)=-M(t,x)/N(t,x) ??

Αν κάποιος την έχει λύσει ας την ανεβάσει αν γίνεται! Ευχαριστώ

Για το συγκεκριμενο παράδειγμα δεν χρειάζεται να το ζορίζεις πολύ με το M, N. Μπορείς να χωρίσεις τις μεταβήτες ως εξης: dx/(x^2-3x+2) = dt/(t^2-5t+6) και μετα να ολοκληρώσεις το καθε μελος ως προς την αντιστοιχη μεταβλητή.

Τωρα για το άλλο με τα Μ και Ν. Το - μπαινει μονο και μονο για να μπορεις τελικα να γραψεις το M(x,t)dx + N(x,t)dt = 0. Οπότε είναι δική σου επιλογή αν θα έχεις στο συγκεκριμενο παραδειγμα M(x,t) = (x^2-3x+2) και Ν(x,t) = -(t^2-5t+6) ή M(x,t) = -(x^2-3x+2) και Ν(x,t) = (t^2-5t+6). Βεβαια δεν χρειαζεται να κολλας τοσο στη μεθοδολογια αν σε μπερδεύει. Και F = M/N να είχες θα κατέληγες στην M(x,t)dx - N(x,t)dt = 0 και μετά θα έλυνες με τον ίδιο τρόπο αλλά με - αντί για +.

Ευχαριστώ!

έχει κανένας τα θέματα από τις τελευταίες εξεταστικές;

Ιούνιος '16. Θέματα Κεχαγια. Πρόβλημα 3:
Υπολογίστε την d (f (t)h (t) )/dt, h (t) συνάρτηση Heaviside.
Εχει κανείς καμία ιδέα πως λύνεται?

Δεν μπορώ να βρω τα θέματα στα Downloads  ::)
Σε γενικές γραμμές η απάντηση είναι df/dt * h(t) + f(t) * δ(t), το οποίο φαντάζομαι θα το ήξερες. Οπότε αν δεν σου είναι κόπος ανέβασε ένα screenshot για να το δω καλύτερα  ;)

Φεβρουαριος 14, θέμα 1, ερώτημα γ

Πώς να βρω την γενική λύση της διαφορικής ?

Επίσης μπορεί καποιος να εξηγήσει πιο αναλυτικά την διαδικασία από το παρακάτω πρόβλημα? Δεν βρίσκω παρόμοια λύση στις σημειώσεις και η λύση με Laplace έχει διαφορετικο αποτέλεσμα.

Λύση συστημάτων ΔΕ με ιδιοδιανυσματα ήταν εκτός ύλης την τελευταία φορά που διδάχτηκε το μάθημα. Μόνο με Laplace. Αν σου βγάζει διαφορετικό αποτέλεσμα ο Laplace πρόσεξε τις πραξεις σου, λογικά θα έχεις κάνει κάποιο λάθος.

Thanks