Καλησπέρα,
Στην 16 για z=0 ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauchy-Riemann. Όταν παίρνω τον ορισμό του f'(0) = limz->0[(f(z)-f(0))/z] βγάζω δύο διαφορετικές τιμές για το όριο (δίνοντας y=x και y=1). Προφανώς αφού έχω δύο τιμές για το όριο το όριο δεν υπάρχει. Άρα δεν υπάρχει και η f'(0). Βέβαια σε αυτό μου το συμπέρασμα διαφωνεί το Wolfram που μου βγάζει μια χαρά παράγωγο.
Καμία άποψη;
Πως έβγαλες ότι ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauchy-Riemann, ενώ δεν ορίζονται καν οι ux, uy, vx, vy στο σημείο z=0? Στην 16 για z=0 ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauchy-Riemann. Όταν παίρνω τον ορισμό του f'(0) = limz->0[(f(z)-f(0))/z] βγάζω δύο διαφορετικές τιμές για το όριο (δίνοντας y=x και y=1). Προφανώς αφού έχω δύο τιμές για το όριο το όριο δεν υπάρχει. Άρα δεν υπάρχει και η f'(0). Βέβαια σε αυτό μου το συμπέρασμα διαφωνεί το Wolfram που μου βγάζει μια χαρά παράγωγο.
Καμία άποψη;
u(0,0)=v(0,0)=0
ux=limx->0((u(x,0)-u(0,0))/x)
κ.ο.κ.
Άλλα έστω ότι έχω άδικο επ αυτού. Έστω ότι δεν ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann είναι ή δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0;
Γιατι ακολουθώντας τον τύπο f'(0) = limz->0[(f(z)-f(0))/z] και δίνοντας τον στο Wolfram έχω το επισυναπτόμενο...
Σόρρυ, έκανα λάθος όταν έλεγα πως δεν υπάρχουν οι μερικοί παράγωγοι. Έχεις δίκιο στο ότι υπάρχουν, και ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy-Riemann.
Τώρα, όσον αφορά το κατά πόσο είναι παραγωγίσιμη, και εγώ βρήκα πως το όριο δεν υπάρχει. Άρα δεν είναι παραγωγίσιμη η f(z) στο z=0. Το Wolfram|Alpha χρησιμοποιεί κάποιες μεθόδους (παραγώγους του μέτρου μιγαδικού, παραγώγους του φανταστικού μέρους μιγαδικού, κλπ) που δεν έχουν ξαναχρησιμοποιήσει, οπότε δεν μπορώ να κρίνω κατά πόσο έχει δίκιο ή όχι
Για να είναι παραγωγίσιμη η f(z) στο 0 αρκεί να υπάρχει το όριο lim( (f(z) - f(0))/(z-0), as z->0
Αν εφαρμόσουμε την ίδια μπανανιά που έχει κάνει στην άσκηση 1.(ε) του κεφαλαίου 3
μελετώντας δηλαδή για z=x με x->0
βγάζουμε το όριο να είναι μηδέν.
κλικ εδώ
και μελετώντας για z=yi με y->0
βγάζουμε το όριο πάλι μηδέν.
κλικ και εδώ
άρα καλά τα λέει το wolfram στον tsolias.
Και αν κατάλαβε κανείς την μπανανιά που κάνει μπορεί να την εξηγήσει;
Τι είδους προσέγγιση είναι αυτή που μελετάμε ξεχωριστά το όριο στον άξονα των πραγματικών και στον άξονα των φανταστικών;
συμφωνω μαζι σου!! γενικα αυτη τη μπανανια που λες την εκανε σε 2 ασκησεις νομιζω οταν εμπλεκεται μιγαδικος η πραγματικο και φανταστικο μερος
αναφερει κατι τετοιο στις σημειωσεις σελ 66 αλλα ειναι για ακολουθιες
απειρα quotes αλλα χρειαζονται
γιατι να μη το δουμε πιο απλά το θεμα
στο z=0 εχουμε ασυνεχεια
μπορει να ειναι ασυνεχης και παραγωγισιμη ???
επισης για z διαφορο του 0 οταν παιρνω cauchy riemann βρισκω 2 περιπτωσεις y=x και y=-x
τα βρηκε αυτα κανεις ?
τι λεμε σ αυτη τη περιπτωση ισχυουν ή οχι οι συνθηκες ?
εδιτ : ακυρα αυτα π λεω για την ασυνεχεια , ας απαντησει καποιος αν μπορει για τις συνθηκες μονο
edit 2 : τελικα νομιζω οτι ισχυει αυτο της σελ.73 σημειωση (α) για να βρουμε αν ειναι παραγωγισιμη στο 0 η οχι