THMMY.gr

Για οποιεσδήποτε απορίες πάνω σε ασκήσεις-θἐματα εξετάσεων μπορείτε να ρωτάτε εδώ.


Θα δημιουργούνται ξεχωριστά τόπικς για τις εργασίες σας.
edit by c0ndemn3d

έστω δύο πίνακες Α και Β, αν ισχύει, Α*Β=Ο, μπορούμε να συμπεράνουμε κάτι για τους Α ή Β?

Δεν νομίζω πως μπορείς να βγάλεις κάποιο ιδιαίτερο συμπέρασμα. Σίγουρα όχι, πάντως, πως ένας από τους δύο πίνακες είναι μηδενικός!!

ριξε μια ματια και σε κατι.. ταυτοδυναμους (; ) βεβαια δε ξερω αν βγαινει τετοιο συμπερασμα απλα μηπως σου ρθει καμια φλασια απο εκει

ευχαριστώ παιδιά.
Άλλη ερώτηση τώρα: έστω ότι έχουμε μία σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε μεταξύ πινάκων .Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μαθηματική επαγωγή?(ναι η μεταβλητή είναι φυσικός αριθμός)

Εννοείται. Μπορείς να χρησιμοποιείς μαθηματική επαγωγή οπουδήποτε έχεις φυσική μεταβλητή.

Εχουμε το συστημα 2x1+3x2+x3=0
                                2x1+3x2+x3=0
                                 4x1+6x2+2x3=0
Εχει κανείς καμιά ιδέα για το πως λύνεται??

προφανής λύση η 0νική.. επειδή δετ(Α)=0 έχω άπειρες λύσεις. και πρέπει να τις βρεις.. να θεωρήσεις την μια μεταβλητή σταθερή να την πας από την άλλη μεριά και να κάνεις κράμερ πχ ως προς τις άλλες 2.. έτσι θα βρείς τις 2 μεταβλητές συναρτήσει της 3ης.

Αν παω τη χ3 στην αλλη μερια και κανω crammer ως προς τ 2 πρωτες μ βγαινει ο παρανομαστης 0..τι δεν πιάνω?? :(

από ότι βλέπω οι εξισώσεις είναι ίδιες οπότε είναι σαν έχεις μια εξίσωση με 3 αγνώστους. θεωρείς τους 2 σταθερές και λύνεις ως πρώτο. δεν βλέπω κάτι άλλο.

ναι αυτό σκέφτηκα και εγώ..το μόνο που μου έρχεται στο μυαλό τουλάχιστον..ευχαριστώ όπως και να έχει πάντως!! :)

Η πρώτη εξίσωση είναι ίδια με τη δεύτερη.

Εγώ θα έπαιρνα Gauss πάντως. Ο Crammer είναι για τους nerdουλες.

Και βγαίνει με Gauss??(τώρα το είδα :P)
Επίσης κάτι άλλο μήπως έχει κανείς καμια ιδέα για το πως λύνεται η 2.12 απο τις σημειώσεις του Ατρέα??Γενικα όταν ειναι κάθετες 2 ευθείες στο R3 τι ισχύει και πως μπορώ να το χρησιμοποιήσω αυτό στην άσκηση??Κάτι τελευταίο όταν λέει να αποδείξουμε ότι είναι ασύμβατες οι ευθείες τι εννοεί??
(2.12 απο τις άλυτες εννοώ)

Ασύμβατες νομίζω σημαίνει ότι δεν τέμνονται.  ;)

Εντιτ : Λάθος η λύση μου για την  2.12,θα την κοιτάξω και θα σας πω :)

ναι σωστα αυτό σημαίνει...ευχαριστώ..οκ αν μπορείς δες την λίγο ναι..και πάλι ευχαριστώ.:).(το Lord απο το Λόρδος ε?? :P)

Λοιπόν,βρήκα μία λύση αλλά δεν βγάζω τα ίδια αποτελέσματα με Ατρέα.
-Έστω Κ(x₀,y₀,z₀) το σημείο τομής των 2 ευθειών.
-Ισχύει ότι το διάνυσμα PK = (1-x₀,1-y₀,1-z₀)  είναι κάθετο στην ζητούμενη ευθεία,δηλαδή το εσωτερικό του γινόμενο με το παράλληλο διάνυσμα της δοσμένης ευθείας είναι μηδέν. 1^η Σχέση.
-Έπειτα εκφράζουμε τα y₀ και z₀ συναρτήσει του x₀ μέσω των σχέσεων που περιγράφουν την δοσμένη ευθεία.
-Αντικαθιστούμε τις παραπάνω τιμές στην 1^η Σχέση. και προσδιορίζουμε το  x₀ και κατ'επέκταση και τα άλλα 2.
-Έπειτα βρίσκουμε το διάνυσμα PK.
-Ε έτσι έχετε προσδιορίσει την ευθεία,αφού ξέρετε και το παράλληλο διάνυσμα,και ένα σημείο.


ΥΓ Από κει βγαίνει.  ;)

Στα περυσινά θέματα του Φεβρουαρίου (υπάρχουν στα downloads) υπάρχει η άσκηση να βρούμε μια ορθογώνια βάση του span {...}. Μια οποιαδήποτε βάση ξέρουμε να βρίσκουμε, αλλά ορθογώνια πως?

Υπάρχει ένας αλγόριθμος στο κεφάλαιο 10, ο Grand-shimdt (ή κάπως έτσι) που λέει ότι θα κάνει τη βάση ορθογώνια, αλλά είναι εκτός ύλης (δε ξέρω αν πέρυσι ήταν μέσα). Άλλο τρόπο, μόνο αν παίρναμε 2 διανύσματα του span και απαιτούσαμε να είναι κάθετα?  :-\ Υπάρχει τρόπος να βρω κατευθείαν ορθογώνια βάση? Ή έστω γενικά πως θα το λύνατε?

Βρίσκεις μία βάση του span() και μετά κάνεις Gram Schmidt.
Δεν είναι κάτι δύσκολο πάντως,ένας τύπος είναι.  ;)

Ναι, αλλά δε κάναμε τέτοιο πράμα... Να τον μάθω, αλλά αυτό είναι το πρόβλημά μου. Ξέρεις αν πέρυσι που μπήκε το συγκεκριμένο θέμα διδάχτηκε?

Πέρυσι είχε διδαχθεί ο αλγόριθμος Gram-Schmidt και το εν λόγω θέμα μπορούσε να λυθεί μέσω αυτού .

Οκ, σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις  :)

πως μπορουμε να βρουμε την εικονα ενος πινακαA (im(A)=). ποιο τυπο θα παρω? ο κεχαγιας στη θεωρια λεει y=Ax, οπου χ=?

τώρα το είδα...ναι σωστά έτσιι πρέπει να είναι...θα το επειχηρησω να το λύσω σε λίγο...ευχαριστω πολύ.. :D :D

Όπου χ, οποιοδήποτε διάνυσμα χ!  :D Θες όλες τις απεικονίσεις του x στο y μέσω του πίνακα Α, κάτι σαν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f.

Πάντως το Im(A) είναι ίσο με το span (v₁, ν₂, ... , ν_n), όπου ν_j οι στήλες του Α. Οπότε υποθέτω ότι αν βρεις μια βάση του span, θα χεις βρει και μια βάση του Ιm(Α) που θα αποτελείται από πχ. 2 διανύσματα a₁,a₂. Τότε θα ναι Ιm(Α) = κa₁ + λa₂, με κ,λ να ανήκουν στο R...

Μπορεί κάποιος να ανεβάσει τη λύση της άσκησης 7 από τα θέματα Οκτωβρίου 2012?
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

καμια βοηθεια για το 5 θεμα φεβρουαριου 2012 ομαδα γ...εχω κολλησει...

Αρχίζεις να αφαιρείς από κάτω προς τα πάνω την τελευταία γραμμή από τις επόμενες. Στο τέλος θα έχεις για στοιχεία της διαγωνίου -1 και προσθέτεις γραμμές  στην τελευταία . Δημιουργείται τελικα ένας ανω τριγωνικός !? δε θυμάμαι καλα . Αλλά έτσι λύνεται :D

Μπορεί κάποιος να μου πει πως λύνονται οι ασκήσεις 4.3.22 και 4.3.23 από τις σημειώσεις του Κεχαγιά;

https://blackboard.lib.auth.gr/bbcswebdav/pid-16356-dt-content-rid-42767_1/courses/10U007/Course%20Documents/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82%20%CE%93%CF%81%CE%B1%CE%BC.%20%20%CE%86%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1%CF%82/LAlgBook.pdf

Πίνακας [Α]=

α	1	0
0	α	1
0	0	α

Δείξτε ότι για Κ=1,2,...

[Α]^Κ=

αΚ	ΚαΚ-1	[(Κ-1)ΚαΚ-2]/2
0	αΚ	ΚαΚ-1
0	0	αΚ

Έχω κολλήσει πολύ. Μπορεί να μου πει κάποιος πως λύνεται??

Επίσης πως λύνεται η: Αν Α²=0 τότε δείξτε ότι Α(Ι-Α)^k=0 για κάθε k={1,2,..}

Νομίζω είναι Α(Ι-Α)^k=Α και βγαίνει επαγωγικά.

εδιτ: Το άλλο με διαγωνιοποίηση δε βγαίνει; (προφανώς όχι)

Πώς βρίσκουμε τις ιδιοτιμές ενός διαμερισμένου πίνακα??? :???: :???:  :-\

Σημειώσεις Κεχαγιά, σελίδα 116, τελευταία πρόταση: Έχω την εντύπωση ότι η χρήση της λέξης "πεπερασμένων" είναι λανθασμένη. Γνωρίζει κάποιος με βεβαιότητα;
(Η πρόταση λέει: "Δηλ. το ανάπτυγμα του V είναι το σύνολο όλων των πεπερασμένων γραμμικών συνδυασμών διανυσμάτων που ανήκουν στο V", αναφερόμενος στο span(V), όπου V σύνολο διανυσμάτων και ταυτόχρονα υποσύνολο του διανυσματικού χώρου U)

Από τις σημειώσεις του Κεχαγιά σελίδα 68 τι εννοει όταν λέει: "Από την πρώτη γραμμή αφαιρούμε τη δεύτερη και μετά αναπτύσσουμε κατά τα στοιχεία της πρώτης γραμμής?

αναπτύξεις ορίζουσα κατά τα στοιχεία της πρώτης γραμμής..

Μπορείς να γίνεις λίγο πιο σαφής?  :)

+1


Δεν ξέρω αν γίνεται πιο σαφής... Γενικά, μπορείς να βρεις ορίζουσα ως προς όποια γραμμή/ στήλη θες, εδώ είναι με την πρώτη...

απο τα θεματα φεβρουαριου του 12 ελυσε κανεις το 5ο ??????????
εχει μηδενικα στη δια γωνιο και ολα τα αλλλα ειναι ασοι >...... :-[

Προσθεσε τα παντα στην πρώτη γραμμή,κοινος παραγοντας, και μετα αφαίρεσε από κάθε γραμμή την πρώτη

οταν λες προσθεσε τα παντα στην πρωτη γραμμη τι εννοεις ?
(αν τα προσθεσω βγαινει 5 )  :)

Κάθε γραμμή πρόσθεσε την στην 1η.

ευχαριστω θα το δοκιμασω ! 8))

τι βγαζω κοινο παρ. ??
εχω κολλησει

Kάνε το όπως νομίζεις. Εγώ το έγραψα έτσι όπως το σκέφτομαι. ;)

Μπορεί να μου εξηγήσει κάποιος τι είναι οι κόμβοι στην απαλοιφή Gauss γιατί δυσκολεύομαι να καταλάβω?

αν εχω καταλαβει καλα και εγω...
οταν μια σειρα(μετα τις γραμμοπραξεις) εχει ενα τουλαχιστον μη μηδενικο ψηφιο τοτε ειναι κομβος

κομβος ειναι το πρωτο μη  μηδενικο στοιχειο της καθε σειρας σε εναν επαυξημενο κλιμακωτο πινακα.

στην σελίδα 29 στις σημειώσεις του κ Ατρεα έχει λάθος στην ορίζουσα? Αν όχι πως υπολογίζεται?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=det%28{{x%2C+y%2C+z%2C+1}%2C+{2%2C+1%2C+1%2C+1}%2C+{3%2C+-1%2C+1%2C+1}%2C{4%2C+1%2C+-1%2C+1}}%29 (http://www.wolframalpha.com/input/?i=det%28{{x%2C+y%2C+z%2C+1}%2C+{2%2C+1%2C+1%2C+1}%2C+{3%2C+-1%2C+1%2C+1}%2C{4%2C+1%2C+-1%2C+1}}%29)

ευχαριστω! τελικα εχει λαθος σωστα την ειχα υπολογισει.

Ποτε μια βαση (του span, Φεβρουαριος 2012, ομαδα Α) λεγεται ορθογωνια;

πως βρισκουμε τα ορθομοναδιαια ιδιοδιανυσματα???? (δε μπορω να καταλαβω πως τα βγαζει ο ξενος στο βιβλιο του σελ.415-424 πιο συγκεκριμενα)

Εστω το διάνυσμα (1,2) ,
το ορθομοναδιαίο του είναι (1,2)/sqrt(1^2+2^2) ,,

Εστω το διάνυσμα (7,2) ,
το ορθομοναδιαίο του είναι (7,2)/sqrt(7^2+2^2) ,,

ουσιαστικά είναι το ίδιο του διαιρεμένο με το μέτρο του.... ;)

αα μαλιστα! οκ ευχαριστω! :o

οταν λεει  Η ασκηση  απο το 2ο σετ ασκησεων ,  η ασκηση   που λεει  να μελετηθει  και να προσδιοριστει το ειδος της καμπυλης  .Εννοει μονο το γενος της καμπυλης  δηλαδη ελλειψη παραβολη υπερβολη,  η να το παμε παραπανω στον υπολογισμο της οριζουσας D;

Ας πει καποιος αν γινεται τι διαφορα εχει μια ορθογωνια απο μια αλλη βαση του span! (Θ3 ΦΕΒ2013)

Οι ορθογωνιότητες είναι εκτός ύλης

ευχαριστω  :)

Πλήρης αναγνώριση. Όλο το πακετάκι.

στην αναγνώριση των επιφανιων χωρις πραξεις....σε τι διαφέρει η σφαίρα απο το ελλειψοειδές ?

οπως σελ.79 2i. σημειωσεις κ.Ατρεα

το σημετρικο σημειο του Μ ωσ προς ευθεια πως βρισκεται?

+1

πως μπορουμε να βρουμε εναν πινακα στη μορφη e^A?

Πρακτικά η σφαίρα είναι ένα ελλειψοειδές με a=b=c

Σημειώσεις Κεχαγιά σελ241 Ασκ12 και σελ242
Ασκ13 και 14

αα μαλιστα και αλλη μια απορια στην ασκηση 1 απο τη 2 εργασια, ουσιαστικα πρεπει να βρουμε το πυρηνα και την εικονα του πινακα Τ? ή καποιου αλλου που πρεπει να υπολογισουμε?

σωστά συμφωνώ μαζι σου αλλα στην ασκηση  ειναι a(διαφορο)b=c
kai thn anagnorizei vs sfaira

+1

?

που τις βρίσκει κανείς αυτές τις σημειώσεις ??? δεν έχω κωδικο για το blackboard!!!

Ορίστε

ευχαριστώ  ^super^

Σε αυτα που σου δινει μια δευτεροβαθμια καμπυλη και σου ζηταει να αναγνωριστει, ο Ατρεας στις σημειωσεις που εχει ανεβασει το βρικσει μεσω της οριζουσας D και με καποιες συνθηκες που γραφει πχ αν A*D<0 -> ελλειψη.
Ο Ξενος με αυτο τον τροπο τις θελει?

παιδιά όταν ζητάει να βρείτε το span ειναι το ιδιο πραγμα με το να ζηταει να βρειτε μια βαση του span??

φλεβάρης 2012, ομάδα Α
θέμα 9

πόσο βρίσκετε;
γιατί βρίσκω εγώ βρίσκω κ^2 < 2  :???:

Για πραγματικη ελλειψη πρεπει Δ>0  αλλα και Α*D <0

Αν δεν κανω λαθος το Δ ειναι k^2 < -2 .

Οι ιδιοτιμες του διαμερισμενου πινακα θα ειναι το συνολο των ιδιοτιμων των επιμερους πινακων που
τον απαρτιζουν.


        2 3 0 0
 Α=  1 2  0 0         πχ εχεις αυτον τον πινακα που μπορει να διαμεριστει στους πινακες
        0 0 4 5           Α1=2 3             και    Α2=4 5
        0 0 6 7                  1 2                             6 7


                                                        Α1 0
Αρα ειναι το ιδιο να γραψεις  Α=   0   Α2
Μπορεις να βρεις τις ιδιοτιμες των Α1 και Α2 και κατα συνεπεια , οι ιδιοτιμες του Α θα ειναι το συνολο τους. Ελπιζω να σαι καλυψα.

Το δοκιμασα αλλα δεν μου βγαινουν ιδιες....  :( :( :( Ευχαριστω πάντως  :)

Αν μπορει καποιος να προτεινει ενδεικτικες λυσεις για τα παρακατω θεματα:

--- Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος σημειων του χωρου R³ (Θεμα 10 Φεβρουαριου 2012 - Ομαδα Γ)

--- Να βρεθει το συμμετρικο σημειου ως προς ευθεια (Θεμα 6 Φεβρουαριου 2012 - Ομαδα Α)

--- Να βρεθει η εξισωση επιπεδου παραλληλου στο επιπεδο κλπ κλπ (Θεμα 7 Οκτωβριου 2012 - Ομαδα Β)

--- Να βρεθει η εξισωση επιπεδου κλπ κλπ (Θεμα 6 Σεπτεμβριου 2010 - Ομαδα Β)

Ευχαριστω οποιον βοηθησει....

Απο τις σημειωσεις του ατρεα:

Χρειαζεται να ασχοληθουμε πολυ με το 3ο κεφαλαιο; (Γιατι απο οτι βλεπω δεν πεφτει κ πολυ στις εξετασεις)
Επισης, απο 5ο κεφαλαιο ο μονος τυπος θεματων που πεφτει ειναι η αναγνωριση επιφανειων που οριζονται απο εξισωσεις, σωστα;

Έστω σημείο Μ(x,y,z) σημείο του γτ. Τότε μετασχηματίζεις το πρόβλημα κλασσικής γεωμετρίας μέσω του τύπου απόσταση σημειου από σημείο σε αναλυτική και κάνοντας τις πράξεις αν δεν κάνω λάθος βγαίνει μια σφαίρα.


Θα βρεις αρχικά την προβολή του σημείου πάνω στην ευθεία. Αν δεν ξέρεις το πως μου λες. Και μετά για το μέσο ισχύει το εξής:
Συντεταγμενες Δοθέντος Σημείου+Συντεταγμένες Συμμετρικού Σημείου=2*Συντεταγμένες Προβολής στην Ευθεία.


Bρίσκεις διάνυσμα παράλληλο στην πρώτη ευθεία, διάνυσμα παράλληλο στη δεύτερη ευθεία και σημείο της πρώτης ευθείας που βρίσκεται πάνω στο επίπεδο (χ0,y0,z0)
Η εξισωση του είναι τότε:
Οριζουσα
|χ-χ0 y-y0 z-z0
Συντεταγμένες πρώτου διανύσματος
Συντεταγμένες δεύτερου διανύσματος|=0

θεματα φεβρουαριου της ομαδας Α του 2012..μπορει καποιος να πει απαντησεις για την 8??

S1: Διχωνο υπερβολοειδες εκ περιστροφης
S2: Κωνικη επιφανεια
S3: Υπερβολικο Παραβολοειδες
S4: Ελλειψοειδες
S5: Ζευγος Επιπεδων

ευχαριστω πολυ! το 5 ειναι ζευγος επιπεδων γτ φευγουν οι 2 μεταβλητες?

@ Psofia Psira Ευχαριστω πολυ για τις λυσεις!

Υ.γ : Υπαρχει περιπτωση να εχουμε και το Θεμα 7 Οκτωβριου 2012 - Ομαδα Β  :P ?

Ένας τρόπος δεν ξέρω αν ο πιο σύντομος.
Τα δυο επίπεδα θα έχουν ίδια κάθετα διανύσματα. Αρα και το άλλο επιπεδο θα είναι της μορφής x+2y+z+c=0
Παιρνεις ένα σημείο της ευθείας και βρίσκεις την απόσταση αυτού από το πρώτο επίπεδο. Η ιδια απόσταση με το ίδιο σημείο θα ισχύει και για το x+2y+z+c=0 από όπου βρίσκεις το c.

Aν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος είναι το x+2y+z-3=0

ποτε ενας πινακας λεγεται ορθογωνιος?? (θεμα 4 ομαδα Γ φλεβαρης 12)

βασικα εχει κανεις τις λυσεις αυτων των θεματων??

Όταν Α*Α^Τ=Ι

 ^victory^

ξερει κανεις που μπορω να βρω παρομοια ασκηση με αυτην που λεει βρειτε τις τιμες τις παραμετρου ωστε π.χ η δοθεισα καμπυλη να παριστανει ελλειψη ? οπως στο θεμα 8 σεπτ. 12 ομαδα Β

στις σημειωσεις του ατρεα θα βρεις αναλυτικα παραδειγματα.


εδιτ: κεφαλαιο 4

Συγκεκριμενα δες στις σελιδες 68-69 των σημειωσεων του Ατρεα

ok ευχαριστω. . !

θεματα φλεβαρη 12 ομαδα γ μπορει καποιος να γραψει τις επιφανειες??

S1: Κυλινδρικη επιφανεια (δεν ειμαι τελειως σιγουρος)
S2: Ζευγος Επιπεδων
S3: Κωνικη επιφανεια
S4: Μονοχωνο υπερβολοειδες
S5: Ελλειπτικο Παραβολοειδες

βασικα τη δευτερη επιφανεια πως τη βγαζεις??

το (x+y-z)^2 - (x-2y)^2 = 0 παριστάνει δύο ευθείες ή δύο επίπεδα?  ::)

Δες σελιδα 80 σημειωσεις Ατρεα. Εκει το αναφερει σαν ζευγος τεμνομενων επιπεδων Απο εκει το πηρα κ εγω.

πάνε έναν από τους δύο όρους στο δεύτερο μέλος. Πάρε απόλυτες τιμές διώχνοντας τα τετράγωνα και προκύπτουν δύο πρωτοβάθμιες εξισώσεις ως προς x,y,z δηλαδή δύο επίπεδα.

Πως διχνω οτι ειναι ασυμβατες 2 ευθειες?

Αν το μικτο γινομενο των διανυσματων [ΑΒ,a,b] ειναι διαφορο του 0

Οταν σου ζητα πχ φεβρ2012 να βρεις την εξισωση του κυκλου και τα σχετικα και σου δινει 2 εξισωσεις {   .. , ... } πως εργαζεσαι?

Φεβρουαριος 2012 ομάδα Γ θέμα 6,ποιά εξίσωση βρήκατε για το επίπεδο?

[δεν είμαι σίγουρη]

ο κύκλος είναι τομή της σφαίρας (x-1)²+(y-2)²+z²=4   και του επιπέδου z=0

κάθε σφαίρα που διέρχεται από αυτόν τον κύκλο θα έχει εξίσωση : S(k)=x²+y²+z²-2x-4y+kz+1=0 (1)   **απλώς κάνουμε πράξεις στην παραπάνω εξίσωση και κοτσάρουμε και ένα kz**

Όμως το σημείο (-1,2,4) ανήκει στη σφαίρα οπότε θα ικανοποιεί την (1) κ αν δν κάνω λάθος με τις πράξεις βγαίνει κ=-4
Το αντικαθιστούμε στην (1) κ βγαίνει η εξίσωση της σφαίρας

όπως δηλ. σελ 70-71(παρ 3.2.8) σημειώσεις κεχαγιά γεωμετρίας

[/δεν είμαι σίγουρη]

κανενα αποτελεσμα απο την ασκηση 7 φεβ'12 ομαδα Α;

βασικα πως λυνεται? και θα σου πω αποτελεσμα  :D

θα πεις εστω Κ το κεντρο της σφαιρας και Λ το κεντρο του κυκλου.ισχυει οτι ΚΛ=λη οπου η το καθετο διανυσμα στο επιπεδο που σου δινει.μεσω αυτης της σχεσης θα καταληξεις στο εξης συστημα: χο=1+2λ,  yo=2+2λ,  zo=3-λ (για τις πραξεις μου δε παιρνω και ορκο...  ;D) οπου (χο.yo,zo) οι συντεταγμενες του Λ. Ομως το Λ ανηκει στο επιπεδο πυ σου δινει αρα αντικαθιστας τις τιμες χο,yo,zo και βρισκεις το λ.μετα βρισκεις τα xo,yo,zo απο τις παραπανω σχεσεις και εχεις το Λ. βρισκεις την αποσταση (ΚΛ) και το R της σφαιρας που σου δινει παιρνεις ενα πυθαγορειο θεωρημα και εχεις: (ΚΛ)²+r²=R² οπου r η ακτινα του κυκλου που θελεις και εισαι τελιωμενος!! ;D ;D ;D

Α τοσο απλα και ωραια δλδ... :P

re paidia ti pliroforia pairnoume apo to dedomeno oti ena epipedo dierxetai apo mia eu8eia??

μπορεις να βρεις ενα σημειο που επιβεβαιωνει την ευθεια και αφου το επιπεδο περναει απο την ευθεια ειναι σημειο και του επιπεδου...

Η ευθεία δίνεται ως : ( x-x0 ) / a0 = (y-y0) / b0 = ( z - z0 ) / c0. Αν δε δίνεται ακριβώς έτσι, κάν`το εσύ. Πχ αν έχει 5 - y, τότε γράψ`το ως y - 5 / ( -1 ).
Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία διέρχεται απ`το σημείο A ( x0, y0, z0 ) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα Β = ( a0, b0, c0 ).
Άρα έχεις ένα διάνυσμα παράλληλο προς το επίπεδο ( αφού είναι παράλληλο στην ευθεία ), κι ένα σημείο του επιπέδου. Αν έχεις άλλο ένα διάνυσμα παράλληλο στο επίπεδο ( ή άλλο ένα σημείο του επιπέδου, ώστε να δημιουργήσεις εσύ διάνυσμα, αυτό που συνδέει το A ( x0, y0, z0 ) και το άλλο αυτό σημείο ) τότε παίρνεις την εξίσωση του επιπέδου ως :
| (x-x0) (y-y0) (z-z0) |
|   v11    v12    v13  |   = 0
|   v21    v22    v23  |
Όπου αυτή η αηδία που έγραψα είναι ορίζουσα.

2 ερωτησεις και καλη επιτυχια μας αυριο....  :P

1) Πως ειπαμε βρισκουμε προβολη σημειου σε ευθεια ;

2) Πως βρισκουμε διανυσμα απο ευθεια οταν μας την δινει με μορφη 2 εξισωσεων οπως τον Σεπτεμβρη 2010; (λεει ε: {2x+z=3, y+2=0}

+1

1)Βρίσκεις τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας και λες: Έστω Μ_ο η προβολή του Μ στην ευθεία. Τότε: d(M_o, M)=d(M,ε) και εκφράζεις τα Χο, Υο και Ζο του Μ_ο από τις παραμετρικές που βρήκες πριν και έτσι βρίσκεις το λ, το αντικαθιστάς στις παραμετρικές και βρήκες το Μ_ο.
2)y=-2
x=(3-z)/2 άρα οι παραμετρικές είναι:
χ=0+1λ
y=-2+0λ
z=3-2λ και το διάνυσμα που ζητάς είναι το: (1,0,-2)  :)

Ευχαριστω πολυ! Αντε καλη μας επιτυχια παιδια.

απο σεπ '12 τι επιφανεις βρηκατε;

Φεβρουάριος 12 Γ ομάδα άσκηση 4 μπορεί να γράψει κάποιος αναλυτικά πως λύνεται?


Μπες http://www.wolframalpha.com/ γράψε τις εξισώσεις στη γραμμή αναζήτησης και θα σου βγάλει τι είναι τι!! :D

Κυλινδρική επιφάνεια
Κωνική Επιφάνεια
Ελλειψοειδές (Σφαίρα)
Δύο παράλληλα επίπεδα
Μονόχωνο υπερβολοειδές

γεωμετρικός τόπος είναι εντός ύλης?

παιδια αν κ τελευταια στιγμη,να μ σωσει καποιος..ορθογώνια βαση τ σπαμ πως δουλευουμε??εχει κανα παραδειγμα??

είναι εκτός ύλης η ορθογωνιότητα

Α πάλι καλα,μπορεις όμως να ζητησει μια βαση τ σπαμ οπως εχει καποια παραδειγματα νομιζω...

αυτό ναι

Κανείς που να ξέρει πως λύνεται το 4ο Ομάδας Γ Φεβρ.2012????? Εκπέμπω SOS!!!

Το θέμα αυτό έχει μέσα ορθογωνιότητες που είναι εκτός ύλης. Οπότε άραξε  :D

Μου 'φυγε ενα βάρος....  :o
Απόδειξη αν βάλει θα βάλει ίδια μ'αυτές που έχει στις σημειώσεις?

παιδια αυτος ο τεραστιος πινακας στην πρωτη ομαδα 5 ασκηση πως αντιμετωπιζεται??γ του 2012 μιλαω..

Δοκίμασε να αφαιρείς από κάθε στήλη την επόμενή της. Θα καταλήξεις σε έναν πίνακα με πολύ πιο απλή ορίζουσα...

οκ ευχαριστω...και κατι αλλο στις σημειωσεις Ατρεα σελ 69 ασκη 15 αυτο το Α απο π προκυπτει??ειναι και πιθανον να βαλει κατι τετοιο παλι...

Στις επιπεδες καμπυλες 2ου βαθμου στην σελιδα 412 εχει τον τυπο 4.6 για τον υπολογισμο της μορφης της f(x,y) για το νεο συστημα συντεταγμενων... στα παραδειγματα για να βρουμε την μορφη αυτη υπολογιζουμε τον πινακα L και ακολουθουμε την διαδικασια καταληγοντας σε μια σχεση για το νεο συστημα συντεταγμενων (x1,y1)... αν συγκρινεις ομως τα αποτελεσματα της 4.6 με αυτα τον παραδειγματων ειναι διαφορετικα...Γιατι δεν βγαινουν τα ιδια??

π.χ. στο παραδειγμα 7.4 σελ 420 αν υπολογισεις τις εξισωσεις των ευθειων με την 6.6 βγαινει για το νεο συστημα συντεταγμενων y1=+-x1 ενω με την διαδικασια μεσω του πινακα L καταληγουμε στην y1=x1 και x1+y1=2/ριζα(10)

έχει κανείς απαντήσεις από θέματα του 2012 ή και από προηγούμενα έτη?
μονο το τελικο αποτελεσμα, δεν χρειαζομαι ολοκληρες τις λυσεις

όταν μια ευθεία που μας δίνει ειναι ετσι  χ=1-y=z+2 (feb 2009 omada Δ), τότε εχω προβλημα με το συντελεστη του y. τοτε τι μπορώ να κάνω για να προχωρησω αυτή την άσκηση; μπορώ να συμπεράνω κάτι από αυτήν την σχέση, πως μπορεσω να την αξιοποιησω;

Εχουμε 2 διανυσματα PQ=(3,4) και AB=(8,-4)  οχι παραληλλα και οχι καθετα με οριζουσα ανιση του 0.
Αποτελουν βάση του επιπεδου. Πώς βρισκουμε τιw συντεταγμενες του σημειου Α=(1,1) ως προς την βάση αυτη ???

απλώς βγάζεις έναν - στο 2ο (από τα 3) μέρος: χ=y-1/(-1)= z+2

Οπότε πρόκειται για την ευθεία που διέρχεται από το (0,1,-2) και είναι παράλληλη στο (1,-1,1)

υπάρχει κάπου λυμένη η δεύτερη εργασία?  :D

σε μια ασκηση απο σημειωσεις Ατρεα λεει: Έστω διάνυσμα L = (2,1,0) και σημείο Ρ = (3,4,9) που δεν ανήκει στον φορέα του L
Να υπολογίσετε την απόσταση d μεταξύ του σημείου Ρ και του φορέα του
διανύσματος L. Μπορει να βοηθησει κανεις ??(ειναι απλο αλλα μαλλον εγω εχω κολλησει)

Ο φορέας είναι (2x,x,0) και το σημείο P = (3,4,9). Το διάνυσμα της απόστασης μεταξύ φορέα και P είναι το X = (3-2x,4-x,9). Το μέτρο του διανύσματος αυτού γίνεται ελάχιστον για x=2. Άρα για x=2, η απόσταση d θα είναι sqrt(86).

ο φορέας μηπως ειναι (2χ,y,0) ? Βασικα πως τον βρισκεις ?

Δεν τον βρήκα με κάποιον τρόπο, απλά θεώρησα πως αφού το διάνυσμα είναι (2,1,0) ο φορέας του (δηλαδή το διάνυσμα επιμηκυμένο/συρρικνωμένο) θα είναι (2x,x,0). Μπορεί η λογική μου να είναι λάθος βέβαια :-\

ναι αλλα γιατι 2χ,χ,0 και οχι 2χ,y,0 αυτο δεν κατάλαβα

Έστω ένα διάνυσμα α. Ο φορέας του διανύσματος αυτός είναι η ευθεία που προκύπτει από όλες τις δυνατές επιμηκύνσεις/συρρικνώσεις του διανύσματος αυτού. Άρα x*α, για κάθε πραγματικό x. Εφόσον α=(2,1,0), τότε ο φορέας θα είναι (έτσι όπως το καταλαβαίνω εγώ) x*α=(2x,x,0). Το να βάλεις μια μεταβλητή y μέσα, αλλάζει τη διεύθυνση του διανύσματος οπότε δεν μιλάς πλέον για το φορέα του διανύσματος.

Γιατί ο φορέας είναι μια ευθεία ουσιαστικά με όλα τα παράλληλα διανύσματα στο αρχικό
4,2,0  6,3,0 12,6,0 κλπ
αυτά όλα είναι 2χ,χ,0
γενικά είναι x,y,z αλλά παρατηρείς z=0 και y=x/2
άρα χ,χ/2,0 που είναι το ίδιο με 2χ,χ,0

οκ ευχαριστω και τους 2 !!  :) :)

και μετα δουλευω οπως οταν εχω αποσταση σημειου απο ευθεια ??

είτε έτσι, είτε απλά βρίσκεις το x που ελαχιστοποιεί την απόσταση του P με το x*L και έτσι υπολογίζεις το μέτρο της απόστασης.

θενκ γιου

οι εξετασεις 2,5 ή 3 ωρες κρατανε σε αυτο;

στο θεμα 5 μαρτης του 13 ειναι οριζουσες η πινακες?

οριζουσες ειναι

Πώς λύνεται αυτη η άσκηση ?? (Σημειώσεις Ατρεα) Να βρεθούν οι συμμετρικές εξισώσεις της ευθείας που περνά από το σημείο
Ρ=(1,1,1) και είναι κάθετη στην ευθεία {3x − 5y + 2 = 0, 2x + 3z +1 = 0}.

η βαση του σπαν στο θεμα 2 μαρτης του 13 ειναι 3   -1  0  0   ?
                                                                         0  -1  1  0
                                                                         0  -1  1  1

θέμα 4ο
Μάρτιος 2013
Υπάρχει πουθενά στις σημειώσεις του Κεχαγιά κάτι παρόμοιο...?

νομιζω υπαρχει στην αρχη του βιβλιου του ξενου η αποδειξη για τους διανυσματικους χωρους

Ρε παιδια μήπως εχει λυσει κανεις αυτην την ασκηση?? (Σημειώσεις Ατρεα): Να βρεθούν οι συμμετρικές εξισώσεις της ευθείας που περνά από το σημείο
Ρ=(1,1,1) και είναι κάθετη στην ευθεία {3x − 5y + 2 = 0, 2x + 3z +1 = 0}.
Στις σημειωσεις δεν υπάρχει παρόμοια. Και κατι αλλο....γιατι μας δινει την εξισωση της ευθειας με 2 διαφορετικες εξισωσεις ??  :o :o(σ'αυτο κολλησα)
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ !! :)

ο κλιμακωτος πινακας δεν θα πρεπει να εχει τουλαχιστον 2 μηδενικες γραμμες, οποτε να βρουμε το πολυ 3 διανυσματα;

σου δίνει την εξίσωση της ευθείας με 2 εξισώσεις επιπέδων,
γιατί η τομή τους σου δίνει ευθεία.

Φλεβ.2008, θέμα 8ο, any ideas?

δλδ πρεπει να βρω την τομη των 2 επιπέδων .ΟΚ Ευχαριστω!!!

Εστω Μ (χο,ψο,ζο) και μετα χρησιμοποιεις τους τυπους των αποστασεων .

επειδή δεν έχω το βιβλίο μπορείς να μου γράψει κάποιος καμιά υπόδειξη ως προς το πως λύνεται...?

Σορρυ που επανερχομαι παλι στο ίδιο προβλημα !!
αλλα εχω κολλησει παλι  :o Οκ βρηκα την ευθεια που ειναι τομη των 2 επιπεδων  [ χ/1 = (y-2/5)/(-35) = (z+1/3)/(-2/3) ].Μετα τι κάνω ??

μια βοηθεια κανενας ??  :( :( :( :( :(

Μια ιδέα είναι να βρείς το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο που δίνεται και είναι κάθετο στην ευθεία. Αυτό θα έχει ως κάθετο διάνυσμα το εξωτερικό γινόμενο των κάθετων διανυσμάτων των επιπέδων που ορίζουν την ευθεία (ή αν προτιμάς το διάνυσμα που ορίζουν οποιαδήποτε 2 σημεία της ευθείας).
Στη συνέχεια βρίσκεις τομή ευθείας που δίνεται και επιπέδου κι ουσιαστικά έχεις πλέον 2 σημέια για την ευθεία που θες (ένα αυτό που δίνεται και ένα που βρήκες). Οπότε ουσιαστικά τέλειωσες  :)

 Σωστε με!!!!! Στιςασκησεις για αναγνωριση καμπυλων 2ου βαθμου  του ΑΤΡΕΑ στην ασκ 15  ζηταει πραγματικες  τιμες του μ  ωστε να εχω πραγματικη ελλειψη  Επομενως πρεπει να Δ>0 και ταυτοχρονα  Α(επι)D<0 εδω τωρα στην δευτερη συνθηκη εχω το προβλημα  Σωστε με!!! λοιπον λεει ο ατρεας οτι Α=λ1+λ2 (αθροισμα ιδιοτιμων) το εχει δει κανεις να μ πει πως βηκε το (1-μ)???????? Γιατι για να παω να Υπολογισω λ1,λ2  απο τον πινακα P δεν ξερω γινεται χαμος  ....

το span με τον 2ο τροπο από τις σημειώσεις του κεχαγιά σελ 126 - σημείο 7.1.24 υπάρχει κάποιο λάθος? εκει που λεει "4. η βαση του span ειναι οι υπόλοιπες στηλες του Α' . "

είχα την εντύπωση οτι η βαση του σπαν ειναι οι υπολοιπες στηλες του πινακα Α και όχι του επαυξημένου Α'

 

για να βρω το εξ.γινομενο χρειαζομαι το Ρ(1,1,1) και ενα αλλο σημειο απο οτι καταλαβα ετσι ?
το αλλο σημειο ειναι το παραλληλο διανυσμα στην ευθεια-τομη των 2 επιπεδων που δινονται ?? δλδ. το (1,-3/5,-2/3) ?? (αν βρηκα σωστα την τομη)

παιδια ισχυει οτι αν εχω μια ευθεια π.χ χ-2=ψ-3-=ζ-1 τοτε αυτη διερχεται απο το (2,3,1) και ειναι παραλληλη στο διανυσμα(0,0,0) ετσι ???  :o :o

στο διανυσμα (1,1,1) ειναι παραλληλη νομίζω. Μπορεί μήπως κάποιος να δώσει τις απαντήσεις απο τα θέματα τα τελευταία ως προς την αναγνώριση επιφανειων έτσι για επαλήθευση? Ευχαριστώ

άμα θέλω να μετατρέψω την εξίσωση της ευθείας παραπάνω με τα χ,ψ,ζ στην γνωστή μορφή Αχ+Βψ+Γ=0, υπάρχει κάποιος τρόπος; πως ακριβως το κανω;

Όχι αυτά ήταν στο επίπεδο (Λύκειο)
στο χώρο πάντα έχεις χ-α=ψ-β=ζ-γ
Αχ+Βψ+Γ=0 == Επίπεδο στο χώρο

πως βρησκω συμμετρικο του σημειου (1,0,-2) ως προς το επιπεδο χ+2ψ+4=0? (θεμα 5 μαρτης του 13)

Βρες προβολή σημείου στο επίπεδο και στη συνέχεια χρησιμοποιησε οτι η προβολή είναι το μέσο

εγω το σκεφτηκα με αποσταση απο επιπεδο..

Αν σου ζητούσε απόσταση καλή η σκέψη σου. Επειδή όμως ψάχνεις σημείο θα δυσκολευτείς.

Δε σε καταλαβαίνω.. Έχεις δύο επίπεδα Ε1,Ε2 που ορίζουν μια ευθεία κι ένα σημείο έξω από αυτήν P. Αυτό που πρότεινα:
1) Βρίσκεις τα κάθετα διανύσματα των Ε1,Ε2 (κατευθείαν οι συντελεστές των x,y,z)
2) Τα πολλαπλασιάζεις εξωτερικά και πλέον έχεις ένα διάνυσμα, ας πούμε n, που ναι παράλληλο της ευθείας που σου δίνεται ως τομή των επιπέδων (αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο ως εξωτερικό γινόμενο και στα δυο προηγούμενα διανύσματα, άρα έχει φορέα παράλληλο με της ευθείας)
3) Βρίσκεις το επίπεδο που ορίζεται από ένα σημείο το P και το κάθετο σε αυτό διάνυσμα n.
4) Εξισώνεις τις εξισώσεις των 2 επιπέδων που είχες αρχικά (ουσιαστικά της ευθείας!) και του επιπέδου που βρήκες στο βήμα 3 για να βρεις το σημείο όπου τέμνεται το επίπεδο που βρήκες με την ευθεία (γενικά εδώ θα χεις ένα 3*3 σύστημα)
5) ¨Εχεις δύο σημεία. Βρίσκεις από αυτά την εξίσωση της ευθείας (έχεις διάνυσμα που ορίζεται από αυτά)

Τώρα αυτό που πα είναι αν θες αντί για τα βήματα 1 και 2 να κάνεις άλλο πράμα... Σε νοιάζει να βρεις διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία που σου δίνεται, δηλαδή κάθετο στο "βοηθητικό" επίπεδο ας πούμε. Αρκεί να βρεις 2 σημεία που επαληθεύουν την ευθεία, δηλαδή το σύστημα των εξισώσεων των επιπέδων. Βάλε πχ. x=0, βρες τα y,z και έχεις ένα σημείο. Αντίστοιχα για x=1. Έτσι θα χεις δυο σημεία της ευθείας και άρα ένα διάνυσμα παράλληλο σε αυτήν.

Παιδία κανείς; Έχω κι εγω θέμα με τις ιδιοτιμές πως τις βρίσκει 1 και -μ  ;
Παρεπιμπτόντως είναι ίδιο με το θέμα 8 του Μαρτίου '13

σελ 60 απο σημειωσεις ατρεα και πιο πριν..

οταν ζηταει να αναγνωρισουμε επιφανειες χωρις πραξεις, τοτε λεμε το ονομα απλα και τιποτα αλλο; η πρεπε να το εξηγησουμε κι ολας;

υπαρχει καμια ιδεα για το πως λυνεται το θεμα 4 του μαρτη 2013?

(το ρωτησε ενας πριν και νομιζα οτι ειναι στην εισαγωγη απο το βιβλιο του ξενου αλλα δεν μπορω να το βρω)
ειναι λιγο τραβηγμενο σαν θεμα γενικα?


απλα λες το ονομα πχ 1) .....
                                  2).....

δεν χρειαζεται να βρεις τις ιδιοτιμες απο τους τυπους του vieta (λυκειο) αν χ1 +χ2 οι λυσεις τις δευτεροβαθμιας εξισωσης (εν προκειμενω ειναι το χαρακτηριστικο πολυωνυμο) τοτε το φερνεις στη μορφη αχ²+βχ+γ=0 και ισχυει χ₁+χ₂= -β/α, οπου χ1,χ2 ειναι οι ιδιοτιμες

εγω ακολουθησα τον 2ο τρόπο εύρεσης του σπαν επομενως εχουμε τον πινακα Α:
1 4  2 5 1
2 2 -1 1 1
3 3  0 1 1
μετά από γραμμοπράξεις κατέληξα στον πίνακα Α'

1    4    2      5     1
0   -6   -5     -9    -1
0    0    3/2 -1/2 -1/2

όποτε μια βάση δεν θα είναι οι στήλες με κόμβο αλλά από τον αρχικό πιν Α?
δλδ στηλες 1,2,3 του Α οι οποιες στον επαυξημενο Α' εχουν κομβο:
1 4  2
2 2 -1
3 3  0
ΥΓ. Τώρα αν έκανα λαθος στις γραμμοπράξεις δεν ξέρω... :P

Αν ακολούθησες τον 1ο τρόπο, στο τέλος που καταλήγεις στον επαυξημένο πέρνεις τις μη μηδενικές στήλες του επαυξημένου Α' και όχι του αρχικού πιν Α
(ειναι στις σημειωσεις του κεχαγια)

+1

2012 Α
1. διχωνο υπερβολοειδες
2. κωνικη επιφανεια
3. υπερβολικο παραβολοειδες
4. ελλειψοειδες
5. ζευγος τεμν επιπεδων

2013 μαρτης
1. ελλειπτικο παραβολειδες
2. ελλειψοειδες
3. μονοχωνο υπερβ.
4. υπερβολικο παραβολοειδες
5. ελλειψοειδες

Σε οποια διαφωνεις πες το μου να τσεκαρω ξανα.

θα εκανα βλακεια τοτε.Εγω πηρα εξ. γινομενο για το σημειο P(1,1,1) και το διανυσμα το παραλληλο στην ευθεια που οριζεται ως τομη των 2 επιπεδων.
Δεν ξερω αν εβγαινε ετσι -παντως βρηκα λαθος αποτελεσμα !
Θα ακολουθησω αυτο που μου ειπες τωρα !!  8)) Ευχαριστω !

Λοιπων εκανα και τους 2 τροπους που ειπες αλλα βγαζω λαθος αποτελεσμα τελοσπαντων η μεθοδολογια πιστευω ειναι σωστη !!  ;)

πως δειχνω οτι δυο ευθειες ειναι ασυμβατες;

σωστο θα ειναι τοτε, εγω καπου μαλλον στο βιβλιο του ξενου το ειδα με λιγο διαφορετικο τροπο, αλλιως το εκανα

εστω ε1: ΟΧ=ΟΑ+λα
        ε2: ΟΧ=ΟΒ+λβ
[AB,α,β] != 0 (μικτο γινομενο)
(διανυσματα ειναι ολα)

το wolframalpha εβγαλε απλα υπερβολη...

απο παραδωσεις ατρεα ξερω οτι Χ^2 - Υ^2 = cZ ειναι υπερβολικο παραβολοειδες.. τωρα απο κει και περα...δεν ξερω :P

Παιδια καμια βοηθεια για το θεμα 7  Σεπτεμβριος του 12 ?? Αυτη ειναι η εκφωνηση  :
Να βρεθει η εξ. επιπεδου παραλληλου στο επιπεδο χ+2ψ+ζ+1=- αν η ευθεια χ+1=1-ψ = ζ ισαπέχει απο τα 2 επιπεδα.

θελω να βρω το e^A , οπου Α πινακας 2x2. ψαχνω τις ιδιοτιμες του του πινακα Α, και βρισκω μια διπλή λύση. ψαχνω τα ιδιοδιανυσματα και δεν βρισκω κανενα, ολα βγαινουν μηδενικα διανυσματα. αυτο σημαίνει ότι δεν υπάρχει ο e^A; (2006 θεμα 3)

μαρτιος 13 ασκ 3: βρισκω μιγαδικες ιδιοτιμες...τι κανω; (ή μηπως εχω κανει λαθος στις πραξεις κ δεν ειναι μιγαδικες;)

το βρισκεις αλλιως. θετεις υ(λ)=α0 + λα1. ψαξε στις σημνειωσεις του κεχαγια σρις λυμενες ασκησεις του σχετικου κεφαλαιου..

οταν λεμε ενα επιπεδο διερχεται απο μια ευθεια ειναι το ιδιο οπως οταν λεμε οτι ενα επιπεδο περιεχει μια ευθεια ???  :o :o (ηλιθια ερωτηση ετσι?)

συμφωνώ με όλα.
επίσης

φλεβ.2008 Β

α. κυλινδρική επιφάνεια
β. ελλειψοειδές
γ. υπερβολικό παραβολοειδές
δ. δίχωνο υπερβολοειδές
ε. ελλειπτικό παραβολοειδές\

?

Παιδιά το Θεμα 6ο Φεβρουάριος του 12 Γ ομάδα το έχει λύσει κανείς  ::)??? Μια βοήθεια Θελω !!!
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ !! :)
Λεει το εξης : Nα βρεθει η εξισωση του επιπεδου που διερχεται απο την ευθεια ε=(χ+ψ+ζ=4 , χ-2ψ+2ζ=8)
και ειναι παραλληλο στην ευθεια ( χ/2=1-ψ=ζ+2)

Εγω πηρα το εξ.γινομενο των παραλληλων διανυσματων των 2 ευθειων το οποιο θα ειναι το καθετο στο επιπεδο που ψαχνω.Σωστο μεχρι εδω ..?
Αρα μετα χρειαζομαι ενα σημειο στο επιπεδο που ψαχνω (εδω κολλαω.ποιο σημειο θ 'ναι αυτο ??)
 >:(

Ποιος ειναι ο 1ος/2ος τρόπος με σελίδες στις σημειώσεις; Εγώ από σελ. 133 βλέπω ότι γράφει τα διανύσματα σαν γραμμές.

κ καταλήγω στο [1,2,3],[0,1,3/2],[0,0,1]  :-\

η κλασική άσκ. 8 του Μαρτίου 2013 πως λύνεται;

καλο μου φαινεται αυτο που βρηκες.
η θεωρια ειναι σελ 126 οι 2 πρωτες παραγραφοι. εσυ λογικα πηγες με τον 1ο τροπο. εχε υποψη σου οτι στον 2ο τροπο εχει λαθος στο 4ο βημα. του πινακα Α και οχι του Α', μασ το ειχε πει στις παραδωσεις οτι ειναι λαθος εκει

Καμια γνωμη ??

Θεμα 7 ο Σεπτεμβριος του 12 ομαδα Β ???

απο την ευθεια 1 που δινει λυσε συστημα. απο κει βρισκεις 1 σημειο στο επιπεδο και 1 δν παραλληλο. επισης απο την ε2 βρισκεις ακομη ενα παραλληλο δν. νμζω αυτα αρκουν

κάποιος???

δε το χω προσπαθησει
αλλα αν θεωρησεις επιπεδο Αx+By+Cz+D=0 και παρεις τον τυπο αποστασης σημειου απο επιπεδο. οτι δηλ το σημειο (-1,-1,0) ισαπεχει απο τα δυο επιπεδα...
δε βγαινει κατι?

υπαρχει καπου αντιστοιχη ασκση στισ σημειωσεισ σαν το θεμα 3  του 13'

απο τον μαρτη του 13...η 4η....αφου λειπει η μια μεταβλητη (χ) τελειως δεν παμε στην περιπτωση της κυλινδρικης επιφανειας;

ναι αλλα δν θυμαμαι σελιδα.. στις λυμενεσ ασκησεις του σχετικου κεφ ψαξε

σημειωσεισ κεχαγια η βιβλιο ξενου?

Νομιζω πιο εξειδικευμενα για τον μαρτιο του 13 θεμα 9:
2: Ελλειψη εκ περιστροφης (α=β)
5:Σφαιρα (α=β=γ)... φαινεται και απο την εξισωση...

δεν το προσεξα οτι ηταν μονο 2 οι μεταβλητες. ισως να εχεις δικιο αλλα δεν ειμαι και σιγουρος. δεν το ξερω αυτο

αν μπορουσεσ να θυμιθεισ κεφαλαιο κατι θα ηταν χρησιμο

Για το επιπεδο ξερεις το καθετο διανυσμα το οποιο ειναι παραλληλο με την ευθεια που περνα απο το σημειο... Αρα ετσι μπορεις να βρεις την εξισωση της ευθειας... Μετα υπολογιζεις το σημειο τομης της ευθειας με το επιπεδο... και μετα ευκολα το συμμετρικο... Νομιζω καπως ετσι βγαινει...

ασκ σελ 250 . δες και ασκ 13.2.20. λιγο πιο κατω ειναι

ωραια σε ευχαριστω

Ευχαριστω !!

Θα το προσπαθησω !

Υπαρχει παραδειγμα απο τις σημειωσεις παρομοιο με αυτο των θεματων για την ευρεση της βασης του span?

Απο τις σημειωσεις κεχαγία κεφάλαιο 10 :

10.1.10. Αλγόριθμος Gram - Schmidt

και οι λυμένες ασκήσεις :

10.2.19.
10.2.20.

η υλη ομως λεει οτι το 10 ειναι εκτος...

θεμα 4 μαρτιος 2013
νομιζω οτι για να δειξουμε οτι ειναι διανυσματικος χωρος πρεπει να δειξουμε οτι το αθροισμα δυο τυχαιων 2χ2 συμμετρικων πινακων ειναι και αυτο 2χ2 συμμετρικος πινακας, και το γινομενο 2χ2 συμμετρικων πινακων με ενα τυχαιο πραγματικο αριθμο ειναι και αυτο 2χ2 συμμετρικος πινακας.
ειναι σωστο ετσι;

μπορει κάποιος να ανεβασει καμια φωτογραφια για να μαθουμε απ'εξω την αναγνωριση επιφανειων?

στις ασκησεις που ζηταει να βρουμε για ποιες τιμες των μεταβλητων η εξισωση παριστανει ελλειψη οπου χρησιμοποιμε την Διακρινουσα και την οριζουσα D
για το ΑD το Α ειναι ο συντελεστης του χ² ή αλλο ειναι εκεινο το Α ?? :( :( :(

A=ίχνος του πινακα Ρ.δλδ αθροισμα διαγωνιου ή αλλιως το αθροισμα των ιδιοτιμων. λ1+λ2

thank you !!!

Οποιος εχει τα σημερινα θεματα ας κανει εναν κοπο να τα ανεβασει  ::) ::)

             ...........